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Hallo. Habe folgende Aufgabe:
f: R---->R;
[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix}
sin(n), & \mbox{wenn }n\mbox{ kleiner 0 } \\
\bruch{n}{2}, & \mbox{wenn }n\mbox{ größer gleich 0 und kleinergleich 2 } \\
\bruch{1}{1-n}, & \mbox{wenn }n\mbox{ größer 2 }
\end{matrix}\right. [/mm]
Untersuche in welchen Punkten f stetig ist und bestimme den Grenzert
[mm] \limes_{x \to \pm \ infty}f(x) [/mm] Tipp:"Bestimme die rechts und linksseitigen Grenzwerte von f in x=0,2!!Was soll mit das bringen bwz. wieso geade 0,2!!??
Also ich weiß,dass eine Funktion bei einem wert c stetig ist wenn gilt:
[mm] \lim_{x \to \ c }f(x) [/mm] = f(c) ich habe es heir aber mit Intervallen zu tun,oder?
ich bin der meinung,dass alle drei Teilfunktionen stetig sind,oder?
Viell. kann mir ja jemand helfen.danke daniel
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Hallo Daniel,
> [mm]\limes_{x \to \pm \ infty}f(x)[/mm] Tipp:"Bestimme die rechts
> und linksseitigen Grenzwerte von f in x=0,2!!
> Was soll mit
> das bringen bwz. wieso geade 0,2!!??
Die Stelle x = 0,2 bringt dir nichts, aber die Stellen 0 und 2 bringen dir was 
> Also ich weiß,dass eine Funktion bei einem wert c stetig
> ist wenn gilt:
>
> [mm]\lim_{x \to \ c }f(x)[/mm] = f(c) ich habe es heir aber mit
> Intervallen zu tun,oder?
Die Funktion ist stückweise definiert, der Definition der Stetigkeit ist das aber egal: Je nachdem, in welchem Intervall x liegt, musst du halt die richtige Teildefinition von f verwenden.
> ich bin der meinung,dass alle drei Teilfunktionen stetig
> sind,oder?
Ja, innerhalb jedes dieser drei Intervalle ist die Funktion stetig (bei den ersten beiden Teilfunktionen ist das offensichtlich, bei der dritten musst du noch schauen, dass sie keinen Pol hat).
Die einzigen Stellen, an denen f nun also noch auf Stetigkeit geprüft werden muss, sind die Ränder der Intervalle.
Ist dir bekannt, dass man die Stetigkeit einer reellen Funktion auch dadurch charakterisieren kann, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert existiert und sie beide mit dem Funktionswert an der betrachteten Stelle übereinstimmen? Wenn ja, dann weißt du nun, was dir der Tipp bringt. 
Gruss,
SirJective
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Danke für deine Antwort.
Die professorin hat das auch so gemeint nur ein bisschen blöd hingeschrieben: "0,2"!!
Habe es jetzt heraus: PS: wenn ich den Grenzwert für +,- Unendlich bestimme muss ich nur die Teilfunktion ganz rechts und die teilfunktion ganz links bestimmen??
wenn schon,dann ist der grenzwert für + [mm] \infty [/mm] 0 und für - [mm] \infty [/mm] divergent in dem intervall: [-1,1],oder???
MFG Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 So 31.10.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo nitro1185!
> Habe es jetzt heraus:
Was denn genau? ;)
> PS: wenn ich den Grenzwert für +,-
> Unendlich bestimme muss ich nur die Teilfunktion ganz
> rechts und die teilfunktion ganz links bestimmen??
Ja, denn wenn Du mit n gegen [mm] \pm \infty [/mm] gehst, kannst Du ohne Beschränkung der Allgemeinheit sagen, dass Du Deine Untersuchung von einem beliebig kleinen oder beliebig großen Punkt aus machst, so dass die anderen Definitionsintervalle gar nicht überstrichen werden.
> wenn schon,dann ist der grenzwert für + [mm]\infty[/mm] 0 und für -
> [mm]\infty[/mm] divergent in dem intervall: [-1,1],oder???
Das ist korrekt, denn
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f(n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\limes_{n\rightarrow\infty}n} [/mm] = 0$ und
[mm] $\limes_{n\rightarrow-\infty}f(n) [/mm] = [mm] -sin(\limes_{n\rightarrow\infty}n)$
[/mm]
Wähle nun eine Zahlenfolge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2n\pi$ [/mm] und eine Zahlenfolge [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $b_n [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2n\pi$, [/mm] dann erhälst Du:
[mm] $-sin(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n) [/mm] = -1 [mm] \not= [/mm] 1 = [mm] -sin(\limes_{n\rightarrow\infty}b_n)$
[/mm]
Also ist die Funktion unbestimmt divergent für $n [mm] \rightarrow -\infty$ [/mm] und dort beschränkt durch 1, was Du aber nur aus den Eigenschaften des Sinus, nicht aus denen des Grenzwertes bestimmen kann.
greetz
AT-Colt
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