Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:44 Fr 29.01.2021 | | Autor: | Mathemurmel |
| Aufgabe | Ist die Funktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{x-6}
[/mm]
stetig? |
Ist es richtig, dass jede Funktion, die nicht zusammengesetzt ist, stetig ist?
|
|
| |
|
Hiho,
> Ist die Funktion
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{x-6}[/mm]
>
> stetig?
Die Frage lässt sich ohne weitere Informationen nicht beantworten.
Wenn du $f$ jedoch auf seinem maximalen Definitionsbereich in [mm] $\IR$ [/mm] mit der Standardmetrik betrachtest, so lautet die Antwort: Ja.
> Ist es richtig, dass jede Funktion, die nicht
> zusammengesetzt ist, stetig ist?
Nein.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | > Ist die Funktion
>
> f(x) = [mm] \bruch{1}{x-6}
[/mm]
>
> stetig? |
Hi Gono,
Du antwortetest mir:
Die Frage lässt sich ohne weitere Informationen nicht beantworten.
Wenn du f jedoch auf seinem maximalen Definitionsbereich in IR mit der Standardmetrik betrachtest, so lautet die Antwort: ja.
Allgemein lautet sie: nein.
Kannst Du mir ein Beispiel nennen, möglichst im Niveau der Schulmathematik, wo dies nicht gilt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Fr 29.01.2021 | | Autor: | fred97 |
> > Ist die Funktion
> >
> > f(x) = [mm]\bruch{1}{x-6}[/mm]
> >
> > stetig?
> Hi Gono,
> Du antwortetest mir:
> Die Frage lässt sich ohne weitere Informationen nicht
> beantworten.
> Wenn du f jedoch auf seinem maximalen Definitionsbereich
> in IR mit der Standardmetrik betrachtest, so lautet die
> Antwort: ja.
> Allgemein lautet sie: nein.
Ich glaube, dass sich das "nein" von Gono auf Deine Frage nach zusammengesetzten Funktionen bezog.
>
> Kannst Du mir ein Beispiel nennen, möglichst im Niveau der
> Schulmathematik, wo dies nicht gilt?
>
>
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Kannst Du mir ein Beispiel nennen, möglichst im Niveau der Schulmathematik, wo dies nicht gilt?
Ha, Schulmathematik… da ich mir sowas schon gedacht hab, war meine Antwort so vage gehalten.
Meiner Erfahrung nach ist bei der Frage nach der Stetigkeit einer Funktion in Schulen oftmals eigentlich gemeint: Ist die Funktion auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig (erweiterbar).
Das Problem hier ist nun: Das ist eigentlich eine ganz andere Frage als von dir die gestellte.
Denn: Die Frage, ob eine Funktion stetig ist, bedeutet eigentlich: Ist sie auf ihrem maximalen Definitionsbereich stetig,
Der maximale Definitionsbereich deiner Funktion ist [mm] $\IR\setminus\{6\}$ [/mm] und dort ist die Funktion überall stetig.
Was oftmals leider in Schulen gemeint ist: Ist die Funktion stetig auf [mm] \IR [/mm] und wenn nicht, lässt sie sich stetig auf [mm] \IR [/mm] erweitern.
Daraus ist die Antwort hier "Nein", da [mm] $\lim_{x\to 6} [/mm] f(x)$ nicht existiert.
Zusammengefasst:
Formal ist die Antwort auf deine Frage klar und sie lautet "Ja".
Leider sind viele Schulaufgaben in der Hinsicht ungenau, und wenn man jetzt ein bisschen in die Glaskugel schaut und überlegt, was eigentlich gemeint war, wäre die Antwort auf die eigentlich korrekt formulierte Fragestellung: "Nein"
Grüße,
Gono
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | f(x,y) = [mm] tan(x^{2}+y^{2}) [/mm]
[mm] D_{f} [/mm] = [mm] B_{2}(0)
[/mm]
Beispiel für eine unstetige skalare Funktion aus dem zweidimensionalen Raum in den eindimensionalen Raum, jeweils Raum der reellen Zahlen. |
Aus der Diskussion, die dieser Frage voranging, entnahm ich, dass nur zusammengesetzte Funktioneen unstetig sein können.
Daher meine Frage: diese Funktion ist nicht zusammengesetzt, warum ist sie dann unstetig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 So 06.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> f(x,y) = [mm]tan(x^{2}+y^{2})[/mm]
> [mm]D_{f}[/mm] = [mm]B_{2}(0)[/mm]
>
> Beispiel für eine unstetige skalare Funktion aus dem
> zweidimensionalen Raum in den eindimensionalen Raum,
> jeweils Raum der reellen Zahlen.
> Aus der Diskussion, die dieser Frage voranging, entnahm
> ich, dass nur zusammengesetzte Funktioneen unstetig sein
> können.
>
Man liefere mir eine mathematisch präzise Definition von "zusammengesetzte Funktion ".
Ohne eine solche erübrigt sich jede Diskussion.
> Daher meine Frage: diese Funktion ist nicht
> zusammengesetzt, warum ist sie dann unstetig?
Wenn [mm] B_2(0) [/mm] die offene Einheitskreisscheibe im [mm] \IR^2 [/mm] ist, so ist obige Funktion stetig.
Wer erzählt etwas anderes?
|
|
|
| |
|
Hiermit ist sicherlich eine Funktion gemeint, die sich ohne die "übliche" Fallunterscheidung mit Hilfe der "üblichen" Terme definieren lässt.
Mir ist dazu auch kein Beispiel bekannt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 06.02.2022 | | Autor: | fred97 |
> Hiermit ist sicherlich eine Funktion gemeint, die sich ohne
> die "übliche" Fallunterscheidung mit Hilfe der "üblichen"
> Terme definieren lässt.
Ja, zweimal "üblich " und schon ist die mathematische Präzision im Eimer.
>
> Mir ist dazu auch kein Beispiel bekannt.
|
|
|
| |
|
[mm] f(x)=\lfloor{x}\rfloor [/mm] wäre ja so eine Funktion.
"Schöner" (auch so ein schwammiger Begriff) wäre eine ganz- oder gebrochen-rationale Fkt., ggf. in Kombination mit Exponential-, Logarithmus-, Wurzel- oder trigonometrischen Funktionen.
Das müsste so was wie f(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x^2}}{x} [/mm] sein, ist aber leider nicht für x=0 definiert und müsste wieder per Fallunterscheidung für x=0 definiert werden, was nicht gewünscht ist.
Vermutlich ist so etwas aber wegen der Stetigkeitssätze nicht möglich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Mo 07.02.2022 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]f(x)=\lfloor{x}\rfloor[/mm] wäre ja so eine Funktion.
was ist denn "so eine Funktion"?
Das ist immer noch keine mathematisch präzise Definition.
Worauf fred wohl hinaus wollte: Es gibt keine "zusammengesetzte" Funktion, wie vom Threadersteller gemeint.
Man sollte von dem Gedanken auch einfach wegkommen und sich unabhängig davon den Stetigkeitsbegriff verinnerlichen.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Zu erster Antwort von Fred:
Mit zusammengesetzter Funktion meine ich eine Funktion, die auf verschiedenen Teilmengen der Definitionsmenge verschiedene Funktionsvorschriften hat.
Im Skript zu Analysis 2 steht, dass die gegebene Funktion (s. Aufgabe) unstetig ist, dabei ist ein Graph.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 07.02.2022 | | Autor: | Gonozal_IX |
> Zu erster Antwort von Fred:
> Mit zusammengesetzter Funktion meine ich eine Funktion,
> die auf verschiedenen Teilmengen der Definitionsmenge
> verschiedene Funktionsvorschriften hat.
Ja, und diese Aussage ist unpräzise.
Ist $f(x) = x = [mm] \begin{cases} x, & x \le 0 \\ \frac{x^2}{x}, & x > 0 \end{cases}$ [/mm] zusammengesetzt ist nicht?
Ich habe schließlich verschiedene Funktionsvorschriften, aber halt auch nicht.
Ist $g(x) = [mm] \begin{cases} 2x, & x \le 0 \\ 2x + 1, & x > 0 \end{cases}$ [/mm] zusammengesetzt? Hat ja "auf verschiedenen Teilmengen der Definitionsmenge verschiedene Funktionsvorschriften".
Aber es gilt doch $g(x) = 2x + [mm] 1_{\IR^+}(x)$, [/mm] also hat $g$ für ganz [mm] $\IR$ [/mm] dieselbe Funktionsvorschrift, also wohl doch nicht zusammengesetzt.
Also wie du merkst: Wenn du was "meinst", sollte sich das immer auf eine mathematisch präzise Definition beziehen, sonst hat das alles keinen Sinn.
> Im Skript zu Analysis 2 steht, dass die gegebene Funktion
> (s. Aufgabe) unstetig ist, dabei ist ein Graph.
Von welchen der beiden reden wir jetzt?
Aber wie von fred bereits erwähnt: Dann ist dein Skript falsch, oder du hast etwas falsch wiedergegeben.
Gruß,
Gono
|
|
|
|
