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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Fr 04.12.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Sei 0<a<1. Beweisen Sie, dass die Funktion f: (a,1) [mm] \to \IR, f(x)=\bruch{1}{x^{2}} [/mm] gleichmäßig stetig ist. Ist sie auch für a=0 gleichmäßig stetig? |
Ich habe noch nicht wirklich verstanden, wie man mit [mm] \varepsilon \delta [/mm] Stetigkeit zeigt.
Und ehrlich gesagt verstehe ich auch nicht, warum die Funktion gleichmäßig stetig ist. Je weiter man nach links an a geht, desto größer ist der Abstand der Funktionswerte. Oder ist sie etwa gleichmäßig stetig, da man den Abstand von f(a) und [mm] f(a+\delta) [/mm] als größten Abstand nehmen kann? (1)
Das wäre bei a=0 ja nicht möglich, also wäre die Funktion für a=0 nicht gleichmäßig stetig?
(1) Wenn ich das jetzt mal annehme, dann muss ja [mm] |f(a)-f(a+\delta)|\le\varepsilon [/mm] durch Ausrechnen, Umformen und Abschätzen komme ich auf [mm] \delta=a^{2}*\wurzel{\varepsilon} [/mm]
Geht das so? Und muss ich irgendwie sagen, dass dort der größte Abstand ist? Kann man das mit Monotonieverhalten beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Sei 0<a<1. Beweisen Sie, dass die Funktion f: (a,1) [mm]\to \IR, f(x)=\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> gleichmäßig stetig ist. Ist sie auch für a=0
> gleichmäßig stetig?
> Ich habe noch nicht wirklich verstanden, wie man mit
> [mm]\varepsilon \delta[/mm] Stetigkeit zeigt.
> Und ehrlich gesagt verstehe ich auch nicht, warum die
> Funktion gleichmäßig stetig ist. Je weiter man nach links
> an a geht, desto größer ist der Abstand der
> Funktionswerte. Oder ist sie etwa gleichmäßig stetig, da
> man den Abstand von f(a) und [mm]f(a+\delta)[/mm] als größten
> Abstand nehmen kann? (1)
> Das wäre bei a=0 ja nicht möglich, also wäre die
> Funktion für a=0 nicht gleichmäßig stetig?
Lassem wir den Fall [mm] $a=0\,$ [/mm] zunächst mal außen vor. Man wählt zunächt ein [mm] $a\,$ [/mm] mit $0 < a < [mm] 1\,,$ [/mm] und das hält man dann fest. Anstatt [mm] $f\,$ [/mm] kannst Du die entsprechende Funktion dann auch [mm] $f_a$ [/mm] nennen, vielleicht hilft Dir das, den Überblick zu bewahren.
> (1) Wenn ich das jetzt mal annehme, dann muss ja
> [mm]|f(a)-f(a+\delta)|\le\varepsilon[/mm] durch Ausrechnen, Umformen
> und Abschätzen komme ich auf
> [mm]\delta=a^{2}*\wurzel{\varepsilon}[/mm]
> Geht das so? Und muss ich irgendwie sagen, dass dort der
> größte Abstand ist? Kann man das mit Monotonieverhalten
> beweisen?
Also das, was Du vorhast, ist gar nicht sooo schlecht. Sei zunächst $0 < a < [mm] 1\,.$ [/mm] Die Funktion [mm] $f=f_a: [/mm] (a,1) [mm] \to \IR,$ $f(x):=f_a(x):=\frac{1}{x^2}$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] (a,1)$) ist (streng) monoton fallend. (Brauchen wir aber nicht, ist nur eine Feststellung!)
Geben wir uns ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vor. Sei [mm] $\delta [/mm] > 0$ ansonsten noch unbestimmt. Dann gilt:
Seien $x,y [mm] \in (a,1)\,$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta\,.$ [/mm]
Dann wissen wir:
[mm] $$|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}\right|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|*\underbrace{\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right| }_{\le \left|\frac{1}{x}\right|+\left|\frac{1}{y}\right| \le \frac{2}{a}}\le \frac{2}{a}*\frac{|y-x|}{a^2}=\frac{2}{a^3}*|y-x| <\frac{2}{a^3}*\delta\,.$$
[/mm]
Wie findest Du nun ein [mm] $\delta$ [/mm] so, dass [mm] $\frac{2}{a^3}*\delta \le \epsilon$ [/mm] gilt, und so, dass auch [mm] $\delta [/mm] > 0$ ist?
Und dass im Falle [mm] $a=0\,$ [/mm] die Funktion [mm] $f=f_0:(0,1) \to \IR\,,$ $f(x)=\frac{1}{x^2}$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] (0,1)$) nicht glm. stetig ist:
Wähle (z.B.) [mm] $\epsilon=1\,.$ [/mm] Überlege Dir nun folgendes:
Sei [mm] $\delta [/mm] > 0$ beliebig. Für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ (wird später genauer bestimmt) betrachten wir zunächst $y [mm] \in [/mm] (0,1)$ definiert durch [mm] $y:=x+\frac{\delta}{2} [/mm] < [mm] 1\,.$ [/mm] Damit das letzte [mm] $<\,$-Zeichen [/mm] bestehen bleiben kann: Ggf. durch verkleinern von [mm] $\delta\,.$
[/mm]
Berechne nun [mm] $|f(x)-f(x+\delta/2)|\,$ [/mm] und zeige, dass, wenn Du nur [mm] $x\,$ [/mm] "nahe genug an die Null heranziehst", dieser Betrag $> [mm] 1=\epsilon\,$ [/mm] wird.
Tipp:
O.E. kannst Du $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ annehmen. Betrachte [mm] $x=x_\delta:=\frac{\delta}{2} \in (0,1)\,.$ [/mm] (Ggf. muss auch hier das [mm] $\delta$ [/mm] verkleinert werden.)
Gruß,
Marcel
P.S.:
Bzgl. [mm] $f_0$:
[/mm]
Beachte auch die Verneinung der glm. Stetigkeit:
Es gibt ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$, so dass für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ gilt: Man findet [mm] $x,y\,$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] so, dass zwar $|x-y| < [mm] \delta\,,$ [/mm] aber gleichzeitig $|f(x)-f(y)| > [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Falls Du schon weißt, dass stetige Funktionen auf kompakten Intervallen gleichmäßig stetig sind, ist der Beweis für 0<a<1 ganz einfach:
f ist auf [mm] [\bruch{a}{2},1] [/mm] glm. stetig, also auch auf (a,1)
FRED
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