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Hallo,
hab mal ne frage.
gibt es funktionen, die differenzierbar aber nicht stetig sind?
Ich würde sagen nein, da man nur stetige funktionen ableiten kann.
richtig?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Di 17.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ist eine Funktion in einem Punkt differenzierbar, dann ist sie in dem Punkt auch stetig. Das muss man halt mal beweisen.
Gruß, Robert
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> Hallo,
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> hab mal ne frage.
> gibt es funktionen, die differenzierbar aber nicht stetig
> sind?
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> Ich würde sagen nein, da man nur stetige funktionen
> ableiten kann.
> richtig?
Dass aus Differenzierbarkeit von $f(x)$ an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] auch Stetigkeit von $f$ an dieser Stelle folgt, kannst Du Dir leicht plausibel machen, indem Du
[mm]f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
betrachtest. Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] bedeutet ja, dass dieser Grenzwert existiert. Da aber für [mm] $x\rightarrow x_0$ [/mm] der Nenner [mm] $x-x_0$ [/mm] gegen $0$ geht, ist dies nur möglich, wenn auch [mm] $f(x)-f(x_0)$ [/mm] gegen $0$ geht, was nichts anderes bedeutet, als dass [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$: [/mm] dass also $f$ an der Stelle an [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist.
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