Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 So 16.09.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo,
ich verstehe die (gleichmäßige, lipschitz, punktweise) Stetigkeit nicht. Könnte mir jemand vielleicht in Worten erklären was man unter der Definition von (gleichmäßige, lipschitz, punktweise) Stetigkeit versteht. Also keine Beispiele, nur wie man das zum Beispiel jemand anderen erklären könnte.
Ich habe es schon im Buch nachgelesen, aber ich habe es nicht verstanden. Am wenigsten versteh ich die gleichmäßige und die lipschitz stetigkeit.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mo 17.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Stetigkeit allgemein oder Lipschitz ist immer für einen Punkt, also punktweise definiert.
jetz schreib mal die 2 Definitionen hin und sage, was daran du nicht verstehst. Willst du eine anschauliche Erklärung, oder was meinst du? d
ie Lipschitzstetigkeit ist immer auch"normal" nur verlangt sie etwas mehr!
Gleichmäßig bezieht sich auf ein gesamtes Definitionsgebiet, in dem es eine Lipschitzkonstante oder ein [mm] \delta [/mm] unabhängig von der Stelle x gibt.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:34 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Foto |
Guten Morgen, dankeschön.
Tut mir Leid, dass ich so spät erst zurück schreibe. Könntest du mir dass bitte anschaulich erklären. Also ich habe, dass im Buch Tutorium Analysis 1... von F. Modler und M. Kreh versucht nachvollzuziehen, aber nicht verstanden, also die anschauliche Erklärung.
Gruß
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> Guten Morgen, dankeschön.
> Tut mir Leid, dass ich so spät erst zurück schreibe.
> Könntest du mir dass bitte anschaulich erklären. Also ich
> habe, dass im Buch Tutorium Analysis 1... von F. Modler und
> M. Kreh versucht nachvollzuziehen, aber nicht verstanden,
> also die anschauliche Erklärung.
Hallo,
leduart sagte doch, daß Du zunächst mal hinschreiben sollst, wie "stetig", "lipschitzstetig" und "gleichmäßig stetig" definiert sind.
Solange wir das nicht vor Augen haben, ist ein Gespräch darüber schwer, und es schadet Dir sicher nicht, diese Definitionen hier mal aufzuschreiben.
Das genannte Buch kenne ich nicht.
Wenn Du uns (zusätzlich zu den Definitionen) aber verrätst, was drinsteht und was daran Du nicht verstehst, wird sich möglicherweise manches klären lassen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 18.10.2012 | | Autor: | Foto |
Hallo, ok dann mache ich das mal:
1.) Stetigkeit: [mm] f:D\subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR. [/mm] f heißt stetig in [mm] x_{0} \in [/mm] D gdw.
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 mit [mm] |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon [/mm]
2.) Gleichm. Stetigkeit: [mm] f:D\subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR. [/mm] f heißt gleichm. stetig auf D gdw. [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 mit [mm] |x-x_{0}|<\delta \forall x,x_{0}\in [/mm] D [mm] \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon [/mm]
3.) Lipschitz-Stetigkeit: [mm] f:D\subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR. [/mm] f heißt lipschitz. stetig auf D gdw. [mm] \exists [/mm] L>0: [mm] |f(x)-f(x_{0})|< [/mm] L [mm] |x-x_{0}| \forall x,x_{0}\in [/mm] D
So dass sind die Definitonen.
Die Erklärungen im Buch basieren auf Skizzen in diesem Buch. Daher wirds vielleicht schwierig diese nachvollzuziehen.
zu 1) Bedeutet, dass man zu jeder noch so kleinen Umgebung [mm] U_{f(x)} [/mm] um den Funktionswert f(x) eine kleine Umgebung [mm] U_{x} [/mm] um den x-Wert finden kann, so dass diese Umgebung [mm] U_{x} [/mm] komplett in die Umgebung [mm] U_{f(x)} [/mm] abgebildet wird. Dann steht da noch Eine Funktion f ist genau dann stetig, wenn eine geringe Abweichung vom x-Wert auch nur eine geringe Abweichung vom f(x)-Wert zur Folge hat.
zu 2) Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite [mm] \varepsilon [/mm] kann man
eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite [mm] \delta [/mm] finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten [mm] \varepsilon,\delta [/mm] geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die
senkrechten Rechteckseiten schneidet. Gleichmäßige Stetigkeit ist eine globale Eigenschaft.
zu 3) Eine differenziebare Funktion ist genau dann lipschitz stetig, wenn die erste Ableitung beschränkt ist. Anschaulich bedeutet das, dass die Verzerrung des Abstands zweier Punkte [mm] x,x_{0} \in [/mm] D unter der Abbildung beschränkt bleibt, was bei einer Abb. [mm] X->X_{0} [/mm] mit X [mm] \subset \IR [/mm] und [mm] X_{0} \subset \IR [/mm] darauf hinausläuft, dass die Steigung des Graphen beschränkt bleibt.
Ich weiß auch nicht genau, was ich nicht versteh. Nur wenn ich das jemandem erklären sollte mit meinen eigenen Worten, könnte ich das nicht und bei Rückfragen könnte ich diese Wahrscheinlich auch nicht beantworten. Irgendwie ist mir das alles nicht ganz klar.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 18.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
für die Stetigkeit hast du ja schon das [mm] \epsilon.\delta [/mm] Rechteck als Anschauung. es muss nur klar sein, dass die nötigen [mm] \delta [/mm] von der Stelle x abhängen.
Wenn du etwa [mm] f(x)=x^2 [/mm] nimmst und mal [mm] \epsilon=0.1
[/mm]
dann muss [mm] \delta [/mm] bei x=1 etwa <0,05 sein ,denn [mm] 1.05^2=1+0.10..
[/mm]
[mm] 0.95^2=1-0.1
[/mm]
bei x=10 aber muss bei demselben [mm] \epsilon [/mm] =0.1 [mm] \delta<0.005 [/mm] sein
denn [mm] 10.005^2=10+0.1...
[/mm]
bei x =100 muss man [mm] \delta [/mm] noch viel kleiner nehmen.
damit sind wir bei gleichmäsig stetig.
Wenn man für alle x zu jedem vorgegebenen [mm] \epsilon [/mm] ein für alle passendes [mm] \delta [/mm] vorgeben kann, dann heisst die fkt. gleichmasig stetig.
du siehst direkt, dass das für [mm] x^2 [/mm] nicht der fall ist. allerdings, wenn ich einen beschränkten Definitionsbereich wähle, hier z.b [mm] |x|\le [/mm] 10 dann gibt es ein [mm] \delta [/mm] für alle x in dem bereich, nämlich das min der Deltas, das hier bei x=10 ist.
d.h. jede fkt, die punktweise stetig ist, ist auf einem beschränkten Gebiet auch gleichmäsig stetig.
Lipschitzstetige Funktionen sind "braver" stetig, als nur stetige Funktionen, das [mm] \delta [/mm] aus der ersten Definition ist jetzt [mm] \epsilon/L, [/mm] auch hier kann wieder L von [mm] x_0 [/mm] abhängen.
im übrigen muss man sich an die Definition als abstrakt gewühnen, die funktionen, wie du sie bisher kennst sind fast alle stetig, bis auf einige Stellen (Pole, Sprungstellen)
aber das ist nur ein winziger teil der stetigen funktionen, es gibt unendlich viele , die man etwa nicht (wie in der Schule oft gesagt) mit nicht abgesetzten Stift zeichnen kann.
Ein Bsp dafür etwa die Kochkurve (siehe wiki) überall stetig, nirgends differenzierbar.
Gruss leduart
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