Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | x / |x| -> In welchen Intervallen wird durch den folgenden Term eine stetig Fkt. definiert= Kann man die etwa vorhandene Unstetigkeit beheben ??
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also ka hab das jetzt so gemacht
weil im prinzip ist der sprung ja bei 0 von 1 auf -1
berechnen kann man da ja nix grossartig
also einfach nur intervall [mm] ]-\infty [/mm] ; 0 [ ; ]0, [mm] +\infty[
[/mm]
ist die fkt stetig
stimmt das so?
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> x / |x| -> In welchen Intervallen wird durch den folgenden
> Term eine stetig Fkt. definiert= Kann man die etwa
> vorhandene Unstetigkeit beheben ??
>
>
> also ka hab das jetzt so gemacht
>
>
> weil im prinzip ist der sprung ja bei 0 von 1 auf -1
>
> berechnen kann man da ja nix grossartig
>
>
> also einfach nur intervall [mm]]-\infty[/mm] ; 0 [ ; ]0, [mm]+\infty[[/mm]
>
> ist die fkt stetig
> stimmt das so?
Hallo,
das Ergebnis ist durchaus richtig: die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
Mit
> berechnen kann man da ja nix grossartig
wirst Du allerdings bei Deinen Korrektoren keine Begeisterungsstürme ernten.
Auch wenn hier keine "großartigen" Berechnungen vonnöten sind, mathematisch korrekt begründen muß man es schon.
Ich würde das mit dem [mm] \varepsilon- \delta [/mm] - Kriterium machen.
Zur zweiten Frage:
eine Unstetigkeit haben wir ja bei der Funktion nicht vorliegen, weil sie für x=0 gar nicht definiert ist.
Allerdings kann man sich überlegen, ob es einem gelingt, die gegebene Funktion so auf [mm] \IR [/mm] fortzusetzen, also die Lücke bei 0 zu "stopfen", daß sie an der Stelle 0 stetig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
aha wie geht denn das kriterium ka sowas mal bei folgen gemacht mit epsilon .....
natürlich ist sie an der stelle unstetig sie macht einen sprung
und sprünge bedeuten unstetigkeit so hab ich das jedenfalls gelernt.
wie wäre das denn hier 2 - 1/(x-1)² hätte ich jetzt versucht beides auf 1 nenner zu bringen also im prinzip dann (2(x-1)² - 1) / (x-1)²
aber irgendwie funzt das nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo bjoern
ganz so wurschtig kann man mit Mathe nicht umgehen.
zu jeder Aussage gehört ne Begründung!
1. für x>0 ist x/|x|=x/x=1 der GW für x gegen 0 also auch 1
für x<0 ist x/|x|=x/(-x)=-1 der GW für x also -1. d.h. es liegt bei x=0 eine NICHT BEHEBBARE Unstetigkeit vor!
(die fkt f(x)=x/x ist in 0 auch nicht definiert, also nicht stetig, hier kann man aber die Unstetigkeit durch die Definition f(0)=1 beheben)
Ist das was du jetzt schreibst ne neue Frage? dann musst du den pkt x=1 ansehen, und überlegen ob die fkt da stetig oder unstetig ist, wenn sie unstetig ist dann musst du untersuchen, ob man die Unstetigkeit durch eine Wahl von f(1) beheben kann oder nicht: wenn der GW von links und rechts derselbe ist (und nicht [mm] \infty) [/mm] kann man die Unstetigkeit beheben.
Also immer ne Begründung zu deinen Aussagen, das ist das Wesen der mathematik!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
ok
da hab ich dann aber noch eine frage :)
warum ist denn bei der fkt. f(0) = x/x =1 .... warum ist das dann behoben
ich setze doch praktisch 0/0 ein wie kann das denn dann 1 sein das verstehe ich nicht
ab wann kann ich ne fkt. lücke beheben und wann nicht ??
verstehe das irgendwie nicht mit dem einsetzen
danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast mich missverstanden:
man muss die funktion so definieren:
f(x)=x/x für alle [mm] x\ne0
[/mm]
und f(x)=1 für x=0
nur dieses f(x) ist dann stetig. und sowas nennt man "stetig ergänzen" man definiert also an einer ( oder mehreren ) Stellen die funnktion anders als im übrigen Intervall, mit dem Ziel damit ne stetige funktion "herzustellen"
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
hmmm kann ja eigentlich nich so schwer sein aber so ganz hab ichs immer noch nicht ....
ich bring mal ein 2. bsp.
x² / |x| ist ja auch für 0 nicht definiert
so
x>0 f(1) = [mm] (1)^2/1 [/mm] = 1
x<0 f(-1) = [mm] (-1)^2/1 [/mm] = 1
bei dem voran gegangen bsp. hatten wir ja 1 und -1 beim einsetzen rausbekommen
also somit behebbare unstetigkeit
ist das richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, dass es eine hebbare Unstetigkeit ist, da aber die kritische Stelle 0 ist hilft es nichts dass du den Wert 1 und -1 einsetzt. du musst den GW für x gegen 0 [mm] ansehen:f(x)=x^2/|x| [/mm] ist dasselbe wie [mm] f(x)=x^2/x=x [/mm] für x>0 und der Gw für x gegen 0 ist 0
[mm] f(x)=x^2/-x=-x [/mm] für x<0 und der Gw für x gegen 0 ist auch 0.
deshalb kann ich die Funktion in O durch f(0)=0 ergänzen, für alle anderen x bleibt [mm] f(x)=x^2/|x|
[/mm]
dass zufällig f(-1)=f(1) ist hat damit nix zu tun.
Auch die fkt [mm] f(x)=4x^2/|x|für [/mm] x<0 und [mm] f(x)=7x^2/|x| [/mm] für x>0 kann ich bei 0 durch f(0)=0 stetig ergänzen, aber hier ist f(1)=7 f(-1)=4
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
also ist werte einsetzen generell falsch??
hab das jetzt oben so verstanden
hast gemacht x²/x= x*x/x = x und dann hast du f(0) eingesetzt
das gleiche halt mit -
hätte jetzt noch diese hier als aufgabe 2^(- [mm] (1/(x-2)^2)
[/mm]
da betrachte ich jetzt nur die potenz oder ???
aber wenn ich es auflöse wäre ja im prinzip [mm] 1/(x^2-2x+1)
[/mm]
da kann ich ja nix beheben
also nicht definiert wäre da 1
......
vielen dank erstma noch für deine hilfe ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> also ist werte einsetzen generell falsch??
Ja! nicht falsch, aber nutzlos!
>
> hab das jetzt oben so verstanden
>
> hast gemacht x²/x= x*x/x = x und dann hast du f(0)
> eingesetzt
nein ich hab mich überzeugt, dass ich dieses kürzen für beliebig kleine x machen kann. d.h. für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon [/mm] gilt [mm] |f(x)-0|<\varepsilon [/mm] wenn nur [mm] x<\varepsilon [/mm] ist. (in Wirklichkeit "siehst" du das natürlich direkt, weil man für jedes x>0 egal wie klein es ist kürzen darf.)
> das gleiche halt mit -
>
>
>
> hätte jetzt noch diese hier als aufgabe 2^(- [mm](1/(x-2)^2)[/mm]
das kann ich leider nicht lesen!
Wenn es [mm] 2-\bruch{1}{x-2}^2 [/mm] ist hat es bei x=2 eine Definitionslücke, die man nicht durch eine geschickte definitio n von f(2) beheben kann.
Die aussage wäre dann die fkt ist überall auf ihrem Definitionsgebiet [mm] \IR/2 [/mm] stetig, die definitionslücke bei x=2 kann nicht stetig behoben werden.
Wenns ne andere fkt ist musst du sie nochmal ordentlich mit formeleditor aufschreiben
Gruss leduart
> da betrachte ich jetzt nur die potenz oder ???
>
> aber wenn ich es auflöse wäre ja im prinzip [mm]1/(x^2-2x+1)[/mm]
>
> da kann ich ja nix beheben
>
> also nicht definiert wäre da 1
>
> ......
>
> vielen dank erstma noch für deine hilfe ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
bekomms nicht anders hin hmpf mom
also 2^(-1/(x-1)²)
^(-1/(x-1)²) <--- das ist die potenz von 2
bekomme das mitm bruchstrich irgendwie nicht hin naja -1 steht oben ;
(x-1)² steht unter dem bruchstrich
so bessser?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Unter dem Eingabefenster steht doch für alles ein Muster:
ich rat jetzt mal:
[mm] f(x)=2^{-\bruch{1}{(x-2)^2}}
[/mm]
klick das mal an, dann siehst du, wie mans schreibt!
also nicht definiert für x=2
der Bruch geht also für x gegen 2 gegen unendlich.
aber was passiert mit [mm] 2^{-a} [/mm] wenn a gegen unendlich geht? denk dran, [mm] 2^{-a}=1/2^a.
[/mm]
Wenn deine fkt. so wie ich sie aufgeschrieben hab jetzt richtig ist bist du wieder am Denken!
den Formeleditor zu benutzen dauer zwar was länger, macht es aber einfacher für uns! und du willst doch Hilfe!
und mit Vorschau kannst du alles ansehen.
ein Student der NW sollte eh ganz schnell TEX lernen!!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
naja der bruch wird entweder unendlich klein oder unendlich gross kommt drauf an
aber hilft mir das jetzt weiter mit stetigkeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Ne der Bruch (ohne das -) wird unendlich gross.
ich hatte dir was anderes zu denken gegeben. es steht doch da 2 hoch -Bruch?!
und denk mindestens 10 minuten bevor du weiter fragst!
Gruss leduart
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