Stetige Fortsetzung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Di 18.01.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | f : R -> R , [mm] f(x)=\bruch{x^{3}-x-6}{(x-2)(x^{2} -1)}
[/mm]
Existiert eine stetige Fortsetzung der Funktion
mit D(f) = R \ / {-1,1,2} ? |
Als erstes habe ich das Zählerpolynom Faktorisiert soweit es ging:
f(x) [mm] =\bruch{(x-2)x^{2}+2x+3}{(x-2)(x^{2} -1)}
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{x^{2}+2x+3}{(x^{2} -1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{x^{2}+2x+3}{(x -1)(x+1)}
[/mm]
Damit eine stetige Fortsetzung möglich ist muss es an den Unstetigkeitsstellen einen Grenzwert geben:
Untersuchung des Grenzwertes an der Stelle x = -1
Dabei Wähle ich für x einmal -1 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und -1 + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
um mich von links und rechts anzunähern:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^{+}} \bruch{x^{2}+2x+3}{(x -1)(x+1)}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^{+}} \bruch{(-1 + \bruch{1}{n})^{2}+2(-1 + \bruch{1}{n})+3}{(-1 + \bruch{1}{n} -1)(-1 + \bruch{1}{n}+1)}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^{+}}\bruch{2 +\bruch{1}{n^{2}} }{-\bruch{2}{n} +\bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^{+}} \bruch{1}{-\bruch{1}{n} +\bruch{1}{2n^{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{-2n +1}
[/mm]
Jetzt würde ich sagen das Der Grenzwert 0 ist, da für n gegen unendlich das Ganze Null wird,
Aber die Zeichnung des Graphen sagt das linker Grenzwert + unendlich und rechter Grenzwert - unendlich sind.?
Wo liegt der Fehler von mir?
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Hallo StevieG,
> f : R -> R , [mm]f(x)=\bruch{x^{3}-x-6}{(x-2)(x^{2} -1)}[/mm]
>
> Existiert eine stetige Fortsetzung der Funktion
> mit D(f) = R \ / {-1,1,2} ?
> Als erstes habe ich das Zählerpolynom Faktorisiert soweit
> es ging:
>
> f(x) [mm]=\bruch{(x-2)x^{2}+2x+3}{(x-2)(x^{2} -1)}[/mm]
Klammern setzen!!
>
> f(x) = [mm]\bruch{x^{2}+2x+3}{(x^{2} -1)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> = [mm]\bruch{x^{2}+2x+3}{(x -1)(x+1)}[/mm]
Was passiert für [mm] $x\to [/mm] 2$ ??
Kannst du dort (und wenn ja, wie) fortsetzen?
>
> Damit eine stetige Fortsetzung möglich ist muss es an den
> Unstetigkeitsstellen einen Grenzwert geben:
>
> Untersuchung des Grenzwertes an der Stelle x = -1
>
>
> Dabei Wähle ich für x einmal -1 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und -1 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> um mich von links und rechts anzunähern:
Ok, gute Idee!
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1^{+}} \bruch{x^{2}+2x+3}{(x -1)(x+1)}[/mm]
Ah, das ist etwas doof aufgeschrieben.
Besser: Sei [mm] $(x_n)$ [/mm] die Folge mit [mm] $x_n=-1+\frac{1}{n}$, [/mm] also [mm] $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=-1$
[/mm]
Dann ist [mm] $lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=\ldots$
[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1^{+}} \bruch{(-1 + \bruch{1}{n})^{2}+2(-1 + \bruch{1}{n})+3}{(-1 + \bruch{1}{n} -1)(-1 + \bruch{1}{n}+1)}[/mm]
Bis auf die Schreibweise
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1^{+}}\bruch{2 +\bruch{1}{n^{2}} }{-\bruch{2}{n} +\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1^{+}} \bruch{1}{-\bruch{1}{n} +\bruch{1}{2n^{2}}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{-2n +1}[/mm]
Das ist kritisch! Was sagen denn die Grenzwertsätze dazu?
Mache besser oben in Zähler und Nenner gleichnamig, dann bekommst du
[mm] $\frac{\frac{2n^2+1}{n^2}}{\frac{-2n+1}{n^2}}=\frac{2n^2+1}{n^2}\cdot{}\frac{n^2}{-2n+1}=\frac{2n^2+1}{-2n+1}$
[/mm]
Nun klammere im Zähler [mm] $n^2$ [/mm] aus, im Nenner $n$, kürze es weg und schaue nochmal, was für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert.
> Jetzt würde ich sagen das Der Grenzwert 0 ist, da für n
> gegen unendlich das Ganze Null wird, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Beide Summanden gehen gegen [mm] $-\infty$ [/mm] !
>
> Aber die Zeichnung des Graphen sagt das linker Grenzwert +
> unendlich und rechter Grenzwert - unendlich sind.?
>
> Wo liegt der Fehler von mir?
In der "Deutung" oder "Berechnung" der GWe der Summanden im letzten Schritt!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 18.01.2011 | | Autor: | StevieG |
Hi ja jetzt sehe ich es, da kommt - n raus und das geht gegen - unendlich.
Was ich aber noch nicht so richtig verstanden habe ist, nachwas man eigentlich versucht umzuformen? weil meine Umformung ist ja eigentlich auch richtig und wieso kann man das ergebnis nicvht verwenden??
Ich hoffe du weisst was ich meine?
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Hallo nochmal,
> Hi ja jetzt sehe ich es, da kommt - n raus und das geht
> gegen - unendlich.
>
>
> Was ich aber noch nicht so richtig verstanden habe ist,
> nachwas man eigentlich versucht umzuformen? weil meine
> Umformung ist ja eigentlich auch richtig und wieso kann man
> das ergebnis nicvht verwenden??
>
> Ich hoffe du weisst was ich meine?
Glaube schon, das Problem ist, dass die GWsätze besagen, dass wenn 2 Folgen gegen $a$ und $b$ konvergieren, die Summenfolge gegen $a+b$ konvergiert.
Die Umkehrung gilt i.A. nicht.
Aber genau die verwendest du hier.
Man müsste von unten nach oben lesen.
Erst wenn die GWe der beiden Folgen da existieren, ex. der GW der Summe der beiden Folgen und ist auch die Summe der GWe.
Hier hast du noch "Glück", dass es trotzdem passt, beide Folgen gehen gegen [mm] $-\infty$, [/mm] die Summe auch.
Was aber, wenn eine gegen [mm] $-\infty$ [/mm] ginge und die andere gegen [mm] $+\infty$?
[/mm]
Was willst du da über die Summe aussagen?
Fazit: Aufpassen, wenn du in eine Summe aufteilst!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Di 18.01.2011 | | Autor: | StevieG |
Ok verstanden, habe noch eine Frage zu GW bei x=2
da kann ich doch einfach einsetzen in die Faktorisierte und gekürzte Fkt.
da kommt nämlich 3.666 heraus was auch mit dem Graph übereinstimmt.
oder muss ich hier auch eine Grenzwertüberprüfung von links und rechts machen?
Danke für die Tipps
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Hi,
ich bin mir nicht sicher, ob du diese ganze Rechnerei überhaupt brauchst (inkl. der Stelle x=2).
Was ich meine (ein mögliches Vorgehen):
1. Setze die Nullstellen des Nenners [mm] n_1, n_2, [/mm] ... (hier: 1, -1, 2) im Zähler ein. Ist der Wert [mm] \ne [/mm] 0, dann kannst du doch den Grenzwert direkt ermitteln, denn z.B. für x [mm] \to [/mm] 1 hat der Zähler den Grenzwert -6, der Nenner geht gegen 0 und damit ist doch eigentlich schon gezeigt, dass die Funktion dort "abhaut" und somit nicht fortsetzbar ist.
Ist dagegen der Zähler an dieser Stelle 0, dann folgt Schritt 2.
2. Faktorisierung des Zählers und kürzen. Dann hat man diese Nullstelle sowohl aus dem Nenner als auch dem Zähler entfernt, man kann den Wert demnach dort einsetzen, um den Grenzwert zu ermitteln (Ausnahme: mehrfache Nullstellen, aber das geht ja genauso, nur muss man ggf. mehrfach die beiden Schritte durchlaufen).
Es geht ja um die Ermitllung der Grenzwerte und dafür braucht man meines Erachtens nur das obige Vorgehen, nicht unbedingt die Berechnung über [mm] x_0 \pm \bruch{1}{n}.
[/mm]
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Und jetzt noch die Antwort auf deine Frage:
Ja, den Grenzwert für die Stelle x=2 kannst du tatsächlich durch einfaches Einsetzen ermitteln.
lg weightgainer
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