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Guten morgen.
Ich habe mal eine Frage bezüglich einer Funktion [mm] f:\IR\to\IR. [/mm] Gegeben ist [mm] \alpha\in\IR.
[/mm]
Die Funktion ist definiert durch
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2, & \mbox{für }x\le\mbox{0 } \\
\alpha(cos(x)-1), & \mbox{für } 0 < x\le \pi \mbox{ } \\ -1, & \mbox{für } x > \pi \mbox{ }
\end{matrix}\right.
[/mm]
Hierbei handelt es sich ja um die Fallunterscheidung bzw. Komposition. Das heißt ich jede Funktion einzeln auf deren definierten x untersuchen. Also z.B. [mm] -x^2 [/mm] für x [mm] \le [/mm] 0 nur die negateiven Werte auf der x- Achse. Selbes gilt für [mm] \alpha(cos(x)-1) [/mm] für [mm] 0
für -1 weiß ich nicht was ich machen soll. Hier kann ich doch garnichts einsetzen. Da ich aber weiß, dass es sich hierbei um eine gerade parallel zur x- Achse handelt, und ich sie erst für alle Werte [mm] x>\pi [/mm] untersuchen soll. Ist es gut möglich, dass die Kompositionen dieser Funktionen Stetig sind. Ist es am besten, wenn ich mir dazu eine Skizze mache?
P.S. Stetigkeit war doch, dass die Funktion keine Lücke haben darf richtig? Also sie muss für alle Werte x definiert sein. Wenn nicht, ist sie nicht Stetig.
Mit freundlichen Grüßen Domenick
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Hallo Domenick!
So ganz erschließt sich mir nicht, was Deine eigentliche Frage ist. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Zum einen musst du hier bei der Winkelfunktion immer im Bogenmaß rechnen.
Zum anderen sollst Du hier bestimmt den Wert [mm] $\alpha$ [/mm] derart bestimmen, dass diese zusmmengesetzte Funktion stetig ist. Dafür musst Du an den Nahtstellen (hier also: [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \pi$ [/mm] ) die jeweiligen Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) ermitteln. Diese müssen dann auch jeweils übereinstimmen.
Gruß vom
Roadrunner
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Super dankeschön zunächst für den Tipp!
Die Antwort ist jedenfalls das was ich mir erhofft hatte 
Also das mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert wäre meine zweite Überlegung gewesen. Tatsächlich soll ich gucken, für welches Element [mm] \alpha \in \IR [/mm] Stetig ist. Allerdings hätte ich das halt so gemacht, dass ich die einzelnen Funktionen Skizziert hätte. Aber das würde glaube ich ziemlich lange dauern. Wen ich den links- und rechtsseitigen Grenzwert nehme, reicht das dann, wenn ich nur [mm] \alpha(cos(x)-1) [/mm] für [mm] 0\pi [/mm] weiß ich ja im Prinzip wie diese Funktionen aussehen. Ich müsse dann halt nur rauskriegen, wo zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] meine funktion [mm] \alpha(cos(x)-1) [/mm] meine Funktion -1 trifft, damit diese dann stetig ist.
Und dann (und leider auch mien Hauptproblem), wie berechne ich denn den links- und rechtsseitigen Grenzwert??? Gibt es dort eine einfache Anwendung?
Ich danke schonmal im Vorraus.
Mit freundlichen Grüßen Domenick
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Hallo Domenick!
Wie in Deiner anderen Frage gestellt, benötigst Du hier für den linksseitigen sowie rechtsseitigen Grenzwert nicht die h-Methode. Du musst lediglich beachten, welche Funktionsvorschrift für den linksseitigen sowie rechtsseitigen Grenzwert gilt.
Hier mal am Beispiel an der Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ :
Linksseitiger Grenzwert:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}-x^2 [/mm] \ = \ [mm] -0^2 [/mm] \ = \ ...$$
Rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\alpha*\left[\cos(x)-1\right] [/mm] \ = \ [mm] \alpha*\left[\cos(0)-1\right] [/mm] \ = \ ...$$
Und diese beiden Grenzwerte müssen nun übereinstimmen, damit die Funktion an der Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ stetig ist.
Dieselbe Überlegung musst Du anschließend dann noch für [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \pi$ [/mm] durchführen und [mm] $\alpha$ [/mm] ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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