Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Pizza |
Hi, Leute!
Ich sitze hier an dieser Aufgabe und komme einfach nicht auf die Loesung:
Beweise:
Die Funktion
f: [mm] \IC \to \IC [/mm] ,
[mm] $f(x)=\begin{cases} \bruch{ e^{x}-1-x}{x^{2}}, & \mbox{für } x \not=0 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x =0 \end{cases}$
[/mm]
ist stetig.
Mein Loesungsansatz:
Die Bilder kompakter Mengen sind kompakt.
Daher muesste f[f(x)] kompakt sein.
Ich wuerde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen koennte.
Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Pizza!
> Hi, Leute!
> Ich sitze hier an dieser Aufgabe und komme einfach nicht
> auf die Loesung:
>
> Beweise:
> Die Funktion
> f: [mm]\IC \to \IC[/mm] ,
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{ e^{x}-1-x}{x^{2}}, & \mbox{für } x \not=0 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x =0 \end{cases}[/mm]
>
> ist stetig.
>
> Mein Loesungsansatz:
> Die Bilder kompakter Mengen sind kompakt.
> Daher muesste f[f(x)] kompakt sein.
Sag' mal, Pizza, willst du uns hier eigentlich verarschen?
Der Satz hat zwar was mit Stetigkeit zu tun, aber er ist beliebig von dir ausgewählt geworden, damit wir dir nicht vorwerfen können, keine Lösungsansätze zu präsentieren.
Okay, ich gehe also mal davon aus, dass du uns nicht an der Nase rumführen willst und tatsächlich diese Aufgabe lösen mußt.
Ich möchte dir aber, bevor ich dir einen Tipp gebe, noch sagen, dass dieses Forum möglicherweise falsche Hoffnungen in dir geweckt hat (das schliesse ich nicht nur aus dieser Frage, sondern aus allen bisherigen Fragen). Du benötigst echte Nachhilfe, in der dir jemand von Anfang an alle Grundlagen erklärt (ich nehme an, dass du den üblichen Weg, dir die Sachen selbst beizubringen/zu lernen schon gegangen bist). Wie wäre es denn, wenn du dich mit einem Kommilitonen zusammensetzen würdest? Hier im Forum hast du ja bereits einige getroffen.
Dieses Forum kann --dasselbe gilt für alle kostenlosen Mathe-Foren-- nur bei sehr überschaubaren Verständnisproblemen weiterhelfen, und ersetzt auf gar keinen Fall das eigene Studium.
> Ich wuerde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> koennte.
Bei deiner Funktion wird Stoff aus der ersten Vorlesungswoche --nämlich die Stetigkeit von Funktionen-- verbunden mit einer Verallgemeinerung auf den komplexen Zahlkörper.
Problematisch für die Stetigkeit ist nur die Stelle x=0, da die einzelnen Teilfunktionen auf ihren Gültigkeitsbereich stetig sind.
Damit f an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] stetig ist, muss folgender Grenzwert existieren
[mm] $\limes_{x\to x_0} [/mm] f(x)$
und den Wert [mm] $f(x_0)$ [/mm] haben, also kurz
[mm] $\limes_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$
[/mm]
Wie du siehst, gilt diese Defintion nicht nur für reellwertige Funktionen, sondern auch für komplexwertige.
Konkret ist hier also zu zeigen, dass [mm] $\limes_{x\to x_0} \bruch{e^x-1-x}{x^2}=\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Im Reellen könnte man nun einfach die Hospitalschen Regeln anwenden, im Komplexen geht das wohl auch, aber das ist bestimmt noch nicht in der Vorlesung behandelt worden. Also gehen wir hier zu Fuß.
Mein Tipp ist, die Reihendarstellung von [mm] e^x [/mm] zu benutzen: [mm] $e^x=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}$.
[/mm]
Ersetze diese Darstellung mal in der Funktionvorschrift von f, spalte die ersten zwei Summanden ab, vereinfache und sei überrascht, dass der Limes gerade den geforderten Wert hat.
Probier' das bitte mal und melde dich mit deinen (Zwischen-) ergebnissen.
Viel Erfolg,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Fr 10.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Ich fand die Aufgabe ganz interessant (zur Übung). 
Ich hab es auch versucht und weiter umgeformt.
Ich komm dann schließlich auf
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x})
[/mm]
Wenn ich nun aber den Limes reinziehe, steht da:
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!} [/mm] - [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \infty [/mm] oder?
Da [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty [/mm] definiert ist.
Aber wie macht man hier weiter, so dann man am Ende auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kommt?
Danke!
Destiny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:28 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo destiny!
> Ich fand die Aufgabe ganz interessant (zur Übung).
Ach so, ich dachte schon, du seist eine Studienkollegin von Pizza.
> Ich hab es auch versucht und weiter umgeformt.
> Ich komm dann schließlich auf
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{x})
[/mm]
Woher kommt [mm] $\bruch{1}{x}$?
[/mm]
> Wenn ich nun aber den Limes reinziehe, steht da:
Das ist die falsche Logik. Den Limes kann man nur "reinziehen", wenn die einzelnen Limiten überhaupt definiert sind.
Du zeigst hier aber gerade, dass sie nicht definiert sind, also darfst du sie auch nicht "reinziehen".
Und das heißt nicht, dass der erste Limes nicht auch definiert wäre, wie folgendes Beispiel zeigt:
[mm] $0=\limes_{x\to0} 0=\limes_{x\to0}\left( \bruch{1}{x}-\bruch{1}{x}\right)\red{=}\limes_{x\to0} \bruch{1}{x}-\limes_{x\to0}\bruch{1}{x}=?$
[/mm]
Das rote Gleichheitszeichen ist also falsch.
Aber dieses Problem stellt sich ja auch gar nicht, siehe oben.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Sa 11.12.2004 | | Autor: | destiny |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo, Marc!
Ne, ich kenn Pizza nicht. Wie kommst du drauf? Egal ...
Nochmal zu der Aufgabe:
Du hast doch gemeint, man soll doch \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!} in f für e^{x} einsetzen. Und dann die ersten 2 Summanden abspalten und dann so lange umformen, bis \bruch{1}{2} rauskommt.
Also, bei mir sieht das so aus:
\limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}-1-x}{x^{2}}
\limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}-1}{x^{2}} - \bruch{x}{x^{2})
Dann kann man ja \bruch{x}{x^{2}} kürzen, ist dann gleich \bruch{1}{x}.
\limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\bruch{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}}{x^{2}} - \bruch{1}{x})
[Ich hab hier die 1 subtrahiert vom ersten Summanden der Summe.]
Jetzt ziehe ich die x_{2} in die Summe rein:
\limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n! x_{2}} - \bruch{1}{x})
\limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!} - \bruch{1}{x})
Stimmt das bis hierhin? Dann komm ich aber nicht mehr weiter.
Den Limes darf ich ja nicht reinziehen. Wie mach ich jetzt weiter?
Danke
Destiny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Sa 11.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, Marc!
Ne, ich kenn Pizza nicht. Wie kommst du drauf? Egal ...
Nochmal zu der Aufgabe:
Du hast doch gemeint, man soll doch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!} [/mm] in f für [mm] e^{x} [/mm] einsetzen. Und dann die ersten 2 Summanden abspalten und dann so lange umformen, bis [mm] \bruch{1}{2} [/mm] rauskommt.
Also, bei mir sieht das so aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}-1-x}{x^{2}} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}-1}{x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{x}{x^{2}}) [/mm]
Dann kann man ja [mm] \bruch{x}{x^{2}} [/mm] kürzen, ist dann gleich [mm] \bruch{1}{x}. [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\bruch{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}}{x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}) [/mm]
[Ich hab hier die 1 subtrahiert vom ersten Summanden der Summe.]
Jetzt ziehe ich die [mm] x_{2} [/mm] in die Summe rein:
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n! x_{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}) [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} (\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{(n-2)!} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}) [/mm]
Stimmt das bis hierhin? Dann komm ich aber nicht mehr weiter.
Den Limes darf ich ja nicht reinziehen. Wie mach ich jetzt weiter?
Danke
Destiny
|
|
|
| |
|
Das hat Marc ein wenig anders gemeint...
Zieh mal die Summe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm] auf die ersten paar Summanden auseinander:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}=\bruch{x^0}{0!}+\bruch{x^1}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...=1+x+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+...[/mm]
Dann setz das im Zähler ein, schau genau hin was rausfällt, und überleg dann, wie du im Zähler und Nenner kürzen kannst, so dass genau der gewünschte Grenzwert rauskommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:45 So 12.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Danke für deine Aufklärung. Ich hab den Marc echt falsch verstanden.
Ich hab jetzt so aufgelöst, und hab gesehen, dass die 1 und das x rausfällt, dann hab ich die [mm] x^{2} [/mm] in die Summe reingezogen, und bin schließlich auf diesen Term gekommen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{x^{n-2}}{n!} [/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht weiter.
Wenn ich nämlich x gegen [mm] x_{0} [/mm] = 0 laufen lasse, wird doch der Zähler null, aber dann komm ich nicht auf [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
0 hoch irgendwas ist doch immer 0.
Oder hab ich bei der Umformung schon einen Fehler gemacht?
Danke für eure Hilfe!
Destiny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 So 12.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Sorry, aber ich hab jetzt die Lösung gesehen!
Ich hab nämlich die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nicht gesehen, weil ich die ganze Zeit die ganze Summe betrachtet habe, aber nicht die einzelnen Summanden!
Meine Frage hat sich geklärt. Nochmals danke für eure Hilfe!
destiny
|
|
|
|
