Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:27 So 26.10.2014 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3-xy^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not=\mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases} [/mm] |
Hallo an alle,
ich muss zeigen, dass f in (0,0) nicht stetig ist, aber ich stehe auf dem Schlauch. Ich habe es mit Grenzwerte probiert
wenn x = 0:
[mm] \limes_{(0,y)\rightarrow\(0,0)}f(0,y)=...
[/mm]
wenn y = 0:
[mm] \limes_{(x,0)\rightarrow\(0,0)}f(x,0)=...
[/mm]
und wenn x = y:
[mm] \limes_{(x,x)\rightarrow\(0,0)}f(x,x)=...
[/mm]
und in allen 3 Faellen bekomme ich immer 0 (Die Grenzwerte muss verschieden sein oder nicht existieren wenn eine Fun. nicht stetig ist oder habe ich es falsch verstanden?)
Dann habe ich es auch mit Pollarkoordinaten versucht aber es funzt auch nicht.
Vielleicht koennte mir jemand einen Tipp geben, es waere sehr nett.
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:53 So 26.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Edit:
So, ich hoffe diesmal steckt in den Folgen kein Fehler:
Betrachte die Folge [mm] $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\to_{n\to\infty}(0,0)$
[/mm]
und [mm] $\left(\frac{1}{n},0\right)\to_{n\to\infty}(0,0)$
[/mm]
Setzt du dies nun ein, so müsste etwas unterschiedliches rauskommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 So 26.10.2014 | | Autor: | Melisa |
Vielen Dank an alle,
ich habe es geschafft :). UUND alles verstanden.
LG
Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:24 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Melisa!
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3-xy^2}{x^2+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not=\mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
> ich muss zeigen, dass f in (0,0) nicht stetig ist, aber
> ich stehe auf dem Schlauch.
Mit einer Betrachtung der ersten von YuSul genannte Folge kannst du bereits die Unstetigkeit von f in (0,0) nachweisen.
> Ich habe es mit Grenzwerte
> probiert
> wenn x = 0:
> [mm]\limes_{(0,y)\rightarrow\(0,0)}f(0,y)=...[/mm]
> wenn y = 0:
> [mm]\limes_{(x,0)\rightarrow\(0,0)}f(x,0)=...[/mm]
> und wenn x = y:
> [mm]\limes_{(x,x)\rightarrow\(0,0)}f(x,x)=...[/mm]
> und in allen 3 Faellen bekomme ich immer 0
(Ungewöhnliche Limes-Notation z.B. mit [mm] $(x,x)\rightarrow(0,0)$ [/mm] statt [mm] $x\to0$, [/mm] aber ich verstehe, was gemeint ist.)
Hättest du irgendwo einen Limes [mm] $\not=0$ [/mm] herausbekommen (oder die Nicht-Existenz eines der Limiten), hättest du die Unstetigkeit gezeigt.
Aus Unstetigkeit in (0,0) folgt aber NICHT, dass deine obige Methoden zum Erfolg führen.
> (Die Grenzwerte
> muss verschieden sein oder nicht existieren wenn eine Fun.
> nicht stetig ist oder habe ich es falsch verstanden?)
Ja, das hast du falsch verstanden.
Unstetigkeit von f in (0,0) bedeutet, dass für IRGENDEINE gegen $(0,0)$ konvergente Folge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)$
[/mm]
nicht existiert oder dass anderenfalls IRGENDWELCHE zwei gegen $(0,0)$ konvergente Folgen [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(x_n',y_n')_{n\in\IN}$ [/mm] existieren mit
[mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)\not=\lim_{n\to\infty}f(x_n',y_n')$.
[/mm]
Niemand garantiert dir, dass es im Falle der Unstetigkeit solche Folgen [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n=0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, $y_n=0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] oder [mm] $x_n=y_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt.
> Dann habe ich es auch mit Pollarkoordinaten versucht aber
> es funzt auch nicht.
Das habe ich nicht nachgeprüft.
Selbst wenn für alle [mm] $\varphi\in\IR$
[/mm]
[mm] $\lim_{r\to0}f(r*\sin(\varphi),r*\cos(\varphi))=(0,0)$
[/mm]
gilt, heißt dies noch lange nicht, dass die Funktion f stetig in (0,0) ist!
(Da irren selbst manche Übungsleiter.)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
Eventuell ergänzend zu dem was Tobias gesagt hat:
Für deinen Versuch mit Polarkoord.
Gibt es eine stetige oder beschränkte Funktion [mm] \psi(\phi) [/mm] und eine Funktion g(r) , s.d.:
$|f(r [mm] cos(\phi),r sin(\phi))-f(0,0)| \le g(r)\psi(\phi)$ [/mm] , mit [mm] \limes_{r\rightarrow 0}g(r) [/mm] = 0 , so ist f im Nullpunkt stetig.
Gruß Thomas
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