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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:32 Mo 05.12.2005 | | Autor: | kuminitu |
| Aufgabe | $ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}$, $x\in \IR$
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktion $f(x)$ nur im Nullpunkt stetig ist. |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Bin über jede Antwort erfreut!
MFG
Kuminitu
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Hi,
wenn du dir die Funktion vorstellst siehst du ja, daß sie unendlich viele Unstetigkeitsstellen hat, um diese zu zeigen nimmst du dir einfach eine rationale und irrationale Zahl die nah beieinander liegen und zeigst, daß die Funktionswerte weit auseinanderliegen, das ist dann die Unstetigkeit.
Die 0 ist eine Ausnahme, da sie zwar rational ist, aber so trotzdem auf die 0 abgebildet wird, also f(0)=0 und das ist ja stetig.
LG
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mo 05.12.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
danke für die Antwort, ich weiss aber leider nicht wie
das Allgemein zeige, das die Funktionswerte von zwei
nahe nebeneinanderliegende irrationalen und rationalen
sehr unterschiedlich sind. Ich muss es doch für beliebige
Zahlen zeigen, oder?Wie mach ich sowas??
Kuminitu
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> Hallo,
> danke für die Antwort, ich weiss aber leider nicht wie
> das Allgemein zeige, das die Funktionswerte von zwei
> nahe nebeneinanderliegende irrationalen und rationalen
> sehr unterschiedlich sind. Ich muss es doch für beliebige
> Zahlen zeigen, oder?Wie mach ich sowas??
> Kuminitu
Hallo,
zu betrachten sind drei Fälle, 1. [mm] p\not=0 [/mm] ist rational, 2. [mm] p\not=0 [/mm] ist nicht rational und 3. p=0.
1. Sei p rational.
Nimm an, die Funktion wäre stetig.
Zu [mm] \bruch{p}{2} [/mm] gibt es dann ein [mm] \delta [/mm] so, daß
|f(x)|= |f(p)-f(x)|< [mm] \bruch{p}{2} [/mm] für |p-x|< [mm] \delta.
[/mm]
Nun überlege/konstruiere Dir eine irrationale Zahl, die innerhalb dieser [mm] \delta-Umgebung [/mm] sehr dicht an p liegt. Du kriegst dann einen Widerspruch.
2. p irrational
Du weißt wahrscheinlich aus der Vorlesung, daß man jede reelle Zahl beliebig genau durch eine rationale approximieren kann.
3. p=0
Hier zeigst du die Stetigkeit.
Nimm [mm] \varepsilon>0 [/mm] und zeig, daß für alle x mit [mm] |x|<\varepsilon [/mm]
[mm] |f(0)-f(x)|<\varepsilon [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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