Stetige Funktion, Werte 2x, 3x < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) gibt es eine stetige Funktion f: R -> R , die jeden ihrer Werte genau zweimal annimt?
b) gibt es eine stetige Funktion f: R-> R, die jeden ihrer Werte genau dreimal annimmt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe mir zur a) schon überlegt, mit dem ZWS zu argumentieren, allerdings klappt das nicht wirklich.
Ich kann zwar ein Intervall konstruieren, und dann sagen, dass mit dem ZWS dazwischen ein Wert liegt, aber der Wert könnte ja theoretisch mehrmals erreichbar sein.
Ich weiß, dass hier schon andere Ansätze gepostet worden sind [mm] (https://matheraum.de/forum/stet._Fkt._mit_genau_2_Werten/t852998 [/mm] , https://matheraum.de/forum/stetige_Funktion_jeden_Wert_2x/t40031), allerdings kann ich die nicht nachvollziehen und ich will verstehen, wie das geht und es dann selbst tun und nix abschreiben.
Kann mir jemand Cognitive Apprentenceship anbieten? (  )
Grüße,
Gitarre
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Hallo,
> a) gibt es eine stetige Funktion f: R -> R , die jeden
> ihrer Werte genau zweimal annimt?
> b) gibt es eine stetige Funktion f: R-> R, die jeden
> ihrer Werte genau dreimal annimmt?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
> ich habe mir zur a) schon überlegt, mit dem ZWS zu
> argumentieren, allerdings klappt das nicht wirklich.
> Ich kann zwar ein Intervall konstruieren, und dann sagen,
> dass mit dem ZWS dazwischen ein Wert liegt, aber der Wert
> könnte ja theoretisch mehrmals erreichbar sein.
> Ich weiß, dass hier schon andere Ansätze gepostet worden
> sind
> [mm](https://matheraum.de/forum/stet._Fkt._mit_genau_2_Werten/t852998[/mm]
> ,
> https://matheraum.de/forum/stetige_Funktion_jeden_Wert_2x/t40031),
> allerdings kann ich die nicht nachvollziehen und ich will
> verstehen, wie das geht und es dann selbst tun und nix
> abschreiben.
>
> Kann mir jemand Cognitive Apprentenceship anbieten? (
ZWS ist ein gutes Hilfsmittel.
Vorneweg: es gibt keine stetige Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$, [/mm] die jeden ihrer Werte genau zweimal annimmt.
Das kannst du mit einem Widerspruchsbeweis zeigen.
Nimm an, es gäbe eine solche Funktion $f$
Dann gibt es [mm] $a,b\in \IR$ [/mm] mit $f(a)=f(b)=0$ und [mm] $f(c)\neq [/mm] 0$ für alle [mm] $c\in\IR, c\neq [/mm] a,b$
Nun schaue dir ein bel. [mm] $d\in [/mm] (a,b)$ an, dann ist [mm] $f(d)\neq [/mm] 0$, nehmen wir oB an, dass $f(d)>0$ ist.
Kommst du damit weiter?
> )
>
> Grüße,
> Gitarre
Gruß
schachuzipus
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> Hallo,
Hallo und danke,
>
>
[...]
>
> ZWS ist ein gutes Hilfsmittel.
>
> Vorneweg: es gibt keine stetige Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm], die
> jeden ihrer Werte genau zweimal annimmt.
Ja. Das habe ich mir anschaulich auch schon aufmalen können.
>
> Das kannst du mit einem Widerspruchsbeweis zeigen.
>
> Nimm an, es gäbe eine solche Funktion [mm]f[/mm]
>
> Dann gibt es [mm]a,b\in \IR[/mm] mit [mm]f(a)=f(b)=0[/mm] und [mm]f(c)\neq 0[/mm] für
> alle [mm]c\in\IR, c\neq a,b[/mm]
Warum denn unbedingt gleich Null?
Ich verstehe zwar, dass das heißt, dass jeder Wert nur zweimal angenommen wird, aber warum ist [mm]f(a)=f(b)=0[/mm]?
Könnte doch auch jeder andere Wert sein. Was ist denn, wenn die Funktion Null überhaupt nicht annimmt?
>
> Nun schaue dir ein bel. [mm]d\in (a,b)[/mm] an, dann ist [mm]f(d)\neq 0[/mm],
> nehmen wir oB an, dass [mm]f(d)>0[/mm] ist.
>
Ich verstehe, warum [mm]f(d)[/mm] ungleich 0 ist.
Warum das aber größer 0 sein soll und was mir das bringt, das habe ich noch nicht verstanden.
Könnte doch auch kleiner 0 sein, oder nicht?
> Kommst du damit weiter?
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Working on it
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> > Grüße,
> > Gitarre
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Di 07.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> Hallo und danke,
> >
> >
> [...]
> >
> > ZWS ist ein gutes Hilfsmittel.
> >
> > Vorneweg: es gibt keine stetige Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm], die
> > jeden ihrer Werte genau zweimal annimmt.
> Ja. Das habe ich mir anschaulich auch schon aufmalen
> können.
>
> >
> > Das kannst du mit einem Widerspruchsbeweis zeigen.
> >
> > Nimm an, es gäbe eine solche Funktion [mm]f[/mm]
> >
> > Dann gibt es [mm]a,b\in \IR[/mm] mit [mm]f(a)=f(b)=0[/mm] und [mm]f(c)\neq 0[/mm] für
> > alle [mm]c\in\IR, c\neq a,b[/mm]
> Warum denn unbedingt gleich
> Null?
Weil der Widerspruchsbeweis damit funktioniert !
> Ich verstehe zwar, dass das heißt, dass jeder Wert nur
> zweimal angenommen wird,
> aber warum ist [mm]f(a)=f(b)=0[/mm]?
Wir haben doch angenommen, dass f jeden Wert genau zweimal annimmt, also auch den Wert 0.
> Könnte doch auch jeder andere Wert sein. Was ist denn,
> wenn die Funktion Null überhaupt nicht annimmt?
Doch, nach unserer Annahme tut sie das (und zwar genau zweimal).
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> > Nun schaue dir ein bel. [mm]d\in (a,b)[/mm] an, dann ist [mm]f(d)\neq 0[/mm],
> > nehmen wir oB an, dass [mm]f(d)>0[/mm] ist.
> >
> Ich verstehe, warum [mm]f(d)[/mm] ungleich 0 ist.
> Warum das aber größer 0 sein soll und was mir das
> bringt, das habe ich noch nicht verstanden.
> Könnte doch auch kleiner 0 sein, oder nicht?
Ja, das ist auch möglich. Wir können aber von f(d)>0 ausgehen , anderenfalls betrachte -f statt f.
FRED
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> > Kommst du damit weiter?
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> > > Grüße,
> > > Gitarre
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> > schachuzipus
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Okay. Folgende Idee:
Da [mm] f(a) = f(b) = 0 [/mm] und [mm] c \in [a,b] [/mm], gilt:
[mm] f(c) >0 [/mm], weil 0 ja nur zweimal angenommen wird.
Die Funktion kann aber ohne nochmals mindestens ein Mal Null anzunehmen nicht [mm] f(c) [/mm] annehmen.
Widerspruch.
(Richtig?)
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Hallo la_guitarra,
Die Idee reicht noch nicht.
> Okay. Folgende Idee:
> Da [mm]f(a) = f(b) = 0[/mm] und [mm]c \in [a,b] [/mm], gilt:
> [mm]f(c) >0 [/mm], weil 0 ja nur zweimal angenommen wird.
Na, es könnte auch f(c)<0 sein...
Hauptsache [mm] c\not=0.
[/mm]
> Die Funktion kann aber ohne nochmals mindestens ein Mal
> Null anzunehmen nicht [mm]f(c)[/mm] annehmen.
> Widerspruch.
>
> (Richtig?)
Nehmen wir mal
[mm] f(x)=\begin{cases} 1-x^2, & \mbox{für } x\le{1} \\ x^2-1, & \mbox{für } x>1 \end{cases}
[/mm]
Nullstellen sind nur bei -1 und 1. Nehmen wir nun c=f(0)=1. Der Wert 1 wird ein zweites Mal erreicht bei [mm] x=\wurzel{2}.
[/mm]
Passt also nicht zu Deiner Argumentation. Trotzdem erfüllt die Funktion die Bedingungen der Aufgabe auch nicht...
Grüße
reverend
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