Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Mi 25.04.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | hey! Ich soll bei $ f: [mm] \IR^2\to \IR,\ f(x;y)=x^2+y^2 [/mm] $ die Stetigkeit in (0;0) beweisen. |
"Seien [mm] (X,d),\ (Y,d) [/mm] metrische Räume und [mm] D \subset X [/mm]. Eine Abbildung [mm] f : D \to Y [/mm] heißt stetig in [mm] x_0 \in D [/mm], wenn es zu jedem [mm] \varepsilon > 0 [/mm] ein [mm] \delta > 0 [/mm] gibt mit [mm] d(f(x), f(x_0)) < \varepsilon\quad \forall x\in D [/mm] mit [mm] d(x, x_0) <\delta [/mm]."
Was ist das für eine Metrik [mm] d [/mm]? Ist das die euklidische Metrik? Ich tut jetzt einfach mal so :)
[mm] d(f(x), f(x_0))\ =\ d(f(x), f(0;0))\ =\ ||f(x)-f(0;0)|| =\ ||f(x)-f(0;0)||\ =\ ||x^2+y^2||[/mm]
aber wie gehts jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> hey! Ich soll bei [mm]f: \IR^2\to \IR,\ f(x;y)=x^2+y^2[/mm] die
> Stetigkeit in (0;0) beweisen.
> "Seien [mm](X,d),\ (Y,d)[/mm] metrische Räume und [mm]D \subset X [/mm].
> Eine Abbildung [mm]f : D \to Y[/mm] heißt stetig in [mm]x_0 \in D [/mm],
> wenn es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]\delta > 0[/mm] gibt mit
> [mm]d(f(x), f(x_0)) < \varepsilon\quad \forall x\in D[/mm] mit [mm]d(x, x_0) <\delta [/mm]."
>
>
> Was ist das für eine Metrik [mm]d [/mm]? Ist das die euklidische
> Metrik? Ich tut jetzt einfach mal so :)
Ja, auf dem Def. - bereich von f, also auf [mm] \IR^2 [/mm] hast Du die euklidische Norm. f geht nach [mm] \IR, [/mm] dort hast Du den betrag.
>
>
> [mm]d(f(x), f(x_0))\ =\ d(f(x), f(0;0))\ =\ ||f(x)-f(0;0)|| =\ ||f(x)-f(0;0)||\ =\ ||x^2+y^2||[/mm]
>
>
> aber wie gehts jetzt weiter?
Besser:
$d(f(x,y), [mm] f(x_0))\ [/mm] =\ d(f(x,y), f(0,0))\ =\ [mm] |f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|=|x^2+y^2|=x^2+y^2=||(x,y)||^2$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mi 25.04.2012 | | Autor: | saendra |
Ich denke ja, auf jeden Fall Danke Fred. Ich hab es echt etwas verwirrend hingeschrieben.
Die Definition ist ja aber nicht gerade pflegeleicht. Soll ich jetzt zuerst ein beliebiges, aber festes [mm]\varepsilon >0[/mm] vorgeben, für welches [mm] d(f(x), f(x_0)) [/mm] kleiner sein soll und dann das [mm] \delta [/mm] finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich denke ja, auf jeden Fall Danke Fred. Ich hab es echt
> etwas verwirrend hingeschrieben.
>
> Die Definition ist ja aber nicht gerade pflegeleicht. Soll
> ich jetzt zuerst ein beliebiges, aber festes [mm]\varepsilon >0[/mm]
> vorgeben, für welches [mm]d(f(x), f(x_0))[/mm] kleiner sein soll
> und dann das [mm]\delta[/mm] finden?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 26.04.2012 | | Autor: | saendra |
okay: $ [mm] d\Big(f(x,y), f(x_0,y_0)\Big)\ [/mm] =\ [mm] |f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|=|x^2+y^2|=x^2+y^2=||(x,y)||^2 [/mm] $
Und laut Definition muss immer dies gelten: $ [mm] d\Big((x,y),(x_0,y_0)\Big) <\delta \iff ||(x,y)-(0,0)||<\delta \iff ||(x,y)||<\delta [/mm] $
Jetzt darf ich doch dies machen (warum darf ich das so abschätzen??): $ [mm] ||(x,y)||^2<\delta^2 [/mm] $
weiter komm ich nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Do 26.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> okay: [mm]d\Big(f(x,y), f(x_0,y_0)\Big)\ =\ |f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|=|x^2+y^2|=x^2+y^2=||(x,y)||^2[/mm]
>
> Und laut Definition muss immer dies gelten:
> [mm]d\Big((x,y),(x_0,y_0)\Big) <\delta \iff ||(x,y)-(0,0)||<\delta \iff ||(x,y)||<\delta[/mm]
>
>
> Jetzt darf ich doch dies machen (warum darf ich das so
> abschätzen??): [mm]||(x,y)||^2<\delta^2[/mm]
>
> weiter komm ich nicht :(
Zu vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] mußt Du ein [mm] \delta>0 [/mm] finden mit der Eigenschaft:
$||(x,y)||< [mm] \delta$ \Rightarrow $||(x,y)||^2< \varepsilon$ [/mm] .
Na, wie kannst Du also [mm] \delta [/mm] (in Abhängigkeit) von [mm] \varepsilon [/mm] wählen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Do 26.04.2012 | | Autor: | saendra |
Danke :)
hmmm also es gilt $ ||(x,y)||< [mm] \delta [/mm] $ und $ [mm] ||(x,y)||^2< \varepsilon [/mm] $ .
Wenn ich jetzt $ [mm] ||(x,y)||^2< \varepsilon \iff [/mm] ||(x,y)||< [mm] \wurzel{\varepsilon} [/mm] $ mache
bekomme ich $ [mm] \delta [/mm] = [mm] \wurzel{\varepsilon} [/mm] $ heraus.
Stimmt das? Oder $ [mm] \delta \geq \wurzel{\varepsilon} [/mm] $ oder $ [mm] \delta \leq \wurzel{\varepsilon} [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 26.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke :)
>
> hmmm also es gilt [mm]||(x,y)||< \delta[/mm] und [mm]||(x,y)||^2< \varepsilon[/mm]
> .
>
> Wenn ich jetzt [mm]||(x,y)||^2< \varepsilon \iff ||(x,y)||< \wurzel{\varepsilon}[/mm]
> mache
>
> bekomme ich [mm]\delta = \wurzel{\varepsilon}[/mm] heraus.
Bingo !
FRED
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>
> Stimmt das? Oder [mm]\delta \geq \wurzel{\varepsilon}[/mm] oder
> [mm]\delta \leq \wurzel{\varepsilon}[/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mo 30.04.2012 | | Autor: | saendra |
:D danke 
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