Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Helicase |
Hallo :)
Wir haben jetzt angefangen uns mit der Analysis mehrdimensionaler Funktionen zu beschäftigen, insbesonderen die Stetigkeit und Ableitung.
Als Übung möchte ich mir die Funktion
[mm] f(x,y)=\begin{cases} y-x, & \mbox{für } y \ge x^{2} \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } y < x^{2} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
anschauen und untersuchen in welchen Punkten die Funktion stetig ist und die partiellen Ableitungen [mm] f_{x}(0,0), f_{y}(0,0) [/mm] bestimmen.
zur Stetigkeit
Eigentlich müssen wir doch nur den Punkt an dem y = [mm] x^{2} [/mm] gilt, untersuchen.
Für y > [mm] x^{2} [/mm] haben wir eine stetige Funktion und für y < [mm] x^{2} [/mm] ebenso.
Wenn ich den Grenzwert [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\((x,\wurzel{x})} [/mm] von y - x berechne, muss 0 herauskommen, falls die Funktion stetig ist.
Wenn nicht ist sie in dem Punkt unstetig.
Allerdings komme ich nicht auf 0.
zur partiellen Ableitung
Wenn ich z.B. partiell nach y ableiten möchte, dann bleibt x konstant.
Ebenso wenn ich x partiell ableiten möchte.
Aber dann kommen als Ableitungen einmal 1 und -1 heraus ?
Das sagt mir dann doch nicht viel ?
Würde mich über Hilfe freuen :)
Danke & Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo :)
>
> Wir haben jetzt angefangen uns mit der Analysis
> mehrdimensionaler Funktionen zu beschäftigen,
> insbesonderen die Stetigkeit und Ableitung.
>
> Als Übung möchte ich mir die Funktion
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} y-x, & \mbox{für } y \ge x^{2} \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } y < x^{2} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> anschauen und untersuchen in welchen Punkten die Funktion
> stetig ist und die partiellen Ableitungen [mm]f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)[/mm]
> bestimmen.
>
> zur Stetigkeit
> Eigentlich müssen wir doch nur den Punkt an dem y = [mm]x^{2}[/mm]
> gilt, untersuchen.
das ist eine Menge [mm] ($\subseteq \IR^2$) [/mm] von Punkten.
> Für y > [mm]x^{2}[/mm] haben wir eine stetige Funktion und für y
> < [mm]x^{2}[/mm] ebenso.
Okay, Du sagst also: Das [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR^2 \setminus \{(x,y) \in \IR^2:\;\;y =x^2\}$ [/mm] stetig
ist, ist klar. Wieso ist das denn eigentlich klar?
> Wenn ich den Grenzwert
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\((x,\wurzel{x})}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
von y - x
> berechne, muss 0 herauskommen, falls die Funktion stetig
> ist.
Das ist eine sehr unschöne Notation. Einmal ist $(x,\sqrt{x})\,$ bei Dir ein fester Punkt,
das andere mal wird $(x,y)\,$ als Laufvariable verwendet.
Und richtig ist, dass Du, für $(x_0,y_0) \in \IR^2$ mit ${y_0}^2={x_0}^2$ (nur noch) nachzurechnen
bzw. zu prüfen hast, dass bzw. ob
$$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=0\;\;\;\;\;\;\;\;(=f(x_0,y_0))$$
gilt. Natürlich kannst Du das umschreiben mit
$$\lim_{\substack{(x,y) \to (\sqrt{y_0},y_0)\\y_0 \ge 0}}f(x,y)=0\;\;\;\;\;\;(=f(x_0,y_0))\,,$$
(das, was Du geschrieben hattest - $(x_0,\sqrt{x_0})$ - würde "eher" zu $y^2=x\,,$
nicht zu $y=x^2$ passen; Du hast da 'irgendwie quasi' Komponenten vertauscht...)
aber wenn Du sowas machst, dann darfst Du nicht vergessen,
dass es dann auch noch
$$\lim_{\substack{(x,y) \to (\;\red{\text{--}}\;\sqrt{y_0},\;y_0)\\y_0 \ge 0}}}}f(x,y)=0\;\;\;\;\;\;\;\;(=f(x_0,y_0))$$
zu untersuchen gilt: Es ist halt $y_0={x_0}^2$ genau dann, wenn $x_0=\sqrt{y_0}$ oder $x_0=-\sqrt{y_0}\,.$
> Wenn nicht ist sie in dem Punkt unstetig.
> Allerdings komme ich nicht auf 0.
Was rechnest Du denn? Wir brauchen die obigen Fallunterscheidungen, wie
Du sie machen wolltest, auch nicht: Für $(x_0,y_0)$ mit $y_0={x_0}^2$ gilt ja $f(x_0,y_0)=0\,.$
Seien nun $(x_n,y_n) \in \IR^2$ mit $x_n \to x_0$ und $y_n \to y_0={x_0}^2\,.$ (Dann gilt auch ${x_n}^2 \to {x_0}^2\,.$) Für jedes $n \in \IN$
gilt entweder $y_n < {x_n}^2$ und damit $f(x_n,y_n)=0\,,$ oder aber es gilt $y_n \ge {x_n}^2$ und damit
$f(x_n,y_n)=y_n-x_n\,.$
Du hast also recht: Betrachte doch einfach mal $(x_0,y_0):=(2,4)\,.$ Und dann
betrachte $y_n:=4+\tfrac{1}{n}$ und $x_n:=2$ für alle $n \in \IN\,.$ Und das kannst Du auch
allgemeiner hinschreiben und erkennst, dass $f\,$ auf $ \{(x,y) \in \IR^2:\;\;y=x^2\}\red{\;\setminus \{(0,0)\}\;}$
halt unstetig ist...
(Edit: Korrigiert!)
> zur partiellen Ableitung
> Wenn ich z.B. partiell nach y ableiten möchte, dann
> bleibt x konstant.
> Ebenso wenn ich x partiell ableiten möchte.
> Aber dann kommen als Ableitungen einmal 1 und -1 heraus ?
> Das sagt mir dann doch nicht viel ?
Zunächst mal bedenke, dass $f_{| \{(x,y) \in \IR^2:\;\;y<x^2\}}=0$ gilt, und da kannst
Du sehr einfach die partiellen Ableitungen hinschreiben (das sind aber nicht
die obigen).
Wie sieht's denn mit partiellen Ableitungen an den Unstetigkeitsstellen
aus? (Nachrechnen! Beachte bitte, dass zwar gilt, dass aus Unstetigkeit
Nichtdiff'barkeit folgt, aber hier geht's um partielle Ableitungen!)
Und ansonsten stimmt's einigermaßen, genauer:
$$\frac{\partial f_{| \{(x,y) \in \IR^2:\;\;y>x^2\}}}{\partial x}(x,y)=-1$$
und
$$\frac{\partial f_{| \{(x,y) \in \IR^2:\;\;y>x^2\}}}{\partial y}(x,y)=1\,.$$
(D.h., wenn Du Dir den $\IR^2$ mal mithilfe der Normalparabel einteilst in den
Bereich, der "komplett 'unterhalb' dieser Normalparabel verläuft", so weißt
Du schonmal, dass $f\,$ dort komplett die Nullfunktion ist. 'Oberhalb' der
Parabel (OHNE DIE PARABELLINIE!) ist $f\,$ (auch) stetig und hat in diesem Bereich
die obigen partiellen Ableitungen. AUF DER PARABELLINIE ist $f\,$ jedenfalls
unstetig; Du musst Dich trotzdem nochmal drum kümmern, wie es mit der
Existenz und dann ggf. dem Wert der entsprechenden partiellen Ableitung
für einen Punkt der Parabellinie aussieht!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 So 12.05.2013 | | Autor: | Helicase |
Hallo, so ich hab versucht das jetzt mehrmals durchzurechnen und nachvollziehen und komme auf keine Ergebnis.
Also für die Menge [mm] \{(x,y) \in \IR^{2}: y = x^{2}\} [/mm] ist meine Funktion unstetig ?
Wenn ich mir aber jetzt die Folgenstetigkeit hernehme und nachrechne, ist diese erfüllt und somit auch die Stetigkeit.
Sei [mm] y_{n} [/mm] = 4 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] x_{n} [/mm] = 2.
Dann konvergiert die Punktfolge (2, 4 + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen den Punkt (2,4).
Nun setze die Punktfolge [mm] (x_{n} [/mm] = 2, [mm] y_{n} [/mm] = 4 + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] in meine Funktion ein und erhalte
f(2, 4 + [mm] \bruch{1}{n})) [/mm] = 4 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - 2 = 2 + [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 2
Aber es gilt doch auch f(2,4) = 4 - 2 = 2.
Und damit stimmen die beiden Ergebnisse überein.
Anscheinend verstehe ich da die Definition der Folgenstetigkeit nicht und rechne da falsch.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, so ich hab versucht das jetzt mehrmals
> durchzurechnen und nachvollziehen und komme auf keine
> Ergebnis.
>
> Also für die Menge [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}: y = x^{2}\}[/mm] ist
> meine Funktion unstetig ?
genau!
> Wenn ich mir aber jetzt die Folgenstetigkeit hernehme und
> nachrechne, ist diese erfüllt und somit auch die
> Stetigkeit.
>
> Sei [mm]y_{n}[/mm] = 4 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]x_{n}[/mm] = 2.
>
> Dann konvergiert die Punktfolge (2, 4 + [mm]\bruch{1}{n})[/mm] für
> n [mm]\to \infty[/mm] gegen den Punkt (2,4).
>
> Nun setze die Punktfolge [mm](x_{n}[/mm] = 2, [mm]y_{n}[/mm] = 4 +
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm] in meine Funktion ein und erhalte
>
> f(2, 4 + [mm]\bruch{1}{n}))[/mm] = 4 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] - 2 = 2 +
> [mm]\bruch{1}{n} \to[/mm] 2
>
> Aber es gilt doch auch f(2,4) = 4 - 2 = 2.
> Und damit stimmen die beiden Ergebnisse überein.
Okay, das OFFENSICHTLICHSTE hätte ich Dir vielleicht nochmal
dazuschreiben sollen:
Beachte halt [mm] $f_{|\{(x,y) \in \IR^2;\;\;y < x^2\}}=0\,.$
[/mm]
Oder so: Es ist [mm] $f(2,4\red{\;\text{--}\;}\tfrac{1}{n})\equiv 0\,.$
[/mm]
Wie gesagt:
Ich hätte Dir aber auch besser die Folge [mm] ${((2,4-\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN}$ [/mm] oder halt
sowohl die Folge [mm] ${((2,4-\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN}$ [/mm] als auch die Folge [mm] ${((2,4+\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN}$
[/mm]
zur Untersuchung angeben sollen. Das stimmt natürlich schon, nur, weil
es in meinem Kopf schon offensichtlich ist, sollte ich es Dir klarer
offensichtlich machen, weil Du ja nicht in meinen Kopf reingucken kannst. 
P.S. "Ganz gewitzt" kannst Du hier auch mit [mm] ${((2,\;4+(-1)^n*\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN}$ [/mm] arbeiten!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 12.05.2013 | | Autor: | Helicase |
Wenn ich das gleiche mit [mm] {((2,4-\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN} [/mm] rechne, komme ich dann auf den Widerspruch.
Und daraus kann ich dann schlussfolgern, dass f(x,y) nicht stetig ist ?
Wenn man den Beweis formuliert, reicht es man das für [mm] {((2,4-\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN} [/mm] betrachtet oder beide ?
Noch eine Frage zu den partiellen Ableitungen:
Wenn f für M = [mm] \{(x,y) \in \IR^{2}: y = x^{2}\} [/mm] nicht stetig ist, heißt das f dort nicht differenzierbar, aber die partiellen Ableitungen existieren ?
Dieser Zusammenhang erschließt sich mir noch nicht. :/
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn ich das gleiche mit [mm]{((2,4-\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN}[/mm]
> rechne, komme ich dann auf den Widerspruch.
> Und daraus kann ich dann schlussfolgern, dass f(x,y) nicht
> stetig ist ?
daraus folgt dann, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig in $(2,4) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist. Damit ist [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig
(denn Stetigkeit heißt: Stetig IN ALLEN Stellen des Definitionsbereichs!)
Nebenbei: etwas habe ich mir noch gar nicht überlegt. Man kann ja in
vollkommener Analogie zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] unstetig in allen $(x,y) [mm] \in \IR^2$
[/mm]
mit [mm] $y=x^2$ [/mm] und $(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] ist. An der Stelle $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] musst
Du aber nochmal genau hingucken. Ich glaube, das muss ich auch in den
anderen Antworten korrigieren, also wundere Dich nicht über die Edits!
> Wenn man den Beweis formuliert, reicht es man das für
> [mm]{((2,4-\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN}[/mm] betrachtet oder beide ?
Es gilt damit dann [mm] $f(2,4-\tfrac{1}{n})=0 \to [/mm] 0 [mm] \not=2=4-2=f(2,4)\,.$ [/mm]
Wäre [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $(2,4)\,,$ [/mm] so müsste aber FÜR JEDE FOLGE von
Stellen [mm] $(x_n,y_n) \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (2,4)$ auch [mm] $f(x_n,y_n) \to [/mm] f(2,4)$ gelten!
> Noch eine Frage zu den partiellen Ableitungen:
> Wenn f für M = [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}: y = x^{2}\}[/mm] nicht
> stetig ist, heißt das f dort nicht differenzierbar, aber
> die partiellen Ableitungen existieren ?
Dass [mm] $f\,$ [/mm] dort nicht stetig ist, bedeutet nicht, dass die partiellen Ableitungen
dort nicht existieren. Sie können dort existieren, sie können es aber auch
nicht. Das ist halt nachzurechnen.
Einfaches Beispiel:
Nehmen wir [mm] $g\colon \IR^2 \to \{0,1\}$ [/mm] mit [mm] $g(x,y):=1\,,$ [/mm] falls [mm] $y=x^2\,,$ [/mm] und $g(x,y):=0$ sonst.
[mm] $g\,$ [/mm] ist an der Stelle $(0,0)$ unstetig, und trotzdem kannst Du [mm] $g_x(0,0)=0$ [/mm] und auch
[mm] $g_y(0,0)=0$ [/mm] ausrechnen...
Schreib's halt mal hin, was [mm] $g_x(0,0)$ [/mm] bzw. [mm] $g_y(0,0)$ [/mm] nach Definition jeweils
für ein Grenzwert (im Falle der Existenz) ist...
> Dieser Zusammenhang erschließt sich mir noch nicht. :/
Du darfst halt nicht (totale) Diff'barkeit mit partieller verwechseln!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 12.05.2013 | | Autor: | Helicase |
Okay, wenn ich den Punkt (0,0) einzeln nochmal anschaue und untersuche ob Funktionswert und Grenzwert dort übereinstimmen, müsste f für (0,0) stetig sein ?
Also partielle Ableitung hätte ich:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0) = 0 und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (0,0) = 1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, wenn ich den Punkt (0,0) einzeln nochmal anschaue und
> untersuche ob Funktionswert und Grenzwert dort
> übereinstimmen, müsste f für (0,0) stetig sein ?
ich hab's nur gedanklich überflogen, aber es müsste [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $(0,0)\,$
[/mm]
sein. Beweis' es mir doch einfach mal: Seien [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to 0\,,$
[/mm]
dann gilt...?
Damit überzeugst Du mich, und vor allem auch Dich!
> Also partielle Ableitung
jetzt aber nur an der Stelle $(0,0)$?
> hätte ich:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (0,0) = 0
Rechnung dazu? Das stimmt!
> und
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0) = 1 ?
Ich kann Dir - ohne nachzudenken, sagen, dass das nicht stimmen kann:
[mm] $$\lim_{(0 \not=)\;\;h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}$$
[/mm]
existiert nicht. Du betrachtest halt nur $h > [mm] 0\,$...
[/mm]
P.S. Wie sieht's denn mit den anderen partiellen Ableitungen "an Stellen der Normalparabel"
aus? (Über den Rest hatte ich schon was gesagt!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 So 12.05.2013 | | Autor: | Helicase |
> Hallo,
>
> > Okay, wenn ich den Punkt (0,0) einzeln nochmal anschaue und
> > untersuche ob Funktionswert und Grenzwert dort
> > übereinstimmen, müsste f für (0,0) stetig sein ?
>
> ich hab's nur gedanklich überflogen, aber es müsste [mm]f\,[/mm]
> stetig in [mm](0,0)\,[/mm]
> sein. Beweis' es mir doch einfach mal: Seien [mm](x_n,y_n)[/mm] mit
> [mm]x_n \to 0[/mm] und [mm]y_n \to 0\,,[/mm]
> dann gilt...?
> Damit überzeugst Du mich, und vor allem auch Dich!
>
Wenn [mm](x_n,y_n)[/mm] mit [mm]x_n \to 0[/mm] und [mm]y_n \to 0\,,[/mm], dann muss daraus folgen, dass [mm] f(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0).
Wenn ich entsprechende Nullfolge, z.b. 1/n anschaue, dann ist die Implikation wahr.
> > Also partielle Ableitung
>
> jetzt aber nur an der Stelle [mm](0,0)[/mm]?
>
> > hätte ich:
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (0,0) = 0
>
> Rechnung dazu? Das stimmt!
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f((0,0) + h(1,0)) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)) - f(0,0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0))}{h} \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h} [/mm] = 0
>
> > und
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0) = 1 ?
>
> Ich kann Dir - ohne nachzudenken, sagen, dass das nicht
> stimmen kann:
> [mm]\lim_{(0 \not=)\;\;h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
So hatte ich das auch. Und f(0,h) = h - 0 = 0. Und daraus würde doch h/h = 1 folgen ?
Stimmt, wir betrachten h [mm] \to [/mm] 0-, dann folgt daraus y < [mm] x^{2} [/mm] und rechtsseitiger und linkseiter Grenzwert stimmen nicht überein.
> existiert nicht. Du betrachtest halt nur [mm]h > 0\,[/mm]...
>
> P.S. Wie sieht's denn mit den anderen partiellen
> Ableitungen "an Stellen der Normalparabel"
> aus? (Über den Rest hatte ich schon was gesagt!)
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Okay, wenn ich den Punkt (0,0) einzeln nochmal anschaue und
> > > untersuche ob Funktionswert und Grenzwert dort
> > > übereinstimmen, müsste f für (0,0) stetig sein ?
> >
> > ich hab's nur gedanklich überflogen, aber es müsste [mm]f\,[/mm]
> > stetig in [mm](0,0)\,[/mm]
> > sein. Beweis' es mir doch einfach mal: Seien [mm](x_n,y_n)[/mm]
> mit
> > [mm]x_n \to 0[/mm] und [mm]y_n \to 0\,,[/mm]
> > dann gilt...?
> > Damit überzeugst Du mich, und vor allem auch Dich!
> >
> Wenn [mm](x_n,y_n)[/mm] mit [mm]x_n \to 0[/mm] und [mm]y_n \to 0\,,[/mm], dann muss
> daraus folgen, dass [mm]f(x_n,y_n) \to[/mm] (0,0).
> Wenn ich entsprechende Nullfolge, z.b. 1/n anschaue, dann
> ist die Implikation wahr.
nana: Du musst schon begründen, warum die Implikation stets wahr ist -
dafür reicht's nicht aus, sich das nur für eine spezielle Nullfolge (Du
meintest wohl [mm] $(x_n,y_n)=(\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n})$) [/mm] anzugucken.
Mach's richtig:
Wir betrachten zunächst zwei Fälle (diese werden reichen, auch, wenn der
zweite Fall nicht einfach die Verneinung des ersten Falls ist und wir nicht
alle möglichen Fälle begutachten werden; mit den beiden Fällen kann man
alle anderen behandeln):
1. Fall: Falls [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$ mit [mm] $x_n^2 [/mm] < [mm] y_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] so folgt...
2. Fall: Falls [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$ so, dass [mm] $x_n^2 \ge y_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] so folgt...
Und jetzt überlege Dir anhand der beiden vorangegangenen Fälle: Falls [mm] $(x_n,y_n) \to (0,0)\,,$ [/mm]
so kann man [mm] $((x_n,y_n))_n$ [/mm] "in zwei Teilfolgen [mm] ${((x_{n^{(1)}_k},y_{n^{(1)}_k})}_k$ [/mm] und [mm] ${((x_{n^{(2)}_k},y_{n^{(2)}_k})}_k$ [/mm] 'zerlegen'", so dass
[mm] $$\big(x_{n^{(1)}_k}\big)^2 [/mm] < [mm] y_{n^{(1)}_k} \text [/mm] { und [mm] }\big(x_{n^{(2)}_k}\big)^2 \ge y_{n^{(2)}_k} \text{ für alle }k$$
[/mm]
gilt...
(Das Wort "zerlegen" meint, dass auch sowas gilt:
[mm] $$\{n^{(1)}_k: \;\;\;k \in \IN\} \cup^d \{n^{(2)}_k: \;\;\;k \in \IN\}=\IN\,.$$
[/mm]
Das [mm] $d\,$ [/mm] bei [mm] $\cup^d$ [/mm] deutet an, dass diese Vereinigung disjunkt ist!)
> > > Also partielle Ableitung
> >
> > jetzt aber nur an der Stelle [mm](0,0)[/mm]?
> >
> > > hätte ich:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] (0,0) = 0
> >
> > Rechnung dazu? Das stimmt!
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f((0,0) + h(1,0)) - f(0,0)}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)) - f(0,0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0))}{h} \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{0}{h}[/mm]
> = 0
> >
> > > und
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] (0,0) = 1 ?
> >
> > Ich kann Dir - ohne nachzudenken, sagen, dass das nicht
> > stimmen kann:
> > [mm]\lim_{(0 \not=)\;\;h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}[/mm]
> >
> So hatte ich das auch. Und f(0,h) = h - 0 = 0. Und daraus
> würde doch h/h = 1 folgen ?
>
> Stimmt, wir betrachten h [mm]\to[/mm] 0-, dann folgt daraus y <
> [mm]x^{2}[/mm] und rechtsseitiger und linkseiter Grenzwert stimmen
> nicht überein.
Eben:
[mm] $\lim_{0 > h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{0 > h \to 0}0=0 \not=1=\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 So 12.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Auf welchen Satz bezieht ihr euch bei der Rechnung mit den unterschiedlichen Grenzwerten und der Schlussfolgerung?>
> Wenn ich das gleiche mit [mm]{((2,4-\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN}[/mm]
> rechne, komme ich dann auf den Widerspruch.
> Und daraus kann ich dann schlussfolgern, dass f(x,y) nicht
> stetig ist ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Auf welchen Satz bezieht ihr euch bei der Rechnung mit den
> unterschiedlichen Grenzwerten und der Schlussfolgerung?>
>
> > Wenn ich das gleiche mit [mm]{((2,4-\tfrac{1}{n}))}_{n \in \IN}[/mm]
> > rechne, komme ich dann auf den Widerspruch.
> > Und daraus kann ich dann schlussfolgern, dass f(x,y) nicht
> > stetig ist ?
der Inhalt ist:
Es ist [mm] $f(2,4-\tfrac{1}{n})=0 \to [/mm] 0 [mm] \not=2=4-2=f(2,4)\,.$ [/mm] Also kann [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle $(2,4)$
NICHT stetig sein, und damit ist [mm] $f\,$ [/mm] (insgesamt) nicht stetig!
(Der Widerspruch, der da erwähnt wird, ist so zu verstehen: Wäre [mm] $f\,$ [/mm] stetig
an [mm] $(2,4)\,,$ [/mm] so müsste auch [mm] $f(2,4-\tfrac{1}{n}) \to [/mm] 2=f(2,4)$ gelten...)
Gruß.
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 So 12.05.2013 | | Autor: | lol13 |
> D.h., wenn Du Dir den $ [mm] \IR^2 [/mm] $ mal mithilfe der Normalparabel einteilst in den
> Bereich, der "komplett 'unterhalb' dieser Normalparabel > verläuft", so weißt
> Du schonmal, dass $ [mm] f\, [/mm] $ dort komplett die Nullfunktion > ist. 'Oberhalb' der
> Parabel (OHNE DIE PARABELLINIE!) ist $ [mm] f\, [/mm] $ (auch) stetig und hat in diesem Bereich
> die obigen partiellen Ableitungen. AUF DER PARABELLINIE > ist $ [mm] f\, [/mm] $ jedenfalls
> unstetig; Du musst Dich trotzdem nochmal drum kümmern, wie es mit der
> Existenz und dann ggf. dem Wert der entsprechenden partiellen Ableitung
> für einen Punkt der Parabellinie aussieht!
Wie kommt man jetzt auf die Stetigkeit in den Fällen [mm] y>x^2 [/mm] und [mm] y
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 12.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > D.h., wenn Du Dir den [mm]\IR^2[/mm] mal mithilfe der Normalparabel
> einteilst in den
> > Bereich, der "komplett 'unterhalb' dieser Normalparabel
> > verläuft", so weißt
> > Du schonmal, dass [mm]f\,[/mm] dort komplett die Nullfunktion >
> ist. 'Oberhalb' der
> > Parabel (OHNE DIE PARABELLINIE!) ist [mm]f\,[/mm] (auch) stetig
> und hat in diesem Bereich
> > die obigen partiellen Ableitungen. AUF DER PARABELLINIE
> > ist [mm]f\,[/mm] jedenfalls
> > unstetig; Du musst Dich trotzdem nochmal drum kümmern,
> wie es mit der
> > Existenz und dann ggf. dem Wert der entsprechenden
> partiellen Ableitung
> > für einen Punkt der Parabellinie aussieht!
>
> Wie kommt man jetzt auf die Stetigkeit in den Fällen [mm]y>x^2[/mm]
> und [mm]y
man kommt sogar auf Stetigkeit für $y > [mm] x^2\,,$ [/mm] $y < [mm] x^2$ [/mm] und [mm] $x=y=0\,.$ [/mm] Überleg' Dir
das dochmal selber - bzw. wenn Du es nicht hinbekommst: Welchen
Stetigkeitsbegriff verwendest Du? (Kennst Du auch den Satz, dass
Stetigkeit mit Folgenstetigkeit charakterisiert werden kann bei Funktionen
zwischen metrischen Räumen? Mit diesem Satz und Kenntnissen über
Rechenregeln für konvergente Folgen bist Du im Falle $y > [mm] x^2$ [/mm] schnell
fertig, und im Falle $y < [mm] x^2$ [/mm] brauchst Du noch nicht mal wirklich diese
Rechenregeln...)
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > > D.h., wenn Du Dir den [mm]\IR^2[/mm] mal mithilfe der Normalparabel
> > einteilst in den
> > > Bereich, der "komplett 'unterhalb' dieser
> Normalparabel
> > > verläuft", so weißt
> > > Du schonmal, dass [mm]f\,[/mm] dort komplett die Nullfunktion
> >
> > ist. 'Oberhalb' der
> > > Parabel (OHNE DIE PARABELLINIE!) ist [mm]f\,[/mm] (auch)
> stetig
> > und hat in diesem Bereich
> > > die obigen partiellen Ableitungen. AUF DER
> PARABELLINIE
> > > ist [mm]f\,[/mm] jedenfalls
> > > unstetig; Du musst Dich trotzdem nochmal drum
> kümmern,
> > wie es mit der
> > > Existenz und dann ggf. dem Wert der entsprechenden
> > partiellen Ableitung
> > > für einen Punkt der Parabellinie aussieht!
> >
> > Wie kommt man jetzt auf die Stetigkeit in den Fällen [mm]y>x^2[/mm]
> > und [mm]y
>
> man kommt sogar auf Stetigkeit für [mm]y > x^2\,,[/mm] [mm]y < x^2[/mm] und
> [mm]x=y=0\,.[/mm] Überleg' Dir
> das dochmal selber - bzw. wenn Du es nicht hinbekommst:
> Welchen
> Stetigkeitsbegriff verwendest Du? (Kennst Du auch den
> Satz, dass
> Stetigkeit mit Folgenstetigkeit charakterisiert werden
> kann bei Funktionen
> zwischen metrischen Räumen? Mit diesem Satz und
> Kenntnissen über
> Rechenregeln für konvergente Folgen bist Du im Falle [mm]y > x^2[/mm]
> schnell
> fertig, und im Falle [mm]y < x^2[/mm] brauchst Du noch nicht mal
> wirklich diese
> Rechenregeln...)
>
> Gruß,
> Marcel
Mal so nebenbei gefragt: Woher weiß man eigentlich, ob bzw. wann eine partielle Ableitung (in einem Punkt) existiert?
Und: Kann man diese oben genannten Fälle dann auch mit der weiter oben, von dir genannten, Punktfolge betrachten?
Mir fehlt hier leider gerade etwas der Überblick.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mal so nebenbei gefragt: Woher weiß man eigentlich, ob
> bzw. wann eine partielle Ableitung (in einem Punkt)
> existiert?
nachrechnen, so, wie Du es bei jeder anderen Grenzwertaufgabe tust.
> Und: Kann man diese oben genannten Fälle dann auch mit der
> weiter oben, von dir genannten, Punktfolge betrachten?
Welche? Du musst schon konkret(er) fragen!
> Mir fehlt hier leider gerade etwas der Überblick.
Sortiere das Chaos und stelle gezielte Fragen. So macht das etwas wenig
Sinn (ist nicht böse gemeint, aber Du stellst einerseits sehr allgemeine
Fragen, für die die Antwort nur verständlich ist, wenn Du das entsprechende
(Vor-)Wissen hast! Und zum anderen stellst Du irgendwelche Fragen, wo
ich nun erraten soll, was Du meinst oder worauf Du Dich da beziehst?!
Das ist ein etwas sinnloses Unterfangen...)
Gruß,
Marcel
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