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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetige Funktion n. beschränkt
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Stetige Funktion n. beschränkt: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Sa 19.05.2018
Autor: Takota

Aufgabe
Geg. ist eine stetige Funktion: f: [mm] \IR^n \supset [/mm] G [mm] \to \IR [/mm]

Angenommen, die stetige Funktion f ist nicht beschränkt auf G. Dann gibt es zu jedem beliebigen k [mm] \in \IN [/mm] einen Vektor [mm] $\vec x^k \in [/mm] G $ mt der Eigenschaft [mm] |f(\vec x^k)|>k. ($\vec x^k [/mm] $ ist der k-te Folgenvektor.)


Hallo,

ich habe in der Aufgabenstellung den Anfang eines Widerspruchsbeweises zitiert, fängt also bei "Angenommen, die ..." an.

Leider verstehe ich den Satz: "Dann gibt es zu jedem beliebigen k [mm] \in \IN [/mm] einen Vektor [mm] $\vec x^k \in [/mm] G $ mt der Eigenschaft [mm] |f(\vec x^k)|>k." [/mm] nicht.

Warum soll durch diese Annahme, der Betrag des k-ten Funktionswertses größer sein als k?

Kann mir das bitte jemand erklären?

LG
Taktoa

        
Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Sa 19.05.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Takota,

nun was bedeutet es denn per Definition, wenn eine Funktion beschränkt ist? Das habt ihr sicher definiert. Ausgehend von eurer Definition sollte schnell klar werden, was in dem von dir zitierten Satz gemeint ist. Gib' mal Rückmeldung.

Liebe Grüße,
ChopSuey



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Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Sa 19.05.2018
Autor: Takota

Hallo ChopSuey,

danke für die Rückmeldung.

f : [mm] \IR \supset [/mm] D [mm] \to \IR [/mm]

Die Funktion f heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach unten wie nach oben beschränkt ist, das heißt wenn es ein K [mm] \in \IR [/mm] gibt, so daß |f(x)| [mm] \le [/mm] K für alle x [mm] \le [/mm] D gilt.  

Hier hängt das K nicht von der Funktion ab.

Bezug
                        
Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Sa 19.05.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Takota,

> Hallo ChopSuey,
>  
> danke für die Rückmeldung.
>  
> f : [mm]\IR \supset[/mm] D [mm]\to \IR[/mm]
>
> Die Funktion f heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach
> unten wie nach oben beschränkt ist, das heißt wenn es ein
> K [mm]\in \IR[/mm] gibt, so daß |f(x)| [mm]\le[/mm] K für alle x [mm]\le[/mm] D
> gilt.  
>
> Hier hängt das K nicht von der Funktion ab.  

Genau. Übertrage die Definition doch mal auf den [mm] $\IR^n$. [/mm]

Hier stand vorher die Definition von Stetigkeit. Fred wies freundlicherweise daraufhin dass es aber darum hier garnicht geht. Siehe bitte Freds Anmerkungen. Entschuldige, bin schon einige Stunden wach :-)

überlege nun, warum der von dir zitierte Satz gerade beschreibt, dass die Funktion nicht beschränkt ist.
LG,
ChopSuey

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Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Sa 19.05.2018
Autor: Takota

Hallo ChopSuey,

tut mir leid, ich bekomme den Bogen nicht gespannt :-)

Was ich mich aber die ganze Zeit frage ist, wieso der k-te Folgenvektor eingesetzt in die Funktion und daraus den Betrag größer sein soll als k.
Die Vektorkomponenten sind ja irgendwelche Terme aus k.

Wie kommt man auf diese Behauptung?



Bezug
                                        
Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Sa 19.05.2018
Autor: fred97


> Hallo ChopSuey,
>  
> tut mir leid, ich bekomme den Bogen nicht gespannt :-)
>  
> Was ich mich aber die ganze Zeit frage ist, wieso der k-te
> Folgenvektor eingesetzt in die Funktion und daraus den
> Betrag größer sein soll als k.


O.k., dann probieren das mal so: ist k eine natürliche Zahl,  so gibt  es  ein x [mm] \in [/mm] G mit ||x|| [mm] \ge [/mm] k. Wenn  es ein solches x nicht gäbe, wäre f ja beschränkt.

Obiges x hängt  natürlich von der Wahl von k ab. Also nennen wir  es  [mm] x_k. [/mm]

Das ist schon  alles.

> Die Vektorkomponenten sind ja irgendwelche Terme aus k.
>  
> Wie kommt man auf diese Behauptung?
>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Sa 19.05.2018
Autor: Takota

Hallo Fred,

habe erst jetzt gerade deinen Beitrag gelesen. Jetzt wird mir die Sache etwas klarer. Bei mir entspricht der Index im x dem k-ten Folgenglied.
Deswegen interpretiere ich es wie im anderen Diskussionsstrang angegeben. Schau mal dort bitte nach. Was meinst du dazu?

Bezug
                        
Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Sa 19.05.2018
Autor: fred97


> Hallo ChopSuey,
>  
> danke für die Rückmeldung.
>  
> f : [mm]\IR \supset[/mm] D [mm]\to \IR[/mm]
>
> Die Funktion f heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach
> unten wie nach oben beschränkt ist, das heißt wenn es ein
> K [mm]\in \IR[/mm] gibt, so daß |f(x)| [mm]\le[/mm] K für alle x [mm]\le[/mm] D
> gilt.  

Ja, und wenn D eine Teilmenge  des \ [mm] IR^n [/mm] ist, musst Du die Betragsstriche durch Normstriche ersetzen.

>
> Hier hängt das K nicht von der Funktion ab.  

Das,  mit Verlaub,  ist Unsinn

So,nun zur Negation (ich dachte, dass Chopsuey das erledigen würde, aber er hat plötzlich von Stetigkeit geredet. ...?)

Wenn f auf D nicht beschränkt ist, so gibt es  also kein K mit der obigen Eigenschaft.

zu jedem [mm] K\ge [/mm] 0 gibt es also ein [mm] x_K \in [/mm] D mit ......?


Bezug
                                
Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:49 Sa 19.05.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Fred,

ich habe meine Antwort eben editiert. Danke für's Aufmerksam sein. Ich hatte die Stetigkeit erst garnicht in Betracht gezogen, dachte dann, wir bräuchten sie hier. Aber du hast natürlich recht.

LG,
ChopSuey

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Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Sa 19.05.2018
Autor: Takota

Hallo Fred,

leider habe ich immer noch Probleme eine Verbindung zwischen der Zahl K und dem Folgenglied [mm] x_K [/mm] herzustellen. Im Moment stelle ich mir das so vor:
Ich wähle irgendeine Zahl K=3. Dann setzte ich den K-ten, also den 3ten, Folgenvektor in die Funktion ein und dessen Norm ist dann größer als die Zahl K=3. Warum ist das immer so?

Bezug
                                        
Bezug
Stetige Funktion n. beschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Sa 19.05.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> leider habe ich immer noch Probleme eine Verbindung
> zwischen der Zahl K und dem Folgenglied [mm]x_K[/mm] herzustellen.
> Im Moment stelle ich mir das so vor:
>  Ich wähle irgendeine Zahl K=3. Dann setzte ich den K-ten,
> also den 3ten, Folgenvektor in die Funktion ein und dessen
> Norm ist dann größer als die Zahl K=3. Warum ist das
> immer so?

Die Folge  [mm] (x_k) [/mm] ist doch gerade  so gewählt,  dass gilt [mm] ||f(x_k)|| \ge [/mm] k ist !





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