Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Sa 18.01.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Zeige, dass die Funktion
$ [mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{x^5}{x^4+y^4}, & (x,y) ungleich 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right. [/mm] $
bei allen (x,y) [mm] \in IR^2 [/mm] stetig ist. |
Hallo,
ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.
f ist außerhalb des Nullpunktes als Komposition stetiger Funktionen stetig.
dann habe ich mein Problem ich weiß nicht was ich machen soll.
oft helfen Polarkoordinaten weiter aber hier glaube ich nicht oder?
gibt es mehrere Wege wie man die Stetigkeit zeigt? Lipschitz hab ich mal gehört.
Hätte hier jmd lust mir zu helfen?
Mit freundlichen Grüßen
caprii
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 18.01.2014 | | Autor: | capri |
soo ich habe mich nun bisschen schlau gemacht und habe gerechnet.
f ist nicht stetig in (0,0) [mm] a_n :=(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \limes_{n \to \infty} f((\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{1}{2n} [/mm] = 0
[mm] f(\limes_{n \to \infty}(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] = 0
und da es gleich ist und bei beiden 0 raus kommt ist es stetig stimmt das?
LG
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Hallo nochmal,
> soo ich habe mich nun bisschen schlau gemacht und habe
> gerechnet.
>
> f ist nicht stetig in (0,0) [mm]a_n :=(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} f((\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}))[/mm] =
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{1}{2n}[/mm] = 0
>
> [mm]f(\limes_{n \to \infty}(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm] = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und da es gleich ist und bei beiden 0 raus kommt ist es
> stetig stimmt das?
Ich fasse deine Aussage zusammen: " f ist in (0,0) nicht stetig, weil es für eine Folge dort stetig ist"
Das ist doch kompletter Unfug ..
Um Stetigkeit in (0,0) zu zeigen, müsste du das für alle Nullfolgen zeigen.
Das Folgenkrit. eignet sich nicht sonderlich gut, um Stetigkeit zu zeigen, wohl aber, um sie zu widerlegen (ein Gegenbsp. würde genügen)
>
> LG
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> Zeige, dass die Funktion
>
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{x^5}{x^4+y^4}, & (x,y) ungleich 0 \\ 0, & (x,y) =0 \end{matrix}\right.[/mm]
>
> bei allen (x,y) [mm]\in IR^2[/mm] stetig ist.
> Hallo,
>
> ich habe Probleme bei dieser Aufgabe.
>
> f ist außerhalb des Nullpunktes als Komposition stetiger
> Funktionen stetig.
>
> dann habe ich mein Problem ich weiß nicht was ich machen
> soll.
>
> oft helfen Polarkoordinaten weiter aber hier glaube ich
> nicht oder?
Warum nicht?
Was ergibt sich denn beim Übergang zu Polarkoordinaten?
> gibt es mehrere Wege wie man die Stetigkeit zeigt?
Über die Definition ...
> Lipschitz hab ich mal gehört.
> Hätte hier jmd lust mir zu helfen?
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> caprii
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 18.01.2014 | | Autor: | capri |
Mit Polarkoordinaten bekomme ich:
[mm] \bruch{(r cos(phi))^5}{(rcos(phi))^4+rsin(phi))^4} [/mm] = [mm] \bruch{r^5 (cos(phi))^5}{r^4(cos(phi)^4+sin(phi))^4} [/mm] = [mm] \bruch{r(cos(phi)^5}{cos(phi))^4+sin(phi)^4}
[/mm]
ist das richtig? wenn ja was wäre denn der nächste Schritt?
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Hallo capri,
> Mit Polarkoordinaten bekomme ich:
>
> [mm]\bruch{(r cos(phi))^5}{(rcos(phi))^4+rsin(phi))^4}[/mm] =
> [mm]\bruch{r^5 (cos(phi))^5}{r^4(cos(phi)^4+sin(phi))^4}[/mm] =
> [mm]\bruch{r(cos(phi)^5}{cos(phi))^4+sin(phi)^4}[/mm]
>
> ist das richtig? wenn ja was wäre denn der nächste
> Schritt?
Richtig ist es schon, aber das will doch kein Mensch rechnen.
Substituiere doch erst [mm] u:=x^2 [/mm] und [mm] v:=y^2.
[/mm]
Dann lautet Deine Funktion
[mm] f(u,v)=\bruch{\wurzel{u}^{5}}{u^2+v^2}
[/mm]
Das sieht doch schon viel mehr nach Polarkoordinaten aus.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 18.01.2014 | | Autor: | capri |
Hallo,
dann habe ich:
[mm] \bruch{\wurzel{rcos(phi)}^5}{(r cos(phi))^2+rsin(phi))^2} [/mm] = [mm] \bruch{r^5\wurzel{cos(phi))^5}}{r^2(cos(phi)^2+sin(phi))^2} [/mm] = [mm] \bruch{r^3\wurzel{cos(phi))^5}}{(cos(phi)^2+sin(phi))^2} [/mm] = [mm] r^3\wurzel{cos(phi))^5}
[/mm]
richtig? :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> dann habe ich:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{rcos(phi)}^5}{(r cos(phi))^2+rsin(phi))^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{r^5\wurzel{cos(phi))^5}}{r^2(cos(phi)^2+sin(phi))^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{r^3\wurzel{cos(phi))^5}}{(cos(phi)^2+sin(phi))^2}[/mm]
> = [mm]r^3\wurzel{cos(phi))^5}[/mm]
>
> richtig? :S
Nein . [mm] \wurzel{r}^5 \ne r^5.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 18.01.2014 | | Autor: | capri |
hmm wie mache ich es den bei dem Zähler?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Sa 18.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du warst schon fertig,in deiner ersten Polarrechnung. wenn r gegen 0 geht, geht dein Bruch gegen 0 unabhängig von [mm] \phi, [/mm] d.h. du findest zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] eine Umgebung von (0,0 ) sodass [mm] |f(x,y)-0|<\epsilon [/mm] wenn du nur r genügend klein wählst
Gruß leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:22 Sa 18.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo reverend
warum sollte man noch irgendwas substituieren und weiterrechnen, für r gegen 0 konvergiert das unabh. von [mm] \phi, [/mm] da der Nenner für kein [mm] \phi [/mm] verschwindet, (2 pos. Summanden, die nicht bei gleichem [mm] \phi [/mm] beide 0 sein können)
Gruß leduart
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:33 Sa 18.01.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
> warum sollte man noch irgendwas substituieren und
> weiterrechnen,
Man muss nicht. Ich fand, es ist dann leichter zu sehen.
> für r gegen 0 konvergiert das unabh. von
> [mm]\phi,[/mm] da der Nenner für kein [mm]\phi[/mm] verschwindet, (2 pos.
> Summanden, die nicht bei gleichem [mm]\phi[/mm] beide 0 sein
> können)
Ja, klar. Nur sind vierte Potenzen in Polarkoordinaten eben noch ziemlich unübersichtlich. Die Substitution schafft also mehr Klarheit, sonst nichts.
Viele Grüße
reverend
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