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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Do 06.12.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \rightarrow \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(x)=f(n)=\begin{cases} 0, x=0 \\ 0, x \not\in \IQ \\ \bruch{1}{q}, x=\bruch{p}{q} gekuerzt, x \not= 0 \end{cases}
[/mm]
In welchen Punkten ist f stetig? |
Abend Leute,
Klar ist für mich, dass sie in f(0) stetig ist.
Es gilt
f(0)=0. Dies ist eine konstante Folge, die stetig ist. Zeigen kann ich dies noch auf diese Art und Weise:
[mm] lim_{x \rightarrow 0, x < 0}f(x)=lim_{x \rightarrow 0, x > 0}=f(0)=0
[/mm]
Beim 2.ten Fall bin ich mir unschlüssig.
Ich weiß, dass für x irrationale Zahlen [mm] \IR [/mm] \ { [mm] \IQ [/mm] } eingesetzt werden und dass der Funktionswert dann 0 ist. Vorstellen kann ich es mir nicht, dass für beliebige irrationale x der Funktionswert immer 0 lautet.
Ich vermute, dass auch der zweite Teil stetig ist, weiß aber nicht wie ich dies zeigen kann.
mfg,
zjay
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Hallo zjay,
falsch geraten. 
> Sei [mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm] gegeben durch
>
> [mm]f(x)=f(n)=\begin{cases} 0, x=0 \\
0, x \not\in \IQ \\
\bruch{1}{q}, x=\bruch{p}{q} gekuerzt, x \not= 0 \end{cases}[/mm]
Was macht denn das f(n) da in der Landschaft?
> In welchen Punkten ist f stetig?
> Klar ist für mich, dass sie in f(0) stetig ist.
> Es gilt
>
> f(0)=0. Dies ist eine konstante Folge, die stetig ist.
> Zeigen kann ich dies noch auf diese Art und Weise:
>
> [mm]lim_{x \rightarrow 0, x < 0}f(x)=lim_{x \rightarrow 0, x > 0}=f(0)=0[/mm]
Stimmt zwar, aber das machst Du besser getrennt für [mm] x\in\IQ [/mm] und für [mm] x\not\in\IQ.
[/mm]
> Beim 2.ten Fall bin ich mir unschlüssig.
>
> Ich weiß, dass für x irrationale Zahlen [mm]\IR\setminus[/mm] [mm]\{\IQ\}[/mm]
> eingesetzt werden und dass der Funktionswert dann 0 ist.
> Vorstellen kann ich es mir nicht, dass für beliebige
> irrationale x der Funktionswert immer 0 lautet.
Das finde ich noch einfach. Schwieriger ist es, sich den Funktionsverlauf für rationale x vorzustellen.
Beides ist aber nicht wirklich nötig für die Untersuchung.
> Ich vermute, dass auch der zweite Teil stetig ist, weiß
> aber nicht wie ich dies zeigen kann.
Dann untersuch doch mal z.B. die Stellen [mm] x=\bruch{707}{1000} [/mm] und [mm] x=\bruch{1}{2}\wurzel{2}.
[/mm]
Noch ein Tipp: [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Fr 07.12.2012 | | Autor: | zjay |
das f(n) war falsch. Ich meinte natürlich f(x).
zu deinem Hinweis x=707/1000 und [mm] x=\bruch{1}{2} *\sqrt{2}
[/mm]
a) Mit x=707/1000 beziehst du dich auf den dritten Fall, dass x eine rationale Zahl sei, die durch [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mit p [mm] \in \IZ [/mm] und q [mm] \in \IZ [/mm] dargestellt wird. p und q sind ungleich 0.
Für beliebige f(p/q) erhalte ich als Funktionswert 1/q. Da ist 0 doch ganz klar eine Definitionslücke, weswegen ich sagen würde, dass f(x) in diesem Fall nicht stetig ist.
b) Mit [mm] x=\bruch{1}{2} *\sqrt{2} [/mm] beziehste dich vermutlich auf den zweiten Fall, wo x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] {\IQ} [/mm] ist. Für beliebige irrationale Stellen x, erhalten wir den Funktionwert 0. So auch für [mm] x=\bruch{1}{2} *\sqrt{2}. [/mm] Dann ist es doch stetig?!
Als nächstes überlege ich mal, wie ich meine Theorien (sofern sie richtig sind) zeigen könnte.
mfg,
zjay
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Hallo nochmal,
bilde in beiden Fällen mal den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert, und das auch noch getrennt für rationale und für irrationale x.
Der Funktionswert von [mm] x=\tfrac{707}{1000} [/mm] ist [mm] f(x)=\bruch{1}{1000}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 09.12.2012 | | Autor: | zjay |
Hi,
also bei x [mm] \not\in \IQ [/mm] gilt
i) [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0},x<0}f(\frac{1}{2}\sqrt{2})=0=\limes_{x\rightarrowx_{0},x>0}f(\frac{1}{2}\sqrt{2})
[/mm]
und bei x=p/q gilt
ii) [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0},x<0}f(-707/1000)=-1/1000\not=\limes_{x\rightarrow x_{0},x>0}f(707/1000)=1/1000
[/mm]
Hier komme ich dann zu dem Schluss, dass i) stetig ist und ii) nicht stetig ist.
Dies stimmt aber keineswegs mit deiner Aussage überein.
Was habe ich also falsch gemacht?
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 So 09.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du kannst jede rationale Zahl durch eine Folge von irrationalen Zahlen erreichen zB. 0.5 mit [mm] x_n=0,5+\wurzel{2}/n
[/mm]
wie sind dann die werte [mm] f(x_n)
[/mm]
jede irrationale Zahl, kannst du durch eine Folge von rationalen Zahlen erreichen, was passiert dabei mit den Nennern? was ist [mm] f(x_n)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 09.12.2012 | | Autor: | zjay |
Ich sehe gerad leider noch nicht die Verbindung zwischen deiner Aussage und meinem vorgerechneten Beispiel (wobei ich da noch nichtmal weiß ob das stimmt oder ich da irgendwo einen Fehler gemacht habe).
Also zu deinen Fragen:
1.) die Werte von [mm] f(x_{n}) [/mm] lauten [mm] f_{x_1}=1/2+\sqrt{2}, f(x_{2}=1/2+\sqrt{2}/2, [/mm] ... [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=1/2
[/mm]
2.) ich nehme mal die irrationale Zahl [mm] \sqrt{2}. [/mm] Ich weiß gerad nicht wie ich sie als Folge darstellen kann,
aber für [mm] \pi [/mm] gilt [mm] a_{0}=3, a_{2}=31/10, a_{3}=314/100, a_{4}=3141/1000
[/mm]
die Nenner lassen sich also durch [mm] 1/10^{n} [/mm] darstellen.
mehr fällt mir partou dazu nicht ein. Erläutere mir bitte, was offen geblieben ist und was der Zusammenhang zur Aufgabe ist.
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 09.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also zu deinen Fragen:
>
> 1.) die Werte von [mm]f(x_{n})[/mm] lauten [mm]f_{x_1}=1/2+\sqrt{2}, f(x_{2}=1/2+\sqrt{2}/2,[/mm]
> ... [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=1/2[/mm]
[mm] x_n [/mm] nicht aus Q also [mm] f(x_n)=0 [/mm] aber f(1/2)=1/2
du hast also Werte [mm] x_n [/mm] beliebig nahe an 1/2 wo der Funktionswert sich von f(x) um 0,5 unterscheidet.
was sagt die Folgenstetigkeit? bitte zitiere!
> 2.) ich nehme mal die irrationale Zahl [mm]\sqrt{2}.[/mm] Ich weiß
> gerad nicht wie ich sie als Folge darstellen kann,
>
> aber für [mm]\pi[/mm] gilt [mm]a_{0}=3, a_{2}=31/10, a_{3}=314/100, a_{4}=3141/1000[/mm]
>
> die Nenner lassen sich also durch [mm]1/10^{n}[/mm] darstellen.
Dass ein Zahl nicht aus Q ist heisst doch, dass man sie niicht durch einen Bruch mit endlichem Nenner darstellen kann, aber eine Folge von rationalen Zahlen mit wachsendem Nenner approximieren jede reelle Zahl. Jetz überleg wieder was Folgenstetigkeit heisst und nimm eine bel. Folge die gegen [mm] r\notin [/mm] Q konvergiert.
was ddu im post davor geschrieben hast z.B
$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0},x<0}f(\frac{1}{2}\sqrt{2})=0=\limes_{x\rightarrowx_{0},x>0}f(\frac{1}{2}\sqrt{2}) [/mm] $
ist ein sinnloser Ausdruck, da kommt ja gar kein x vor, also betrachtest du keinen Grenzübergang!
also willst du eigentlich [mm] \limes_{x\rightarrow\frac{1}{2}\sqrt{2}}f(x)
[/mm]
und jetzt nimm mal x reell und x rational beide nahe an [mm] \frac{1}{2}\sqrt{2}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 09.12.2012 | | Autor: | zjay |
Abend,
Das Folgenkriterium für Stetigkeit (Königsberger 6.Auflage)
f:D [mm] \rightarrow \IC [/mm] ist genau dann stetig in [mm] x_{0} \in [/mm] D, wenn für jede Folge von Punkten [mm] x_{n} \in [/mm] D mit [mm] x_{n} \rightarrow x_{0} [/mm] gilt:
[mm] f(x_{n}) \rightarrow f(x_{0})
[/mm]
Okay, ich soll jetzt [mm] \frac{1}{2}\sqrt{2} [/mm] einmal mit x reel und x rational annähern:
x [mm] \not\in \IQ:
[/mm]
[mm] f(x_{n})=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{n}
[/mm]
x [mm] \not\in \IQ:
[/mm]
[mm] f(x_{n})=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{10^{n}}
[/mm]
So, ich denke jetzt habe ich getan worum du mich gebeten hast.
Ich mache mir jetzt erstmal Gedanken dazu wie ich das Wissen auf die Aufgabenstellung anweden kann, aber wenn du inzwischen Zeit finden solltest mir Hinweise zu geben, wäre ich dir dankbar.
Ansonsten werde ich nachfragen, wenn ich nicht weiterkomme.
PS:
Ich habe keine Ahnung, wie mir die letzten Gedanken und Ausführungen bei dieser Aufgabe helfen sollen.
Ich bin nach wie vor der Meinung, dass die Funktion für x [mm] \not\in \IQ [/mm] und f(x)=0 stetig ist und für x=p/q (gekürzt [mm] x\not= [/mm] 0) und f(x)=1/q nicht stetig ist, wobei reverend der Meinung war, dass diese funktion im 2.Fall nicht stetig sei.
Ich werde mich gleich ransetzen und probieren das auszuformulieren, so wie ich die Aufgabe bisher verstanden habe. Vllt kann mir ja jemand verraten, wie ich das wissen aus den letzten Posts jetzt verbraten kann.
Die Funktion ist für x=0 und f(0)=0 stetig, da
[mm] lim_{x \rightarrow 0, x < 0}f(x)=lim_{x \rightarrow 0, x > 0}=f(0)=0
[/mm]
Die Funktion ist für [mm] x\not\in \IQ [/mm] stetig (?!), da
und jetzt überleg ich mir mal wie ich das ausformulieren kann.
mfg,
zjay
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Hallo zjay,
vielleicht liegt es nur daran, dass Du unsauber formulierst?
> Das Folgenkriterium für Stetigkeit (Königsberger
> 6.Auflage)
>
> f:D [mm]\rightarrow \IC[/mm] ist genau dann stetig in [mm]x_{0} \in[/mm] D,
> wenn für jede Folge von Punkten [mm]x_{n} \in[/mm] D mit [mm]x_{n} \rightarrow x_{0}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]f(x_{n}) \rightarrow f(x_{0})[/mm]
Ja. Aber Achtung: für jede solche Folge muss das gelten!
> Okay, ich soll jetzt [mm]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/mm] einmal mit x reel
> und x rational annähern:
>
> x [mm]\not\in \IQ:[/mm]
>
> [mm]f(x_{n})=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{n}[/mm]
>
> x [mm]\not\in \IQ:[/mm]
>
> [mm]f(x_{n})=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{10^{n}}[/mm]
>
> So, ich denke jetzt habe ich getan worum du mich gebeten
> hast.
Du hast aufgeschrieben, was Du machen willst. Wo sind die Ergebnisse? Welche Schlussfolgerungen sind daraus zu ziehen?
> Ich mache mir jetzt erstmal Gedanken dazu wie ich das
> Wissen auf die Aufgabenstellung anweden kann, aber wenn du
> inzwischen Zeit finden solltest mir Hinweise zu geben,
> wäre ich dir dankbar.
> Ansonsten werde ich nachfragen, wenn ich nicht
> weiterkomme.
>
> PS:
> Ich habe keine Ahnung, wie mir die letzten Gedanken und
> Ausführungen bei dieser Aufgabe helfen sollen.
>
> Ich bin nach wie vor der Meinung, dass die Funktion für x
> [mm]\not\in \IQ[/mm] und f(x)=0 stetig ist und für x=p/q (gekürzt
> [mm]x\not=[/mm] 0) und f(x)=1/q nicht stetig ist,
Das ist richtig.
> wobei reverend der
> Meinung war, dass diese funktion im 2.Fall nicht stetig
> sei.
Nein, das war ich nicht. Lies nochmal nach. Es liegt an Deiner eigenartigen Formulierung. Die war keineswegs so wie jetzt. Da hast Du noch etwas von einer Definitionslücke gefaselt.
> Ich werde mich gleich ransetzen und probieren das
> auszuformulieren, so wie ich die Aufgabe bisher verstanden
> habe. Vllt kann mir ja jemand verraten, wie ich das wissen
> aus den letzten Posts jetzt verbraten kann.
>
> Die Funktion ist für x=0 und f(0)=0 stetig, da
>
> [mm]lim_{x \rightarrow 0, x < 0}f(x)=lim_{x \rightarrow 0, x > 0}=f(0)=0[/mm]
>
> Die Funktion ist für [mm]x\not\in \IQ[/mm] stetig (?!), da
Hier, wie gesagt, einmal den Grenzwert für [mm] a\to{x},\;\;a\in\IQ [/mm] und einmal für [mm] a\to{x},\;\;a\not\in\IQ [/mm] bilden.
> und jetzt überleg ich mir mal wie ich das ausformulieren
> kann.
Mach das.
Vielleicht versteht es dann jemand. Denn Sinn der Aufgabe scheinst Du jetzt jedenfalls vollständig erfasst zu haben, auch die Lösung scheinst du gefunden zu haben, aber die Begründung kann ich noch nicht nachvollziehen.
Grüße
reverend
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