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| Aufgabe 1 | Gibt es für die auf [mm] \IC [/mm] \ {0} definierte Funktion [mm] \frac{\overline{z}}{z}
[/mm]
eine stetige Fortsetzung zu einer auf
ganz [mm] \IC [/mm] definierten Funktion? (Begründung!) |
| Aufgabe 2 | Betrachten Sie die (auf [mm] \IR+ [/mm] definierte) Funktion f mit f(x) = [mm] x^x.
[/mm]
a) Existiert eine stetige Fortsetzung zu einer auf dem Intervall [mm] [0;\infty) [/mm] definierten Funktion?
(Begründung!) |
hallo,
in der VL hatten wir zu Aufgabe 1 den Tipp bekommen, dass nicht viel gerechnet werden muss.
Leider habe ich in meinem Skript keine brauchbare Information gefunden um die Aufgabe lösen zu können. Ich weis nur, dass man über die Nichtexsistenz von Häufungspunkten auf stetige Fortsetzung schließen kann. Alles in allem eine unbefriedigende Bilanz bisher.
Wäre sehr froh, wenn ich von euch einen Anhaltspunkt bekäme.
Gruß
Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Fr 11.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Also bei Aufgabe 1 würde ich mir mal anschauen wie diese Funktion [mm] $\overline{z}/z$ [/mm] auf den Teilmengen [mm]\IR[/mm] und [mm]i\cdot\IR[/mm] aufgefasst als Teilmengen von [mm] $\IC$ [/mm] aussieht.
Bei Aufgabe 2 benutze [mm] $x^x=e^{x\log x}$. [/mm] Wenn du zeigst, dass [mm] $\lim_{x\to 0}x\log [/mm] x$ existiert und gleich 0 ist (L'Hospital?!), hast du gewonnen.
Gruß, Robert
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hallo robert,
was aufgabe 1 betrifft, hab ich mir folgendes überlegt:
[mm] \frac{\overline{z}}{z} [/mm] kann auch als [mm] e^{-2i\lambda} [/mm] bzw. als
cos(2x)-isin(2x) dargestellt werden.
komm ich damit weiter?
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo richard!
> was aufgabe 1 betrifft, hab ich mir folgendes überlegt:
>
> [mm]\frac{\overline{z}}{z}[/mm] kann auch als [mm]e^{-2i\lambda}[/mm] bzw.
> als cos(2x)-isin(2x) dargestellt werden.
Eher: [mm] $\cos(2\lambda)-i*\sin(2\lambda)$
[/mm]
> komm ich damit weiter?
Hm! Kann man hier nun einen eindeutigen Grenzwert für [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ für beliebiges [mm] $\lambda$ [/mm] bestimmen?
Alternative: betrachte für [mm] $\bruch{\overline{z}}{z} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-i*y}{x+i*y}$ [/mm] die beiden Grenzwerte [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ bzw. [mm] $y\rightarrow [/mm] 0$ .
Stimmen diese Grenzwerte überein?
Gruß
Loddar
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guten morgen loddar,
hab deinen vorschlag mal eben ausprobiert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{x-iy}{x+iy}=-1
[/mm]
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}\frac{x-iy}{x+iy}=1
[/mm]
die beiden Grenzwerte sind nicht gleich
bedeutet das nun, dass meine funktion [mm] \frac{\overline{z}}{z} [/mm] nicht auf [mm] \IC [/mm] erweiterbar ist?
gruß
richard
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> guten morgen loddar,
>
> hab deinen vorschlag mal eben ausprobiert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\frac{x-iy}{x+iy}=-1[/mm]
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}\frac{x-iy}{x+iy}=1[/mm]
>
> die beiden Grenzwerte sind nicht gleich
> bedeutet das nun, dass meine funktion
> [mm]\frac{\overline{z}}{z}[/mm] nicht auf [mm]\IC[/mm] erweiterbar ist?
Hallo,
genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 13.12.2009 | | Autor: | Fridor |
| Aufgabe | Aufgabe 2
Betrachten Sie die (auf $ [mm] \IR+ [/mm] $ definierte) Funktion f mit f(x) = $ [mm] x^x. [/mm] $
a) Existiert eine stetige Fortsetzung zu einer auf dem Intervall $ [mm] [0;\infty) [/mm] $ definierten Funktion?
(Begründung!) |
Hey,
ich bin zur Zeit auch dabei, genau diese Aufgabe zu lösen. Leider komme ich bei der zweiten Frage immer noch nicht auf die Lösung.
Ich hab mir die Funktionen plotten lassen und sehe da, dass die Funktion in 0 nicht definiert ist.
Für L´Hospital bräuchte ich doch eigentlich einen Zähler und Nenner oder ?
Wie kann ich da weiter vorgehen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fridor!
Es gilt:
$$ [mm] x^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}}$$
[/mm]
Damit hast Du nun im Exponenten einen Bruch, um mit de l'Hospital arbeiten zu können.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 So 13.12.2009 | | Autor: | Fridor |
Top!
Jetzt hab ich es auch geschafft. Danke :)
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