www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetigkeit
Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Do 09.07.2009
Autor: tunetemptation

Hallo,
folgende Aufgabe.
Folgende Funktion soll auf Stetigkeit untersucht werden.
f(x,y) [mm] =\begin{cases} \bruch{e^y - 1}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases} [/mm]

Habe mir folgendes dazu überlegt. Für (x,y) [mm] \not= [/mm] 0,0 ist die Funktion stetig da sie aus einem Quotient aus stetigen Funktionen bestehen.

Für x->0 ist [mm] f=\bruch{e^y - 1}{y^2} [/mm] und für y->0 [mm] \bruch{e^y - 1}{y^2}. [/mm] Diese sind somit nicht gleich also ist f für (x,y)=(0,0) nicht stetig.
Kann man so argumentieren ?

Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Do 09.07.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  folgende Aufgabe.
>  Folgende Funktion soll auf Stetigkeit untersucht werden.
>   f(x,y) [mm]=\begin{cases} \bruch{e^y - 1}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
>  
> Habe mir folgendes dazu überlegt. Für (x,y) [mm]\not=[/mm] 0,0 ist
> die Funktion stetig da sie aus einem Quotient aus stetigen
> Funktionen bestehen.

das ist okay so. Man könnte das ganze noch ein wenig detaillierter erläutern, indem man z.B. die Stetigkeit von $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] und $+: [mm] \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] (jeweils mit der entsprechenden euklidischen Metrik ausgestattet) ins Spiel bringt. Aber Dein Argument ist jedenfalls okay.
  

> Für x->0 ist [mm]f=\bruch{e^y - 1}{y^2}[/mm] und für y->0
> [mm]\bruch{e^y - 1}{y^2}.[/mm] Diese sind somit nicht gleich also
> ist f für (x,y)=(0,0) nicht stetig.
> Kann man so argumentieren ?

Schreibe hier nochmal genauer auf, was Du meinst. Wenn die Funktion nicht stetig in $(0,0)$ ist, dann kannst Du eine Folge [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] im [mm] $\IR^2$ [/mm] finden, so dass zwar [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$ (was genau dann der Fall ist, wenn sowohl [mm] $x_n \to [/mm] 0$ als auch [mm] $y_n \to [/mm] 0$) angeben, aber [mm] $f(x_n,y_n) \not \to 0=f(0,0)\,.$ [/mm]

Es ist jedenfalls oben so, dass
[mm] $$\lim_{x \to 0}\lim_{y \to 0}f(x,y)=\lim_{x \to 0}0=0\,.$$ [/mm]

Aber es gilt auch
[mm] $$(0,\;1/n) \to [/mm] (0,0) [mm] \in \IR^2\,,$$ [/mm]
aber es ist [mm] $f((0,\;1/n))=f(0,\;1/n)=n^2*\big(e^{1/n}-1\big)\,.$ [/mm]

Nun kannst Du entweder versuchen, mithilfe der Funktion $x [mm] \mapsto x^2*\big(e^{1/x}-1\big)$ [/mm] ($x > 0$) zu begründen, dass [mm] $f(0,\;1/n) \to \infty$ [/mm] (und damit insbesondere [mm] $f(0,\;1/n) \not\to [/mm] (0,0)$), oder Du benutzt die Abschätzung [mm] $e^y-1 \ge [/mm] y$ ($y [mm] \ge [/mm] 0$) für [mm] $y=y_n=1/n$, [/mm] um einzusehen, dass [mm] $f(0,\;1/n) \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Do 09.07.2009
Autor: tunetemptation

Danke erstmal für deine Antwort. Meinte damit dass wenn x-> 0 geht erhalte ich einen anderen Grenzwert als wenn y-> 0 geht. Somit ist die Funktion nicht stetig.
Wie soll ich denn so eine Folge finden ?

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:20 Fr 10.07.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke erstmal für deine Antwort. Meinte damit dass wenn
> x-> 0 geht erhalte ich einen anderen Grenzwert als wenn y->
> 0 geht.

ich versteh' trotzdem gerade weder die Frage noch den Sinn dahinter. (Bitte nicht falsch auffassen, es ist wirklich einfach nur als Feststellung meinerseits gemeint, nicht als Wertung!)
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $(0,0)\,,$ [/mm] dann muss aus $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ schon $f(x,y) [mm] \to [/mm] f(0,0)$ folgen (vgl. etwa []Satz 10.7). Im [mm] $\IR^2$ [/mm] (mit euklidischer Metrik versehen) heißt $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ nicht, dass erst $x [mm] \to [/mm] 0$ und dann $y [mm] \to [/mm] 0$ laufen gelassen wird, und auch nicht, dass erst $y [mm] \to [/mm] 0$ und dann $x [mm] \to [/mm] 0$ laufen gelassen wird. Sowas macht man bei den iterierten Grenzwerten. Es heißt nur, dass sowohl $x [mm] \to [/mm] 0$ als auch $y [mm] \to [/mm] 0$ gilt (vgl. etwa []Bemerkung 8.17). Z.B. könnte ja $y=x$ sein und dann $x [mm] \to [/mm] 0$ gelten, dann folgte $(x,y)=(x,x) [mm] \to [/mm] (0,0)$, oder auch [mm] $y=\sqrt{|x|}$ [/mm] und $x [mm] \to [/mm] 0$, dann folgte [mm] $(x,\sqrt{|x|}) \to [/mm] (0,0)$ oder oder oder...
Und wenn Du Dir mal Punkte $(x,y)$ im kartesischen Koordinatensystem, welches den [mm] $\IR^2$ [/mm] vertrete, einzeichnest, dann siehst Du doch, dass Du verdammt viele Möglichkeiten hast, "Punkte $(x,y)$ des [mm] $\IR^2$ [/mm] gegen $(0,0)$ laufen zu lassen"...

> Somit ist die Funktion nicht stetig.
> Wie soll ich denn so eine Folge finden ?

Ich hab' Dir doch eine hingeschrieben:
[mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n:=0$ [/mm] und [mm] $y_n:=1/n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$), [/mm] d.h. [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n\equiv\big((0,\,1/n)\big)_n$ [/mm] erfüllt [mm] $(x_n,y_n)=(0,\,1/n) \to [/mm] (0,0)$ bei $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] aber es gilt (für Deine oben angegebene Funktion [mm] $f\,$) [/mm]
[mm] $$f(x_n,\,y_n)=\blue{f(0,\,1/n) \to \infty} \not=0=f(0,0)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,,$$ [/mm]
insbesondere damit natürlich [mm] $f(x_n,y_n) \not\to 0=f(0,0)\,.$ [/mm]

Und das letztstehende blaugeschriebene solltest Du noch beweisen, und wie Du das beweisen kannst, steht doch auch bei mir im Post oben. Du findest dort sogar eine Alternative.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Fr 10.07.2009
Autor: tunetemptation

Habe eine Lösung zu der Aufgabe in einem Buch gefunden , da steht :

"f ist für alle (x,y) [mm] \not=(0,0) [/mm] stetig,in (0,0) nicht stetig: Längs der y-Achse(x=0) ist [mm] f(0,0)=(e^y-1)^-y2^{ wenn y \not=0} [/mm] für y->0 nicht konvergent,f also in (0,0) nicht stetig "

Soweit ich das erkennen kann wurde hier das selbe gemacht wie ich gemacht habe. Die Begriffe die du erwähnst wie iterische oder Euklidischer sagen mir leider nichts und haben wir auch nicht in der Uni gemacht.
Was nun ?
Was muss mann denn in Worten gesprochen machen um die Stetigkeit zu betrachten bei Funktionen mehrer Veränderlicher wenn mein Vorgehen und dass aus dem Buch ja falsch sind ?

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Fr 10.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Habe eine Lösung zu der Aufgabe in einem Buch gefunden ,
> da steht :
>  
> "f ist für alle (x,y) [mm]\not=(0,0)[/mm] stetig,in (0,0) nicht
> stetig: Längs der y-Achse(x=0) ist [mm]f(0,0)=(e^y-1)^-y2^{ wenn y \not=0}[/mm]
> für y->0 nicht konvergent,f also in (0,0) nicht stetig "

Hallo,

ich kann die Funktion  leider nicht richtig lesen, bzw. verstehen.


Du hattest ja in deiner Aufgabe

f(x,y) $ [mm] =\begin{cases} \bruch{e^y - 1}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases} [/mm] $.

Gruß v. Angela

Wenn Du zeigen möchtest, daß diese Funktion stetig ist, wäre zu zeigen, daß, egal aus welcher Richtung eine Folge [mm] (x_n, y_n) [/mm] sich dem Punkt (0,0) nähert, auch die Folge der Funktionswerte gegen f(0,0)=0 geht.

Willst Du zeigen, daß sie nicht stetig ist, so brauchst Du eine Folge, die gegen (0,0) geht, deren  Funktionswerte aber nicht gegen f(0,0) laufen.

Diese Folge bist Du bisher schuldig geblieben...

Du schreibst

>>>>> Für x->0 ist $ [mm] f=\bruch{e^y - 1}{y^2} [/mm] $ und für y->0 [mm] \quad [/mm] $ [mm] \bruch{e^y - 1}{y^2}. [/mm] $ Diese sind somit nicht gleich.

Für mich sieht das verflixt gleich aus...
Aber der Grenzwert sollte ja irgendeineZahl sein, und die müßtest Du zumindest (nachvollziehbar) angeben.

Du kannst und mußt hier vorrechnen, daß man, wenn man entlang der y-Achse kommt, nicht den Grenzwert 0 erhält .

Gruß v. Angela











Bezug
                                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Fr 10.07.2009
Autor: Marcel

Hallo Angela,

> Willst Du zeigen, daß sie nicht stetig ist, so brauchst Du
> eine Folge, die gegen (0,0) geht, deren  Funktionswerte
> aber nicht gegen f(0,0) laufen.
>  
> Diese Folge bist Du bisher schuldig geblieben...

besser: solch eine Folge ist er bisher schuldig geblieben. Aber ich habe eine solche bereits zweimal hingeschrieben, ich weiß nicht, wie oft ich das wiederholen soll, bis diese mal nicht mehr ignoriert wird:
[mm] $$(\star)\;\;\;\big((0,\,1/n)\big)_{n \in \IN}\;\;\text{ tut's.}$$ [/mm]
  

> Du schreibst
>  
> >>>>> Für x->0 ist [mm]f=\bruch{e^y - 1}{y^2}[/mm] und für y->0
> [mm]\quad[/mm]  [mm]\bruch{e^y - 1}{y^2}.[/mm] Diese sind somit nicht
> gleich.
>  
> Für mich sieht das verflixt gleich aus...
>  Aber der Grenzwert sollte ja irgendeineZahl sein, und die
> müßtest Du zumindest (nachvollziehbar) angeben.
>  
> Du kannst und mußt hier vorrechnen, daß man, wenn man
> entlang der y-Achse kommt, nicht den Grenzwert 0 erhält .
>  
> Gruß v. Angela

Ja, er kann natürlich auch die Punkte $(0,y)$ betrachten und dann $y [mm] \to [/mm] 0$ laufen lassen. Wenn man "nur" $y [mm] \to [/mm] 0+$ laufen läßt, erhält man speziell für [mm] $y=y_n=1/n$ [/mm] gerade die Folge [mm] $(\star)\,.$ [/mm]

Nur der Ergänzung wegen.

Und @ tunetemptation:
Was iterierte Grenzwerte sind, kannst Du eigentlich nachschlagen oder Dir mal aus meinem ersten Beitrag überlegen. Aber das ist an dieser Stelle nicht so wichtig, ich denke, es lag' da eher eine ungünstige Formulierung Deinerseits vor, die mich dazu brachte, diesen Begriff zu erwähnen.

Und die euklidische Metrik im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist quasi die "Anschauungsmetrik" im kartesischen Koordinatensystem, Berechnung mit Pythagoras:
Für $(q,r), (s,t) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist [mm] $d((q,r),\,(s,t)):=\sqrt{(s-q)^2+(t-r)^2}\,.$ [/mm] Dann ist die Abbildung $d: [mm] \IR^2 \times \IR^2 \to \IR$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $\IR^2\,.$ [/mm]

Und es gilt:
Ist [mm] $(\text{x}_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge im [mm] $\IR^2$ [/mm] (d.h. [mm] $\text{x}_n=(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n,\;y_n \in \IR$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)), [/mm] so gilt [mm] $\text{x}_n \to [/mm] (0,0)$
[mm] $\gdw$ $d(\text{x}_n,\,(0,0)) \to [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $d((x_n,y_n),\,(0,0)) \to [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $\sqrt{(x_n-0)^2+(y_n-0)^2} \to [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $\sqrt{x_n^2+y_n^2} \to [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to 0\,.$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de