Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi
ich weiß dass [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] ist.
Soll nun zeigen ob die Funktion [mm] f:\IQ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch
x -> [mm] \begin{cases} 0, falls x^2<2 \\ 1, falls x^2>2\end{cases}
[/mm]
stetig ist.
ich kann eigntl. bei der aufgabe nur raten ...
kann mir jmd vllt helfen? danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> hi
> ich weiß dass [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] ist.
> Soll nun zeigen ob die Funktion [mm]f:\IQ[/mm] -> [mm]\IR[/mm] definiert
> durch
>
> x -> [mm]\begin{cases} 0, falls x^2<2 \\ 1, falls x^2>2\end{cases}[/mm]
>
> stetig ist.
>
> ich kann eigntl. bei der aufgabe nur raten ...
Was wäre wenn die Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] wäre? Stetig oder unstetig?
Und was ändert sich dadurch, dass der Definitionsbereich auf [mm] \IQ [/mm] eingeschränkt wird? Kannst du dann dein Argument von oben noch benutzen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Phecda |
ich würd sagen wenns eine abbildung von R in R wäre
wäres unstetig. weil es diesen sprung gibt von 0 nach 1
aber was ändert sich denn wenn man von Q in den R abbildet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> ich würd sagen wenns eine abbildung von R in R wäre
> wäres unstetig. weil es diesen sprung gibt von 0 nach 1
Kannst du das auch beweisen?
> aber was ändert sich denn wenn man von Q in den R
> abbildet?
Das man "ein paar" Zahlen weniger im Definitionsbereich hat.
Es ist ganz einfach: du machst den obigen Beweis (mit dem ganzen technischen Kram!) und schaust, ob du ihn genauso auch für die Funktion, welche nur noch auf [mm] \IQ [/mm] definiert ist, anwenden kannst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:02 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich würd sagen wenns eine abbildung von R in R wäre
> wäres unstetig. weil es diesen sprung gibt von 0 nach 1
> aber was ändert sich denn wenn man von Q in den R
> abbildet?
ehrlich gesagt finde ich den Tipp nicht besonders hilfreich bzw. er könnte in die Irre führen (zum einen kann er dazu verleiten, zu denken, dass Deine Funktion unstetig sei, zum anderen kann er dazu verleiten, zu denken, dass, wenn eine 'Beweistechnik' für Unstetigkeit nicht klappt, dann die Funktion automatisch stetig sein muss. Aber die Stetigkeit ist immer explizit nachzuweisen, und man kann nicht sagen, dass eine Funktion stetig sei, weil man selber keinen Beweis findet, die Unstetigkeit an einer Stelle nachzuweisen!). Du kannst die Funktion auch nicht einfach als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] betrachten, denn dann wäre (alleine durch die oben angegebene Funktionsvorschrift) die 'Funktion' in [mm] $x=\pm \sqrt{2}$ [/mm] gar nicht definiert (man könnte dann also gar nicht von einer Funktion sprechen). Das wäre dann also 'bestenfalls' eine Funktion [mm] $\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR\,,$ [/mm] welche dann im übrigen auch stetig wäre (also die Funktion mit Definitionsbereich [mm] $D_f=\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\}$, [/mm] mit [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] für $ |x| < [mm] \sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $f(x)=1\,$ [/mm] für $|x| > [mm] \sqrt{2}$).
[/mm]
Die Funktion ist als Funktion [mm] $\IQ \to \IR$ [/mm] zwar nicht gleichmäßig stetig, wohl aber stetig. Zunächst eine Vorbemerkung:
Ist [mm] $x_0 \in \IQ$ [/mm] beliebig, aber fest, so gilt entweder [mm] $|x_0| [/mm] < [mm] \sqrt{2}$ [/mm] oder [mm] $|x_0| [/mm] > [mm] \sqrt{2}$ [/mm] (der Fall [mm] $|x_0|=\sqrt{2}$ [/mm] kann wegen [mm] $\pm\sqrt{2} \notin \IQ$ [/mm] nicht auftreten!).
Machen wir uns an den Beweis, um die Stetigkeit der Funktion einzusehen:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und [mm] $x_0 \in \IQ$.
[/mm]
1. Fall:
Ist [mm] $|x_0| [/mm] < [mm] \sqrt{2}$, [/mm] so folgt $- [mm] \sqrt{2} [/mm] < [mm] x_0 [/mm] < [mm] \sqrt{2}\,.$ [/mm] Setze [mm] $\delta:=\text{min} \{x_0-(-\sqrt{2}),\; \sqrt{2}-x_0\}=\text{min} \{x_0+\sqrt{2},\; \sqrt{2}-x_0\}\,.$ [/mm]
Warum wird dann [mm] $\delta [/mm] > 0$ gelten?
Überlege Dir, dass mit dieser Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] dann für alle $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] auch [mm] $f(x)=f(x_0)=0$ [/mm] gilt. Warum gilt dann für alle $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] auch [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$?
[/mm]
2. Fall:
Für [mm] $|x_0| [/mm] > [mm] \sqrt{2}$ [/mm] setze [mm] $\delta:=|x_0|-\sqrt{2}\,.$ [/mm] Warum ist dann [mm] $\delta [/mm] > 0$? Was gilt hier nun für alle $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$?
[/mm]
P.S.:
Wie gesagt:
Auch $g: [mm] \IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR$ [/mm] mit
$$x [mm] \mapsto g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x^2 > 2 \\ 0, & \mbox{für } x^2 < 2 \end{cases}$$
[/mm]
ist stetig (auf [mm] $\IR \setminus \{\pm2\}$). [/mm] Der Beweis geht vollkommen analog. Selbstverständlich ist allerdings auch [mm] $g\,$ [/mm] nicht glm. stetig.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> ehrlich gesagt finde ich den Tipp nicht besonders hilfreich
> bzw. er könnte in die Irre führen (zum einen kann er dazu
> verleiten, zu denken, dass Deine Funktion unstetig sei, zum
> anderen kann er dazu verleiten, zu denken, dass, wenn eine
> 'Beweistechnik' für Unstetigkeit nicht klappt, dann die
> Funktion automatisch stetig sein muss. Aber die Stetigkeit
> ist immer explizit nachzuweisen, und man kann nicht sagen,
> dass eine Funktion stetig sei, weil man selber keinen
> Beweis findet, die Unstetigkeit an einer Stelle
> nachzuweisen!).
Das er in die Irre führen könnte, das habe ich auch schon bedacht. Aber wie soll man denn sonst den Blick schärfen, dass er sofort sieht, dass diese Funktion stetig ist? Bei mir geht das eben so, dass ich weiss wie der Beweis für die Unstetigkeit aussieht, und dann sehe ich, dass er nicht auf diesen Fall übertragbar ist. Und weil das nun wirklich eine einfache Funktion ist, kann man dann auch gleich aus diesem "nicht übertragbar" (wenn man schon verstanden hat wieso genau er nicht übertragbar ist) einen Beweis für die Stetigkeit rausholen.
> Du kannst die Funktion auch nicht einfach
> als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] betrachten, denn dann wäre
> (alleine durch die oben angegebene Funktionsvorschrift) die
> 'Funktion' in [mm]x=\pm \sqrt{2}[/mm] gar nicht definiert (man
> könnte dann also gar nicht von einer Funktion sprechen).
> Das wäre dann also 'bestenfalls' eine Funktion [mm]\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR\,,[/mm]
> welche dann im übrigen auch stetig wäre (also die Funktion
> mit Definitionsbereich [mm]D_f=\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\}[/mm],
> mit [mm]f(x)=0\,[/mm] für [mm]|x| < \sqrt{2}[/mm] und [mm]f(x)=1\,[/mm] für [mm]|x| > \sqrt{2}[/mm]).
>
Das habe ich leider nicht bedacht. Mein Fehler. Man hätte dazu sagen sollen, dass jede Erweiterung auf [mm] \IR [/mm] nicht stetig sein wird.
> Die Funktion ist als Funktion [mm]\IQ \to \IR[/mm] zwar nicht
> gleichmäßig stetig, wohl aber stetig. Zunächst eine
> Vorbemerkung:
> Ist [mm]x_0 \in \IQ[/mm] beliebig, aber fest, so gilt entweder
> [mm]|x_0| < \sqrt{2}[/mm] oder [mm]|x_0| > \sqrt{2}[/mm] (der Fall
> [mm]|x_0|=\sqrt{2}[/mm] kann wegen [mm]\pm\sqrt{2} \notin \IQ[/mm] nicht
> auftreten!).
>
> Machen wir uns an den Beweis, um die Stetigkeit der
> Funktion einzusehen:
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] und [mm]x_0 \in \IQ[/mm].
>
> 1. Fall:
> Ist [mm]|x_0| < \sqrt{2}[/mm], so folgt [mm]- \sqrt{2} < x_0 < \sqrt{2}\,.[/mm]
> Setze [mm]\delta:=\text{min} \{x_0-(-\sqrt{2}),\; \sqrt{2}-x_0\}=\text{min} \{x_0+\sqrt{2},\; \sqrt{2}-x_0\}\,.[/mm]
> Warum wird dann [mm]\delta > 0[/mm] gelten?
> Überlege Dir, dass mit dieser Wahl von [mm]\delta[/mm] dann für
> alle [mm]x \in \IQ[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm] auch [mm]f(x)=f(x_0)=0[/mm]
> gilt. Warum gilt dann für alle [mm]x \in \IQ[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]
> auch [mm]|f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/mm]?
>
> 2. Fall:
> Für [mm]|x_0| > \sqrt{2}[/mm] setze [mm]\delta:=|x_0|-\sqrt{2}\,.[/mm] Warum
> ist dann [mm]\delta > 0[/mm]? Was gilt hier nun für alle [mm]x \in \IQ[/mm]
> mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]?
>
Ehrlich gesagt, ich bezweifle dass er die Beweisidee verstanden hat. Deine Wahl des [mm] \delta [/mm] fällt nämlich komplett vom Himmel. Und Anfänger haben mit solch technisch aufgeschriebenen Beweisen immer Probleme.
> P.S.:
> Wie gesagt:
> Auch [mm]g: \IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]x \mapsto g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x^2 > 2 \\ 0, & \mbox{für } x^2 < 2 \end{cases}[/mm]
>
> ist stetig (auf [mm]\IR \setminus \{\pm2\}[/mm]). Der Beweis geht
> vollkommen analog. Selbstverständlich ist allerdings auch
> [mm]g\,[/mm] nicht glm. stetig.
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > ehrlich gesagt finde ich den Tipp nicht besonders hilfreich
> > bzw. er könnte in die Irre führen (zum einen kann er dazu
> > verleiten, zu denken, dass Deine Funktion unstetig sei, zum
> > anderen kann er dazu verleiten, zu denken, dass, wenn eine
> > 'Beweistechnik' für Unstetigkeit nicht klappt, dann die
> > Funktion automatisch stetig sein muss. Aber die Stetigkeit
> > ist immer explizit nachzuweisen, und man kann nicht sagen,
> > dass eine Funktion stetig sei, weil man selber keinen
> > Beweis findet, die Unstetigkeit an einer Stelle
> > nachzuweisen!).
>
> Das er in die Irre führen könnte, das habe ich auch schon
> bedacht. Aber wie soll man denn sonst den Blick schärfen,
> dass er sofort sieht, dass diese Funktion stetig ist? Bei
> mir geht das eben so, dass ich weiss wie der Beweis für die
> Unstetigkeit aussieht, und dann sehe ich, dass er nicht auf
> diesen Fall übertragbar ist. Und weil das nun wirklich eine
> einfache Funktion ist, kann man dann auch gleich aus diesem
> "nicht übertragbar" (wenn man schon verstanden hat wieso
> genau er nicht übertragbar ist) einen Beweis für die
> Stetigkeit rausholen.
okay, mag' sein. Es war auch nicht als Vorwurf gemeint, sondern nur als Feststellung meinerseits (meine Ansicht!).
> > Du kannst die Funktion auch nicht einfach
> > als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] betrachten, denn dann wäre
> > (alleine durch die oben angegebene Funktionsvorschrift) die
> > 'Funktion' in [mm]x=\pm \sqrt{2}[/mm] gar nicht definiert (man
> > könnte dann also gar nicht von einer Funktion sprechen).
> > Das wäre dann also 'bestenfalls' eine Funktion [mm]\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR\,,[/mm]
> > welche dann im übrigen auch stetig wäre (also die Funktion
> > mit Definitionsbereich [mm]D_f=\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\}[/mm],
> > mit [mm]f(x)=0\,[/mm] für [mm]|x| < \sqrt{2}[/mm] und [mm]f(x)=1\,[/mm] für [mm]|x| > \sqrt{2}[/mm]).
>
> >
>
> Das habe ich leider nicht bedacht. Mein Fehler. Man hätte
> dazu sagen sollen, dass jede Erweiterung auf [mm]\IR[/mm] nicht
> stetig sein wird.
Das ist eine bessere Aussage 
> > Die Funktion ist als Funktion [mm]\IQ \to \IR[/mm] zwar nicht
> > gleichmäßig stetig, wohl aber stetig. Zunächst eine
> > Vorbemerkung:
> > Ist [mm]x_0 \in \IQ[/mm] beliebig, aber fest, so gilt entweder
> > [mm]|x_0| < \sqrt{2}[/mm] oder [mm]|x_0| > \sqrt{2}[/mm] (der Fall
> > [mm]|x_0|=\sqrt{2}[/mm] kann wegen [mm]\pm\sqrt{2} \notin \IQ[/mm] nicht
> > auftreten!).
> >
> > Machen wir uns an den Beweis, um die Stetigkeit der
> > Funktion einzusehen:
> > Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] und [mm]x_0 \in \IQ[/mm].
> >
> > 1. Fall:
> > Ist [mm]|x_0| < \sqrt{2}[/mm], so folgt [mm]- \sqrt{2} < x_0 < \sqrt{2}\,.[/mm]
> > Setze [mm]\delta:=\text{min} \{x_0-(-\sqrt{2}),\; \sqrt{2}-x_0\}=\text{min} \{x_0+\sqrt{2},\; \sqrt{2}-x_0\}\,.[/mm]
> > Warum wird dann [mm]\delta > 0[/mm] gelten?
> > Überlege Dir, dass mit dieser Wahl von [mm]\delta[/mm] dann für
> > alle [mm]x \in \IQ[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm] auch [mm]f(x)=f(x_0)=0[/mm]
> > gilt. Warum gilt dann für alle [mm]x \in \IQ[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]
> > auch [mm]|f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/mm]?
> >
> > 2. Fall:
> > Für [mm]|x_0| > \sqrt{2}[/mm] setze [mm]\delta:=|x_0|-\sqrt{2}\,.[/mm]
> Warum
> > ist dann [mm]\delta > 0[/mm]? Was gilt hier nun für alle [mm]x \in \IQ[/mm]
> > mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]?
> >
>
> Ehrlich gesagt, ich bezweifle dass er die Beweisidee
> verstanden hat. Deine Wahl des [mm]\delta[/mm] fällt nämlich
> komplett vom Himmel. Und Anfänger haben mit solch technisch
> aufgeschriebenen Beweisen immer Probleme.
Sie wird weniger vom Himmel gefallen wirken, wenn man sich mal den Graphen der Funktion anschaut und dann guckt, 'wo und wie man dort jeweils das angegebene [mm] $\delta$ [/mm] findet' (also z.B. einmal ein rationales [mm] $-\sqrt{2} [/mm] < [mm] x_0 [/mm] < [mm] \sqrt{2}$ [/mm] und dann gucken, wie ich das [mm] $\delta$ [/mm] dort gewählt hatte, und einmal z.B. ein rationales [mm] $x_0 [/mm] > [mm] \sqrt{2}$ [/mm] wählen und dann gucken, wie das [mm] $\delta$ [/mm] hier gewählt wurde; notfalls das ganze auch nochmal für ein rationales [mm] $x_0 [/mm] < [mm] -\sqrt{2}$). [/mm] Dann sieht man auch, warum ich es jeweils so gewählt habe. (Ggf. kann man, wie erwähnt, sich halt auch einfach mal die Funktion [mm] $g\,$ [/mm] 'anschauen'; die Wahl des [mm] $\delta$ [/mm] wär' dort ja jeweils vollkommen analog.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 14.04.2009 | | Autor: | Phecda |
> Hallo,
>
> > ich würd sagen wenns eine abbildung von R in R wäre
> > wäres unstetig. weil es diesen sprung gibt von 0 nach
> 1
> > aber was ändert sich denn wenn man von Q in den R
> > abbildet?
>
> ehrlich gesagt finde ich den Tipp nicht besonders hilfreich
> bzw. er könnte in die Irre führen (zum einen kann er dazu
> verleiten, zu denken, dass Deine Funktion unstetig sei, zum
> anderen kann er dazu verleiten, zu denken, dass, wenn eine
> 'Beweistechnik' für Unstetigkeit nicht klappt, dann die
> Funktion automatisch stetig sein muss. Aber die Stetigkeit
> ist immer explizit nachzuweisen, und man kann nicht sagen,
> dass eine Funktion stetig sei, weil man selber keinen
> Beweis findet, die Unstetigkeit an einer Stelle
> nachzuweisen!). Du kannst die Funktion auch nicht einfach
> als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] betrachten, denn dann wäre
> (alleine durch die oben angegebene Funktionsvorschrift) die
> 'Funktion' in [mm]x=\pm \sqrt{2}[/mm] gar nicht definiert (man
> könnte dann also gar nicht von einer Funktion sprechen).
> Das wäre dann also 'bestenfalls' eine Funktion [mm]\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR\,,[/mm]
> welche dann im übrigen auch stetig wäre (also die Funktion
> mit Definitionsbereich [mm]D_f=\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\}[/mm],
> mit [mm]f(x)=0\,[/mm] für [mm]|x| < \sqrt{2}[/mm] und [mm]f(x)=1\,[/mm] für [mm]|x| > \sqrt{2}[/mm]).
>
> Die Funktion ist als Funktion [mm]\IQ \to \IR[/mm] zwar nicht
> gleichmäßig stetig, wohl aber stetig. Zunächst eine
> Vorbemerkung:
> Ist [mm]x_0 \in \IQ[/mm] beliebig, aber fest, so gilt entweder
> [mm]|x_0| < \sqrt{2}[/mm] oder [mm]|x_0| > \sqrt{2}[/mm] (der Fall
> [mm]|x_0|=\sqrt{2}[/mm] kann wegen [mm]\pm\sqrt{2} \notin \IQ[/mm] nicht
> auftreten!).
>
> Machen wir uns an den Beweis, um die Stetigkeit der
> Funktion einzusehen:
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] und [mm]x_0 \in \IQ[/mm].
>
> 1. Fall:
> Ist [mm]|x_0| < \sqrt{2}[/mm], so folgt [mm]- \sqrt{2} < x_0 < \sqrt{2}\,.[/mm]
> Setze [mm]\delta:=\text{min} \{x_0-(-\sqrt{2}),\; \sqrt{2}-x_0\}=\text{min} \{x_0+\sqrt{2},\; \sqrt{2}-x_0\}\,.[/mm]
> Warum wird dann [mm]\delta > 0[/mm] gelten?
Also dass delta > 0 ist, finde ich logisch, da ja auch [mm] |x_{0}| [/mm] < 2 ist.
> Überlege Dir, dass mit dieser Wahl von [mm]\delta[/mm] dann für
> alle [mm]x \in \IQ[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm] auch [mm]f(x)=f(x_0)=0[/mm]
> gilt.
[mm] f(x_{0})= [/mm] 0 ist ja wegen der definition, das mit f(x)=0 hab ich nicht ganz verstanden ... kannst du mir da nochmal helfen?
Warum gilt dann für alle [mm]x \in \IQ[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]
> auch [mm]|f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/mm]?
ja gut wenn dann [mm] f(x)=f(x_0)=0 [/mm] dann ist ja die differenz auf jeden fall = 0 und damit jedes epsilon>0 größer ...
>
> 2. Fall:
> Für [mm]|x_0| > \sqrt{2}[/mm] setze [mm]\delta:=|x_0|-\sqrt{2}\,.[/mm] Warum
> ist dann [mm]\delta > 0[/mm]? Was gilt hier nun für alle [mm]x \in \IQ[/mm]
> mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]?
>
> P.S.:
> Wie gesagt:
> Auch [mm]g: \IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]x \mapsto g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x^2 > 2 \\ 0, & \mbox{für } x^2 < 2 \end{cases}[/mm]
>
> ist stetig (auf [mm]\IR \setminus \{\pm2\}[/mm]). Der Beweis geht
> vollkommen analog. Selbstverständlich ist allerdings auch
> [mm]g\,[/mm] nicht glm. stetig.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > ich würd sagen wenns eine abbildung von R in R wäre
> > > wäres unstetig. weil es diesen sprung gibt von 0
> nach
> > 1
> > > aber was ändert sich denn wenn man von Q in den R
> > > abbildet?
> >
> > ehrlich gesagt finde ich den Tipp nicht besonders hilfreich
> > bzw. er könnte in die Irre führen (zum einen kann er dazu
> > verleiten, zu denken, dass Deine Funktion unstetig sei, zum
> > anderen kann er dazu verleiten, zu denken, dass, wenn eine
> > 'Beweistechnik' für Unstetigkeit nicht klappt, dann die
> > Funktion automatisch stetig sein muss. Aber die Stetigkeit
> > ist immer explizit nachzuweisen, und man kann nicht sagen,
> > dass eine Funktion stetig sei, weil man selber keinen
> > Beweis findet, die Unstetigkeit an einer Stelle
> > nachzuweisen!). Du kannst die Funktion auch nicht einfach
> > als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] betrachten, denn dann wäre
> > (alleine durch die oben angegebene Funktionsvorschrift) die
> > 'Funktion' in [mm]x=\pm \sqrt{2}[/mm] gar nicht definiert (man
> > könnte dann also gar nicht von einer Funktion sprechen).
> > Das wäre dann also 'bestenfalls' eine Funktion [mm]\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR\,,[/mm]
> > welche dann im übrigen auch stetig wäre (also die Funktion
> > mit Definitionsbereich [mm]D_f=\IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\}[/mm],
> > mit [mm]f(x)=0\,[/mm] für [mm]|x| < \sqrt{2}[/mm] und [mm]f(x)=1\,[/mm] für [mm]|x| > \sqrt{2}[/mm]).
>
> >
> > Die Funktion ist als Funktion [mm]\IQ \to \IR[/mm] zwar nicht
> > gleichmäßig stetig, wohl aber stetig. Zunächst eine
> > Vorbemerkung:
> > Ist [mm]x_0 \in \IQ[/mm] beliebig, aber fest, so gilt entweder
> > [mm]|x_0| < \sqrt{2}[/mm] oder [mm]|x_0| > \sqrt{2}[/mm] (der Fall
> > [mm]|x_0|=\sqrt{2}[/mm] kann wegen [mm]\pm\sqrt{2} \notin \IQ[/mm] nicht
> > auftreten!).
> >
> > Machen wir uns an den Beweis, um die Stetigkeit der
> > Funktion einzusehen:
> > Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] und [mm]x_0 \in \IQ[/mm].
> >
> > 1. Fall:
> > Ist [mm]|x_0| < \sqrt{2}[/mm], so folgt [mm]- \sqrt{2} < x_0 < \sqrt{2}\,.[/mm]
> > Setze [mm]\delta:=\text{min} \{x_0-(-\sqrt{2}),\; \sqrt{2}-x_0\}=\text{min} \{x_0+\sqrt{2},\; \sqrt{2}-x_0\}\,.[/mm]
> > Warum wird dann [mm]\delta > 0[/mm] gelten?
>
> Also dass delta > 0 ist, finde ich logisch, da ja auch
> [mm]|x_{0}|[/mm] < 2 ist.
Nein (oder meintest Du [mm] $x_0^2=|x_0|^2 [/mm] < 2$?):
Wegen [mm] $|x_0| [/mm] < [mm] \sqrt{2}$ [/mm] gilt [mm] $-\sqrt{2} [/mm] < [mm] x_0 [/mm] < [mm] \sqrt{2}\,,$ [/mm] also gilt
[mm] $$a_1:=\sqrt{2}-x_0 [/mm] > 0$$
und
[mm] $$a_2:=x_0+\sqrt{2} [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Die Menge [mm] $M:=\{a_1,\;a_2\}$ [/mm] ist endlich, nimmt also insbesondere ihr Minimum an. Da aber alle Elemente von [mm] $M\,$ [/mm] auch $> [mm] 0\,$ [/mm] sind (wir haben ja eben [mm] $a_1,\;a_2 [/mm] > 0$ erkannt), ist also auch
[mm] $$\delta=\min \{a_1,\;a_2\} [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Das wäre eine mathematisch saubere Begründung!
> > Überlege Dir, dass mit dieser Wahl von [mm]\delta[/mm] dann für
> > alle [mm]x \in \IQ[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm] auch [mm]f(x)=f(x_0)=0[/mm]
> > gilt.
>
> [mm]f(x_{0})=[/mm] 0 ist ja wegen der definition, das mit f(x)=0 hab
> ich nicht ganz verstanden ... kannst du mir da nochmal
> helfen?
Klar, aber nochmals zur Erinnerung der Tipp: Orientiere Dich mal am Graphen der Funktion. Dann 'sieht man' schonmal das, was ich hier behaupte:
Mit der obigen Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] gilt für alle $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta\,,$ [/mm] dass $x [mm] \,\in\;\; ]\,-\sqrt{2}, \sqrt{2}\, [/mm] [$:
Sei nämlich $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $$-\delta [/mm] < [mm] x-x_0 [/mm] < [mm] \delta$$
[/mm]
und damit
[mm] $$(\star)\;\;\;x_0-\delta [/mm] < x < [mm] x_0+\delta\,.$$
[/mm]
Nach Definition von [mm] $\delta$ [/mm] gilt sowohl
[mm] $$\text{(I) }\;\;\;0 [/mm] < [mm] \delta \le x_0+\sqrt{2}$$ [/mm]
[mm] $$\text{als auch }$$
[/mm]
[mm] $$\text{(II) }\;\; [/mm] 0 < [mm] \delta \le \sqrt{2}-x_0\,.$$
[/mm]
Für $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt somit wegen [mm] $(\star)$, $\text{(I)}$ [/mm] und [mm] $\text{(II)}$ [/mm] dann
[mm] $$-\sqrt{2} \underset{\text{wegen (I)}}{\le}\;\;\underbrace{x_0-\delta < x < x_0+\delta}_{(\star)} \underset{\text{wegen (II)}}{\le}\;\; \sqrt{2}\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$-\sqrt{2} [/mm] < x < [mm] \sqrt{2}\,.$$
[/mm]
Wir wissen nun:
Für [mm] $x_0 \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x_0| [/mm] < [mm] \sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\delta:=\min \{x_0+\sqrt{2},\,\sqrt{2}-x_0\} [/mm] > 0$ ist [mm] $\delta [/mm] > 0$, und zudem haben wir oben gesehen:
1.) [mm] $x_0 \in ]-\sqrt{2},\sqrt{2}[ \cap \IQ$. [/mm] Was ist folglich [mm] $f(x_0)$?
[/mm]
2.) Alle $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] erfüllen [mm] $-\sqrt{2} [/mm] < x < [mm] \sqrt{2}\,,$ [/mm] mit anderen Worten:
Alle $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \sqrt{2}$ [/mm] erfüllen $x [mm] \in ]-\sqrt{2},\sqrt{2}[ \cap \IQ\,.$ [/mm]
Was ist folglich [mm] $f(x)\,,$ [/mm] wenn $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] ist?
> Warum gilt dann für alle [mm]x \in \IQ[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]
> > auch [mm]|f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/mm]?
>
> ja gut wenn dann [mm]f(x)=f(x_0)=0[/mm] dann ist ja die differenz
> auf jeden fall = 0 und damit jedes epsilon>0 größer ...
Eben
> >
> > 2. Fall:
> > Für [mm]|x_0| > \sqrt{2}[/mm] setze [mm]\delta:=|x_0|-\sqrt{2}\,.[/mm]
> Warum
> > ist dann [mm]\delta > 0[/mm]? Was gilt hier nun für alle [mm]x \in \IQ[/mm]
> > mit [mm]|x-x_0| < \delta[/mm]?
> >
> > P.S.:
> > Wie gesagt:
> > Auch [mm]g: \IR \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \IR[/mm] mit
> >
> > [mm]x \mapsto g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x^2 > 2 \\ 0, & \mbox{für } x^2 < 2 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > ist stetig (auf [mm]\IR \setminus \{\pm2\}[/mm]). Der Beweis geht
> > vollkommen analog. Selbstverständlich ist allerdings auch
> > [mm]g\,[/mm] nicht glm. stetig.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Do 16.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi
nochmal eine frage:
die fkt ist stetig für [mm] |x_{0}|< \wurzel[2]{2} [/mm] und > [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] was ist aber mit = [mm] \wurzel[2]{2}? [/mm] weil genau das ist ja der knackpunkt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Do 16.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das wurde dir doch mehrfach gesagt. [mm] \wurzel{2} [/mm] liegt NICHT in Q. gefragt wurde nach St. in Q
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Do 16.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi ich diskutier grad mim kollegen
er hat folgenden beweis für die unstetigkeit
[Dateianhang nicht öffentlich]
wobei x und y irgendeine rationale zahl sind die eine ist größer die andere kleiner als wurzel2 (ich glaub mim heron verfahren werden solche zahlen erzeugt).
wo steckt da der fehler?
danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 16.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
er macht da keinen Fehler (naja, eigentlich schon, zum einen hätte er die Existenz eines [mm] $\xi [/mm] > 0$ nachzuweisen, so dass [mm] $\sqrt{2}\pm \xi \in \IQ$ [/mm] (das geht auch relativ einfach!), zum anderen müsste das [mm] $\xi$ [/mm] hinreichend klein gewählt werden und das [mm] $\delta [/mm] > 0$ wäre noch zu präzisieren, dass man quasi sagt: für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ existieren...), nur widerlegt er nicht die Stetigkeit der Funktion, sondern er beweist nur, dass die Funktion nicht glm. stetig ist:
Er zeigt nämlich:
Es gibt ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ (nämlich [mm] $\epsilon_0=1/2$), [/mm] so dass zu jedem [mm] $\delta$ [/mm] zwei Stellen [mm] $x=x_\delta,\; y=y_\delta \in \IQ$ [/mm] existieren, so dass zwar $|x-y| < [mm] \delta\,,$ [/mm] aber $|f(x)-f(y)| > [mm] \epsilon_0\,.$
[/mm]
Das wäre bzgl. der obigen Funktion gerade die Verneinung der glm. Stetigkeit.
Eine Funktion, die nicht glm. stetig ist, kann aber nichtsdestotrotz stetig sein:
Ein Beispiel dafür ist gerade die oben aufgeführte Funktion, oder aber $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Mach' Dir bitte unbedingt klar, wo der Unterschied zwischen Stetigkeit und glm. Stetigkeit liegt (und bitte Deinen Kollegen auch, dass er das nochmal tut!).
Gruß,
Marcel
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Vielleicht ist es dazu hilfreich, sich klarzumachen, dass der Begriff der Stetigkeit einer Funktion auf dem Begriff der Stetigkeit an einer bestimmten Stelle basiert, während sich die gleichmäßige Stetigkeit auf die Funktion als ganzes bezieht.
Und noch zur Ergänzung (mit anderen Worten):
Somit wäre in diesem Beispiel jetzt an jeder Stelle die Stetigkeit zu beweisen. Ohne den Formalismus zu strapazieren ist das dann natürlich einfach zu verstehen, weil es überhaupt keine "problematische" Stelle im Definitionsbereich der Funktion gibt und man Folgen in [mm] \IQ [/mm] findet, die von oben und von unten gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergieren. Zu den formalen Aspekten wurde ja schon einiges gesagt...
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