Stetigkeit+Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Do 29.10.2015 | | Autor: | DrinkTea |
| Aufgabe | f : [mm] R^2 [/mm] -> R, f(x; y) := [mm] x^{3}/y [/mm] für y [mm] \not= [/mm] 0;
0 für y=0 |
Ich soll mit der Funktion oben
a) Stetigkeit im Nullpunkt
b) Di erenzierbarkeit im Nullpunkt
zeigen.
Aaaalso, ich habe für x= [mm] e^{n}^{2} [/mm] und [mm] y=e^{n} [/mm] gewählt.
Wenn ich das einsetze kommt mein ungleich Null raus. Also 1. Ist dann die Funktion stetig? Oder muss ich hier das Gegenteil beweisen?
Und bei der b) könnte mir da jemand helfen? Ich lese und lese (auch im Netz) und kapiere Nichts :(
Geht es um Ableitungenn die beim Grenzwert dann immer Null ergeben? Oder wie soll ich das verstehen?
Danke im voraus! :)
PS: Ich konnte oben die Formel nicht schöner machen :/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Fr 30.10.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
da n in deiner Definition von x und y vorkommt meinst du wohl eine Folge?
[mm] x_n, y_n?
[/mm]
aber du willst die Steigzeit in x0y00 untersuchen, also suche eine geeignete folge [mm] x<_n,y_n [/mm] die jeweils gegen 0 laufen. [mm] x_n=1/n. y_n=a/n [/mm] führt nach 0
aber alle Wege mit [mm] y=a*x^3 [/mm] bze entsprechende folgen haben für jedes a eien anderen GW.
eine Funktion die in einem Punkt nicht stetig ist, kann dort nicht differenzierbar sein, damit ist b hinfällig.
aber erstmal die definition von differenzierter solltest du schon hinschreiben können! un es auch damit beweisen.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:42 Fr 30.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DrinkTea!
> Ich lese und
> lese (auch im Netz) und kapiere Nichts :(
Vielleicht solltest du nicht alles Mögliche lesen, sondern gründlich die Definitionen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit aus deiner Vorlesungsmitschrift studieren.
Schreibe dann konkret auf, was die Aussage "f ist stetig im Nullpunkt" eigentlich bedeutet.
Solange dir das noch nicht klar ist, macht es keinen Sinn irgendwelche weiteren Überlegungen zur Aufgabe anzustellen.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Fr 30.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich schließe mich meinem Vorredner an. Dennoch 2 Tipps:
1. Berechne mal [mm] f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^4}).
[/mm]
2. Ist eine Funktion an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] nicht stetig, so kann sie dort auch nicht differenzierbar sein.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Fr 30.10.2015 | | Autor: | DrinkTea |
Okay, danke schon mal!
Habe im Netz mal tiefer gewühlt und etwas schönes gefunden :) Einen tollen Beitrag. Sogar einfach erklärt ;) Die Differenzierbarkeit ist auch net sooo schwer... :) Oh mann...
Aaaaalso, ich habe x = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und y = [mm] \bruch{1}{n^{4}} [/mm] eingesetzt.
Dann kam n raus. Wenn man den mit [mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] laufen lässt, kommt 0 raus. Also ist meine Funktion nicht stetig. Da diese gleich Null ist. Aber y soll ja ungleich Null sein.
Dadurch ist die Funktion auch nicht differenzierbar (an der Stelle [mm] x_{0}). [/mm] Richtig?
Irgendetwas fehlt mir... Komm aber nicht drauf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Fr 30.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke schon mal!
>
> Habe im Netz mal tiefer gewühlt und etwas schönes
> gefunden :) Einen tollen Beitrag. Sogar einfach erklärt ;)
> Die Differenzierbarkeit ist auch net sooo schwer... :) Oh
> mann...
>
> Aaaaalso, ich habe x = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und y =
> [mm]\bruch{1}{n^{4}}[/mm] eingesetzt.
>
> Dann kam n raus.
Ja, [mm] f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^4})=n
[/mm]
Wenn man den mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0}[/mm] laufen lässt, kommt 0 raus.
Hä ?
[mm] \limes_{n\rightarrow \infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^4})= \infty
[/mm]
> Also
> ist meine Funktion nicht stetig. Da diese gleich Null ist.
Ich glaube nicht, dass Du verstanden hast worum es geht !!
> Aber y soll ja ungleich Null sein.
> Dadurch ist die Funktion auch nicht differenzierbar (an der
> Stelle [mm]x_{0}).[/mm] Richtig?
> Irgendetwas fehlt mir...
Ja, jede Menge Grundlagen .....
Hole die schnellstens nach.
FRED
> Komm aber nicht drauf...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Fr 30.10.2015 | | Autor: | DrinkTea |
Oh mann... Kapiert...
Also, Grenzwert kenne ich. Mit n -> 0. Also ist n = 0. Meine Funktion ist bei x0 = 0. Also ist die Funktion im Nullpunkt stetig. (Ich habe einfach in [mm] x^3/y, [/mm] die 0 eingesetzt. Mit y ungleich 0. Die Funktion wird trotzdem 0. -> [mm] 0^3/y. [/mm] )
Die Differenzierbarkeit lässt sich dann auch klären. Ich habe [mm] x^3/y [/mm] abgeleitet, nach x. Ich erhalte: [mm] 3x^2/y.
[/mm]
Wenn ich da wieder 0 einsetze, kommt 0 raus. Also ist die Funktion im Nullpunkt auch differenzierbar.
Habe ich das jetzt verstanden. Ich wühle mich da durch :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Fr 30.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Oh mann... Kapiert..
Nein
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> Also, Grenzwert kenne ich. Mit n -> 0. Also ist n = 0.
Bei den obigen Folgen geht n gegen unendlich !
> Meine Funktion ist bei x0 = 0. Also ist die Funktion im
> Nullpunkt stetig.
Nein, ist sie nicht.
> (Ich habe einfach in [mm]x^3/y,[/mm] die 0
> eingesetzt. Mit y ungleich 0. Die Funktion wird trotzdem 0.
> -> [mm]0^3/y.[/mm] )
>
> Die Differenzierbarkeit lässt sich dann auch klären. Ich
> habe [mm]x^3/y[/mm] abgeleitet, nach x. Ich erhalte: [mm]3x^2/y.[/mm]
>
> Wenn ich da wieder 0 einsetze, kommt 0 raus. Also ist die
> Funktion im Nullpunkt auch differenzierbar.
Nein, ist sie nicht
Fred
>
> Habe ich das jetzt verstanden. Ich wühle mich da durch :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Fr 30.10.2015 | | Autor: | DrinkTea |
Oh mann.... warum ist das falsch? Ich dachte bei stetigkeit geht doch der limes gegen 0. Wieso plötzlich gegen unendlich? Ich muss doch limes gegen mein x0 einsetzten. Also null....
Ich habe schöne seiten gefunden, wo das gut erklärt war. Lines gegen null...
Bitte erklärt mir das. Wäre mega lieb!!!! Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Fr 30.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Oh mann.... warum ist das falsch? Ich dachte bei stetigkeit
> geht doch der limes gegen 0.
> Wieso plötzlich gegen
> unendlich? Ich muss doch limes gegen mein x0 einsetzten.
> Also null....
> Ich habe schöne seiten gefunden, wo das gut erklärt war.
> Lines gegen null...
Eigentlich wäre es deine Aufgabe, eure Definition der Stetigkeit nachzuschlagen.
Ausnahmsweise übernehme ich mal diesen Part (auch auf die Gefahr hin, damit nicht genau die Darstellung aus eurer Vorlesung zu treffen):
Sei [mm] $f\colon\IR^k\to\IR^l$ [/mm] und [mm] $x_0\in\IR^k$.
[/mm]
Dann heißt f stetig im Punkt [mm] $x_0$, [/mm] falls
(*) [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
[/mm]
gilt.
Was bedeutet nun die Schreibweise (*) ?
Sie bedeutet (in obiger Situation) per Definitionem:
Für ALLE Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Punkten [mm] $x_n\in\IR^k$, [/mm] für die
[mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$
[/mm]
gilt, gilt auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$.
[/mm]
In der vorliegenden Aufgabe bedeutet die (falsche) Aussage "$f$ ist stetig im Nullpunkt" also:
Für ALLE Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Punkten [mm] $x_n\in\IR^2$ [/mm] mit
[mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=(0,0)$
[/mm]
gilt
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0$.
[/mm]
Nun schlug dir Fred vor, mal speziell die durch [mm] $x_n:=(\frac{1}{n},\frac{1}{n^4})$ [/mm] gegebene Folge zu betrachten.
Wenn es dir gelingt, von dieser Folge zu zeigen, dass sie
[mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=(0,0)$,
[/mm]
aber NICHT
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0$
[/mm]
erfüllt, kann f nicht stetig in 0 sein.
Jetzt eine Bitte: Frage bitte konkret zu den Stellen in meinem Text nach, die dir unklar sind.
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Hallo zusammen,
habe die Diskussion gerade interessiert gelesen und konnte parallelen zu unserer Vorlesung finden. Uns wurde zwar gezeigt, dass es wohl schwierig ist die Stetigkeit von Funktionen im [mm] \IR^n [/mm] mit n>=2 festzustellen, uns wurden aber keine praktikablen Wege zur Untersuchung dieser Funktionen an die Hand gegeben.
Pauschale "Lösungswerkzeuge" soll es dafür ja nicht geben.
Direkte Übungsaufgaben für solche Fälle weiß ich auch keine.
Hat wer eine Idee wie man sich zu diesem Thema trainieren kann?
Gruß
Mathemystic
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Sa 31.10.2015 | | Autor: | hippias |
Leih' Dir Bücher über Analysis im [mm] $\IR^{n}$ [/mm] aus. Da findest Du Übungsaufgaben und auch meist auch Lösungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 02.11.2015 | | Autor: | DrinkTea |
Danke Dir tobit09! Ich bin direkt: n -> unendlich.
Meine zwei Folgen: 1/n und [mm] 1/n^2 [/mm] tendieren mit n-> unendlich, gegen null. Also ist der Punkt:
[mm] x_{n} [/mm] = (0,0).
Und dadurch ist die ganze Funktion, mit dem n am Ende unendlich. Und deswegen ist diese nicht stetig.
Ich habe es einfach ganz strupide eingesetzt. Deswegen ist die b) ja auch fällig. Die muss ich dann nicht mehr machen.
PS: Ich habe mir mal die Funktion plotten lassen ;) Und für mich ist das überhaupt nicht stetig... :)
Also so wie du es erklärt hast, kapiere ich das. Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 02.11.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Meine zwei Folgen: 1/n und [mm]1/n^2[/mm] tendieren mit n->
> unendlich, gegen null.
Ja, die Folgen [mm] $(\frac{1}{n})_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(\frac{1}{n^2})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren beide gegen 0.
> Also ist der Punkt:
> [mm]x_{n}[/mm] = (0,0).
[mm] $x_n$ [/mm] hatte ich durch
[mm] $x_n:=(\frac{1}{n},\frac{1}{n^4})$
[/mm]
(für jedes [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$) [/mm] eingeführt.
Vermutlich meinst du: Es gilt
[mm] $\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2})=(0,0)$.
[/mm]
Das stimmt nach einer Rechenregel für Konvergenz und Grenzwerte im [mm] $\IR^2$.
[/mm]
> Und dadurch ist die ganze Funktion, mit dem n am Ende
> unendlich.
Was meinst du genau mit "die ganze Funktion, mit dem n am Ende"?
Meinst du
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2})=\infty$?
[/mm]
Prüfen wir dies nach: Es gilt
[mm] $f(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2})=\frac{(\frac{1}{n})^3}{\frac{1}{n^2}}=\ldots=\frac{1}{n}$
[/mm]
für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] und somit
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2})=0$.
[/mm]
> Und deswegen ist diese nicht stetig.
Folgerichtig.
Um zu einer korrekten Argumentation zu kommen, betrachte wie von Fred und mir vorgeschlagen die Folge [mm] $((\frac{1}{n},\frac{1}{n^\red4}))_{n\in\IN}$ [/mm] anstelle der Folge [mm] $((\frac{1}{n},\frac{1}{n^\red2}))_{n\in\IN}$.
[/mm]
> Ich habe es einfach ganz strupide eingesetzt. Deswegen ist
> die b) ja auch fällig.
Hinfällig meinst du vermutlich... 
> Die muss ich dann nicht mehr
> machen.
Naja, du solltest schon eine Antwort auf die Frage nach der Differenzierbarkeit formulieren. Aber in der Tat ist das dann keine große Arbeit mehr.
> PS: Ich habe mir mal die Funktion plotten lassen ;) Und
> für mich ist das überhaupt nicht stetig... :)
Außerhalb des Nullpunktes in den Punkten der Form $(x,0)$ für [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$ [/mm] deutet für mich der Plot auch darauf hin, im Nullpunkt vermag ich dies nicht richtig zu erkennen. Aber vielleicht hast du einen besseren Plot als ich.
> Also so wie du es erklärt hast, kapiere ich das. Danke.
Schön. Ich hoffe, du nimmst hieraus mit, wie wichtig die Beschäftigung mit Definitionen in der Universitäts-Mathematik ist. Willst du eine Eigenschaft nachweisen (oder widerlegen), ist der erste Schritt sich klar zu machen, was diese Eigenschaft eigentlich per Definitionem besagt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mo 02.11.2015 | | Autor: | DrinkTea |
Ah du meine Güte! Ich meinte natürlich [mm] 1/n^4 [/mm] ! Ah, Mensch! Ja, langsam dämmerts. Aber ich bin jetzt durcheinander. Eine Nacht drüber schlafen, sollte klappen :)
Genau, ich meine [mm] 1/n^4. [/mm] Damit habe ich nach Umformung mein n -> unendlich raus.
Und ja... hinfällig. Jetzt muss ich mir mal die Antwort in b) mal 'schön' zusammen schreiben :)
Zu schnell getippt, zu schnell abgeschickt.
Ich bin grad sehr froh, dass das irgendwie zu mir durchkommt.
Danke Dir tobit09!!
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