Stetige Wahrscheinlichkeitsmaß < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mo 22.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Betrachten Sie das stetige Wahrscheinlichkeitsmaß,b ei dem die Dichte außerhalb des Intervalls [0,1] den Wert 0 hat, und innerhalb des Intervalls einen Graphen hat, der geradlinig von (0,0) bis [mm] (\bruch{1}{2},2) [/mm] und von [mm] (\bruch{1}{2},2) [/mm] bis (1,0) läuft! Warum braucht man für die Berechnung des Mittelwerts nicht viel zu tun? Berechnen Sie die Varianz! |
Moin moin. Eigentlich eine ziemlich einfache Aufgabe zu diesem Themengebiet. Trotzdem würde ich meinen Lösungsweg gern mal von euch überprüfen lassen, gerade mit Blick auf die Integralrechnung. 
Deshalb habe ich auch den Mittelwert explizit über die (unten benutzte) Formel ausgerechnet anstatt nur darüber zu argumentieren, warum das Ergebnis 1 anschaulich klar ist.
Die Funktion f ist natürlich gleich 4x auf dem Intervall (0,0.5) und gleich -4x auf dem Intervall (0.5,1) und gleich 0 außerhalb des Intervalls (0,1).
Mittelwert berechnen:
[mm]\mu = \integral_{0}^{1}{x * f(x) dx} = \integral_{0}^{\bruch{1}{2}} 4x^2 dx + \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} -4x^2 dx = [ \bruch{4}{3}x^3]_{0}^{\bruch{1}{2}} + [ -\bruch{4}{3}x^3]_{\bruch{1}{2}}^1 = \bruch{1}{6} + (-\bruch{8}{6} + \bruch{1}{6}) = -1[/mm]
Da es sich um ein Integral handelt und prinzipiell ohnehin nur Beträge betrachtet werden, ist das Ergebnis 1. (Ist die Argumentation ausreichend - oder wie argumentiere ich hier korrekt?)
Varianz:
[mm]\sigma^2 = \integral_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)dx = \integral_{0}1{1}(x - 1)^2 f(x)dx = \integral_{0}^{\bruch{1}{2}} (x-1)^2 * 4x dx + \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} (x-1)^2 * (-4x) dx[/mm]
[mm]= \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}4x^3 - 8x^2 + 4x dx - \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} 4x^3 - 8x^2 + 4x dx = [x^4 - \bruch{8}{3}x^3 + 2x^2]_{0}^{\bruch{1}{2}} - [x^4 - \bruch{8}{3}x^3 + 2x^2]_{\bruch{1}{2}}^{1} [/mm]
[mm]= (\bruch{1}{16} - \bruch{1}{3} + \bruch{1}{2}) - (1 - \bruch{8}{3} + 2) + (\bruch{1}{16} - \bruch{1}{3} + \bruch{1}{2}) = \bruch{1}{8} - \bruch{2}{3} + 1 - 1 + \bruch{8}{3} - 2 = \bruch{1}{8}.[/mm]
Korrekt?
Danke fürs bis hierhin Lesen und schöne Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hallo,
> Moin moin. Eigentlich eine ziemlich einfache Aufgabe zu
> diesem Themengebiet. Trotzdem würde ich meinen Lösungsweg
> gern mal von euch überprüfen lassen, gerade mit Blick auf
> die Integralrechnung.
>
> Deshalb habe ich auch den Mittelwert explizit über die
> (unten benutzte) Formel ausgerechnet anstatt nur darüber
> zu argumentieren, warum das Ergebnis 1 anschaulich klar
> ist.
Das ist anschaulich klar? Mir nicht! ;)
> Die Funktion f ist natürlich gleich 4x auf dem Intervall
> (0,0.5) und gleich -4x auf dem Intervall (0.5,1) und gleich
> 0 außerhalb des Intervalls (0,1).
Natürlich? ;) Natürlich nicht! Schusselfehler machen das Leben schwer. Auf (0.5,1) ist die Funktion 4-4x!
> Mittelwert berechnen:
>
> [mm]\mu = \integral_{0}^{1}{x * f(x) dx} = \integral_{0}^{\bruch{1}{2}} 4x^2 dx + \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} -4x^2 dx = [ \bruch{4}{3}x^3]_{0}^{\bruch{1}{2}} + [ -\bruch{4}{3}x^3]_{\bruch{1}{2}}^1 = \bruch{1}{6} + (-\bruch{8}{6} + \bruch{1}{6}) = -1[/mm]
>
> Da es sich um ein Integral handelt und prinzipiell ohnehin
> nur Beträge betrachtet werden, ist das Ergebnis 1. (Ist
> die Argumentation ausreichend - oder wie argumentiere ich
> hier korrekt?)
Ne, die Argumentation hinkt ziemlich. bis auf dass das Ergebnis falsch ist, ist die These mit dem Beträgen Unsinn. Beim Mittelwert könnten theoretisch auch negative Werte rauskommen.
> Varianz:
> [mm]\sigma^2 = \integral_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)dx = \integral_{0}1{1}(x - 1)^2 f(x)dx = \integral_{0}^{\bruch{1}{2}} (x-1)^2 * 4x dx + \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} (x-1)^2 * (-4x) dx[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}4x^3 - 8x^2 + 4x dx - \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} 4x^3 - 8x^2 + 4x dx = [x^4 - \bruch{8}{3}x^3 + 2x^2]_{0}^{\bruch{1}{2}} - [x^4 - \bruch{8}{3}x^3 + 2x^2]_{\bruch{1}{2}}^{1}[/mm]
>
> [mm]= (\bruch{1}{16} - \bruch{1}{3} + \bruch{1}{2}) - (1 - \bruch{8}{3} + 2) + (\bruch{1}{16} - \bruch{1}{3} + \bruch{1}{2}) = \bruch{1}{8} - \bruch{2}{3} + 1 - 1 + \bruch{8}{3} - 2 = \bruch{1}{8}.[/mm]
>
> Korrekt?
Nein, leider nicht.
Integriert hast du ansonsten richtig. Nur stimmt eben die Funktion nicht.
Grüße,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Mo 22.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> Warum beharrst du denn darauf, dass der MW 1 sein soll?
> Soll er gar nicht. Da muss [mm]\bruch{1}{2}[/mm] rauskommen. Der
> Mittelwert ist das gewichtete Mittel der Werte auf der
> x-Achse.
Da klingelts. Verdammt, das hatte ich irgendwie aus den Augen behalten. Bleibt die Frage, warum ich auch immer wieder von meinen Ergebnissen bestätigt wurde - scheinbar hab ich mal wieder die Fähigkeit bewiesen auf das gewünschte hinzurechnen. :-(
Noch einmal nur der Mittelwert:
[mm]\mu = \integral_{0}^{\bruch{1}{2}} x * 4x dx + \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} x * (4 + 4x) dx = ...[/mm]
Jetzt seh ich auch meinen Fehler beim Integrieren eben, ich hab den Faktor x bei der 4 vergessen, deshalb integriert zu 4x anstatt [mm] 2x^2 [/mm] und damit komme ich jetzt auch auf das richtige Ergebnis!
Irgendwie bin ich froh über den Flüchtigkeitsfehler bei der Funktion und den Folgefehler beim Integranden.
Hat mir beim Verständnis sehr geholfen, ich danke dir!
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