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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo,
habe mal wieder eine Frage zu einer stetigen Funktion:
Man ordne jederm x = [mm] 0,z_1 z_2 z_3 [/mm] .... [mm] \in [/mm] [0,1) die Ziffer f(x):= [mm] z_7 [/mm] aus der Dezimalbruchentwicklung on x zu (Der Dezimalbruch ende nicht mit einer Neunerperiode). Man prüfe f auf Stetigkeit.
Ich stell mir das so vor dass die funktion auf dem intervall [0, [mm] 10^{-7}[ [/mm] stetig 0 ist dann im Punkt 10^-7 einen Sprung auf 1 macht und dann wieder im Intervall [mm] ]10^{-7} [/mm] ; [mm] 2*10^{-7}[ [/mm] stetig 1 ist, im punkt [mm] 2*10^{-7} [/mm] einen Sprung macht u.sw. der funktionswert geht dann bis 9 hoch und spring im Punkt [mm] 10*10^{-7}=10^-6 [/mm] wieder auf die 0. dann eghts von vorne los.
also mein Minimalansatz:
Vermutung: f ist stetig in jedem Intervall: [mm] ]n*10^{-7} [/mm] ; [mm] (n+1)*10^{-7}[
[/mm]
und unstetig in jedem Punkt [mm] n*10^{-7}
[/mm]
nur wie kann man das hier zeigen?
Ist vollständige Induktion ein guter Ansatz?
also erstmal die Stetigkeit von [mm] ]0*10^{-7} [/mm] ; 1*10^-7[ zeigen.
Also Induktionsvorraussetzung [mm] ](n-1)*10^{-7} [/mm] ; n* [mm] 10^{-7}[ [/mm] Stetig
für die stetigkeit hab ich die Funktionalgleichung aufgestellt:
Edit: [mm] f((n+1)*10^{-7}) [/mm] = [mm] f(n*10^{-7})+10^{-7}
[/mm]
und damit dann den Induktionsschluss?
Dann muss ich aber noch zeigen dass die Sprungpunkte unstetig sind.
Mir ist auch nicht klar wieso der Dezimalbruch nicht mit einer Neunerperiode enden darf.
Hoffe auf Hilfe
MFG Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 So 14.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Kann mir denn niemand einen Ratschlag zu der Aufgabe geben? ich komm allein nicht weiter..
würde es evtl auch reichen, einfach zu sagen dass f(x) in allen Intervallen [mm] (n*10^{-7}; (n+1)*10^{-7}) [/mm] stetig ist weils offfensichtlich in den Intervallen f(x) konstant n modulo 10 ist?
Nur wie kann ich beweisen dass es an den Springpunkten unstetig ist, ich komm nicht drauf!?
mfg ratloser thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 So 14.01.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> also mein Minimalansatz:
>
> Vermutung: f ist stetig in jedem Intervall: [mm]]n*10^{-7}[/mm] ;
> [mm](n+1)*10^{-7}[[/mm]
> und unstetig in jedem Punkt [mm]n*10^{-7}[/mm]
Die Stetigkeit auf den jeweiligen Intervallen zu zeigen sollte kein Problem sein, da die f auf jedem Interval konstant ist.
> Dann muss ich aber noch zeigen dass die Sprungpunkte
> unstetig sind.
Folgenkriterium.
> Mir ist auch nicht klar wieso der Dezimalbruch nicht mit
> einer Neunerperiode enden darf.
Das darf er, daber die siebte Zahl davon bleibt trotzdem eine 9.
Gurß,
dormant
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