Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die durch [mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix}{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}, & \mbox {wenn } (x,y)\ne 0 \\0, & \mbox {wenn}(x,y)=0
\end{matrix}\right.
[/mm]
definierte Abbildung [mm] f:\IR\(^2 \to\IR\ [/mm] überall stetig? |
Meine Idee:
Da Zusammensetzungen stetiger Funktionen wieder stetig sind, sind jeweils die einzelnen Abbildungen stetig. Um zu zeigen, dass sie auch am Punkt 0 stetig sind, bzw um zu gucken, ob sie es denn sind, müssen wir den Grenzwert von [mm] {|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2} [/mm] bilden, der 0 sein müsste, damit die Abbildung stetig wäre, richtig?
Wie finde ich diesen Limes? Ich habe schon versucht, den Bruch mit [mm] 1/y^3 [/mm] zu erweitern oder auch schon mit der dritten binomischen Formel gearbeitet, aber da sowohl das x als auch das y gegen Null läuft, komme ich nicht weiter :(
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Ciao Signor(in)a Balotelli,
das ist noch nicht das ganze Problem...
> Ist die durch
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix}{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}, & \mbox {wenn } (x,y)\ne 0 \\0, & \mbox {wenn}(x,y)=0
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> definierte Abbildung [mm]f:\IR\(^2 \to\IR\[/mm] überall stetig?
> Meine Idee:
> Da Zusammensetzungen stetiger Funktionen wieder stetig
> sind, sind jeweils die einzelnen Abbildungen stetig.
Tja, wenn die Teile, die da zusammengesetzt werden, stetig sind, stimmt das (mit ein paar Ausnahmen, z.B. Teilung durch 0, die hier ja ausgeschlossen ist).
Nur sind weder [mm] g(x)=\wurzel[3]{|x|} [/mm] noch [mm] h(x)=\wurzel{|x|} [/mm] stetig in [mm] x_0=0.
[/mm]
(edit) argggh... Natürlich hat Marcel Recht. Diese beiden Funktionen sind im Nullpunkt nicht differenzierbar; stetig sind sie schon. Sorry.
> Um zu
> zeigen, dass sie auch am Punkt 0 stetig sind, bzw um zu
> gucken, ob sie es denn sind, müssen wir den Grenzwert von
> [mm]{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}[/mm] bilden, der 0 sein
> müsste, damit die Abbildung stetig wäre, richtig?
>
> Wie finde ich diesen Limes? Ich habe schon versucht, den
> Bruch mit [mm]1/y^3[/mm] zu erweitern oder auch schon mit der
> dritten binomischen Formel gearbeitet, aber da sowohl das x
> als auch das y gegen Null läuft, komme ich nicht weiter :(
Der Grenzwert existiert ja nur, wenn er auf allen möglichen Wegen nach (0;0) gleich ist. Versuch also z.B. mal $x=y$ und $x=-y$ oder [mm] x=y^3, [/mm] einmal für negative y, einmal für positive.
In all diesen Fällen reduzierst Du das Grenzwertproblem auf eine Variable.
Aber Vorsicht: das sind nur vier mögliche Annäherungen an (0;0).
Fang trotzdem mal damit an.
Grüße
reverend
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> Ciao Signor(in)a Balotelli,
>
> das ist noch nicht das ganze Problem...
>
> > Ist die durch
> >
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix}{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}, & \mbox {wenn } (x,y)\ne 0 \\0, & \mbox {wenn}(x,y)=0
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> >
> > definierte Abbildung [mm]f:\IR\(^2 \to\IR\[/mm] überall stetig?
> > Meine Idee:
> > Da Zusammensetzungen stetiger Funktionen wieder stetig
> > sind, sind jeweils die einzelnen Abbildungen stetig.
>
> Tja, wenn die Teile, die da zusammengesetzt werden, stetig
> sind, stimmt das (mit ein paar Ausnahmen, z.B. Teilung
> durch 0, die hier ja ausgeschlossen ist).
>
> Nur sind weder [mm]g(x)=\wurzel[3]{|x|}[/mm] noch [mm]h(x)=\wurzel{|x|}[/mm]
> stetig in [mm]x_0=0.[/mm]
Kann ich dann nicht hier schon aufhören und sagen, dass dann auch die ganze Abbildung nicht überall stetig ist?
>
> > Um zu
> > zeigen, dass sie auch am Punkt 0 stetig sind, bzw um zu
> > gucken, ob sie es denn sind, müssen wir den Grenzwert
> von
> > [mm]{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}[/mm] bilden, der 0 sein
> > müsste, damit die Abbildung stetig wäre, richtig?
> >
> > Wie finde ich diesen Limes? Ich habe schon versucht,
> den
> > Bruch mit [mm]1/y^3[/mm] zu erweitern oder auch schon mit der
> > dritten binomischen Formel gearbeitet, aber da sowohl
> das x
> > als auch das y gegen Null läuft, komme ich nicht weiter
> :(
>
> Der Grenzwert existiert ja nur, wenn er auf allen
> möglichen Wegen nach (0;0) gleich ist. Versuch also z.B.
> mal [mm]x=y[/mm] und [mm]x=-y[/mm] oder [mm]x=y^3,[/mm] einmal für negative y, einmal
> für positive.
> In all diesen Fällen reduzierst Du das Grenzwertproblem
> auf eine Variable.
> Aber Vorsicht: das sind nur vier mögliche Annäherungen
> an (0;0).
>
> Fang trotzdem mal damit an.
ich hab das ganze Mal für [mm] x=y^3 [/mm] für y >0 und y <0 gemacht. dann lautet der Restterm für y>0:
[mm] \limes_{y \to \ 0}=\bruch{y^2}{1+\wurzel{1/y}}
[/mm]
Somit würde der Nenner gegen Unendlich streben und der Zähler gegen Null, wodurch das Ganze gegen Null strebt. Das ist also ein Fall, bei dem der Grenzwert Null wäre. Wie kamst du denn auf die verschiedenen Möglichkeiten x=y , x=-y und [mm] x=y^3? [/mm] und wieviel solche Möglichkeiten müsste man insgesamt durchgehen, damit man eine Aussage über die Stetigkeit machen kann?
>
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
reverend hat sich da vertan:
> > Ciao Signor(in)a Balotelli,
> >
> > das ist noch nicht das ganze Problem...
> >
> > > Ist die durch
> > >
> >
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix}{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}, & \mbox {wenn } (x,y)\ne 0 \\0, & \mbox {wenn}(x,y)=0
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> >
> > >
> > > definierte Abbildung [mm]f:\IR\(^2 \to\IR\[/mm] überall
> stetig?
> > > Meine Idee:
> > Nur sind weder [mm]g(x)=\wurzel[3]{|x|}[/mm] noch [mm]h(x)=\wurzel{|x|}[/mm]
> > stetig in [mm]x_0=0.[/mm]
Das sind stetige Funktionen. Sie sind zwar nicht diff'bar in [mm] $x_0=0\,,$ [/mm] aber das
interessiert uns hier doch gar nicht...
> Kann ich dann nicht hier schon aufhören und sagen, dass
> dann auch die ganze Abbildung nicht überall stetig ist?
Das könntest Du nicht: [mm] $\text{sign}(x)$ [/mm] ist unstetig in [mm] $x_0=0\,,$ [/mm] aber
[mm] $$g(x):=\text{sign}(x)*|x|=x\,$$ [/mm] ist stetig.
> > > Um zu
> > > zeigen, dass sie auch am Punkt 0 stetig sind, bzw um
> zu
> > > gucken, ob sie es denn sind, müssen wir den
> Grenzwert
> > von
> > > [mm]{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}[/mm] bilden, der 0 sein
> > > müsste, damit die Abbildung stetig wäre, richtig?
Richtig, bzw. fast richtig: Es kann ja auch sein, dass dieser Limes gar nicht
existiert! (Und beachte, dass $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ genau dann, wenn simultan $x [mm] \to [/mm] 0$ und $y [mm] \to 0\,.$)
[/mm]
> > > Wie finde ich diesen Limes?
Hier hilft (die folgende Rechnung geht nur für $xy [mm] \not=0$)
[/mm]
[mm] $$\left|{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}\right|=\frac{1}{\frac{|x|^{1/2}+y^2}{|x|^{1/3}*|y|^3}}=\frac{1}{\frac{|x|^{1/6}}{|y|^3}+\frac{1}{|y|*|x|^{1/3}}} \le \frac{1}{\frac{1}{|y|*|x|^{1/3}}}=|y|*|x|^{1/3}\,,$$
[/mm]
und natürlich ist
[mm] $$\left|{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}\right|=0$$
[/mm]
falls [mm] $x=0\,$ [/mm] oder [mm] $y=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Du kannst Dir übrigens hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter3d.htm
mit der Eingabe
z=abs(x)^(1/3)*y^3/(abs(x)^(1/2)+y^2)
den Graphen plotten lassen (der ist an der Stelle (0,0) natürlich undefiniert).
Dann siehst Du im Wesentlichen die Stetigkeit, und durch dieses "Knickverhalten"
erkennt man "Nicht-Diffbarkeit", an die reverend wohl gedacht hatte...
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> > > > Wie finde ich diesen Limes?
>
> Hier hilft (die folgende Rechnung geht nur für [mm]xy \not=0[/mm])
>
> [mm]\left|{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}\right|=\frac{1}{\frac{|x|^{1/2}+y^2}{|x|^{1/3}*|y|^3}}=\frac{1}{\frac{|x|^{1/6}}{|y|^3}+\frac{1}{|y|*|x|^{1/3}}} \le \frac{1}{\frac{1}{|y|*|x|^{1/3}}}=|y|*|x|^{1/3}\,,[/mm]
Ok, das heißt ab hier wende ich den limes an und lasse x und y gegen Null laufen, das heißt der limes von [mm] |y|*|x|^{1/3} [/mm] ist Null. Somit wäre die Abbildung überall stetig.
Ich hab das ganze jetzt mal im 3D-Plotter zeichnen lassen (danke für den Tipp  ) und an der Stelle f(0,0) ist die Abbildung farbig. Das ist die Stelle, an der f nicht differenzierbar ist, habe ich das richtig verstanden?
> und natürlich ist
> [mm]\left|{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}\right|=0[/mm]
> falls [mm]x=0\,[/mm] oder [mm]y=0\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Danke =)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > > Wie finde ich diesen Limes?
> >
> > Hier hilft (die folgende Rechnung geht nur für [mm]xy \not=0[/mm])
>
> >
> >
> [mm]\left|{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}\right|=\frac{1}{\frac{|x|^{1/2}+y^2}{|x|^{1/3}*|y|^3}}=\frac{1}{\frac{|x|^{1/6}}{|y|^3}+\frac{1}{|y|*|x|^{1/3}}} \le \frac{1}{\frac{1}{|y|*|x|^{1/3}}}=|y|*|x|^{1/3}\,,[/mm]
>
> Ok, das heißt ab hier wende ich den limes an und lasse x
> und y gegen Null laufen, das heißt der limes von
> [mm]|y|*|x|^{1/3}[/mm] ist Null. Somit wäre die Abbildung überall
> stetig.
Genau: Du erhältst [mm] $\lim_{(x,y) \to (0,0)}|f(x,y)|=0$ [/mm] und damit auch [mm] $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=0\,.$
[/mm]
> Ich hab das ganze jetzt mal im 3D-Plotter zeichnen lassen
> (danke für den Tipp ) und an der Stelle f(0,0) ist die
> Abbildung farbig.
?? Du siehst den Graphen, also Punkte [mm] $(\underbrace{(x,y)}_{\in \IR^2},\underbrace{f(x)}_{\in \IR})\,,$ [/mm] die Du mit
[mm] $(x,y,f(x))\,$ [/mm] identifizierst. (Ist Dir das klar? Wenn man sagt, dass man eine
Funktion $g [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] skizziert, dann skizziert man den Graphen von [mm] $g\,,$
[/mm]
also die Menge [mm] $\{(x,g(x)):\;\;x \in \IR\} \subseteq \IR^2\,.$ [/mm] Bei dem Plot einer Funktion [mm] $\IR^2 \to \IR$
[/mm]
ist der Graph entsprechend eine Teilmenge von [mm] $\IR^3\,.$)
[/mm]
Bei dem Plot gibt es "eine weiße Lücke", diese entsteht, weil ich ja nur die
Definition hingeschrieben habe, die für [mm] $(x,y)=(0,0)\,$ [/mm] keinen Sinn macht.
So grob: "Der Plotter kann mit [mm] $z=z(x,y):={|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}$ [/mm] für [mm] $x=y=0\,$ [/mm] nichts anfangen,
er kann also auch keinen Punkt [mm] $(0,0,z(0,0))\,$ [/mm] einzeichnen, weil [mm] $z(0,0)\,$ [/mm] für ihn
keinen Sinn macht". Der geplottete Graph ist also nicht ganz der Graph
Deiner Funktion, sondern der Graph Deiner Funktion eingeschränkt auf
[mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}\,.$ [/mm] Und diese Definitionslücke siehst Du halt auch im Plot:
Projeziert man die Lücke "dieser Fläche" auf die xy-Ebene, so sollten wir
genau die Stelle [mm] $(0,0)\,$ [/mm] der xy-Ebene treffen!
Wenn Du das Ding aber drehst, solltest Du sehen: Die Funktionswerte
[mm] $z(x,y)\,$ [/mm] liegen nahe an der $xy$-Ebene, wenn [mm] $(x,y)\,$ [/mm] eine sehr
kleine Norm hat. das deutet darauf hin, dass unser Ergebnis passt.
Wenn Du willst: Lass' Dir mal $|f(x,y)|$ plotten und dann plotte auch $(x,y) [mm] \mapsto |y|*|x|^{1/3}$ [/mm] und
vergleiche diese Plots!
> Das ist die Stelle, an der f nicht
> differenzierbar ist, habe ich das richtig verstanden?
Nein, über Diff'barkeit an [mm] $(0,0)\,$ [/mm] haben wir uns keine Gedanken gemacht.
Diese "Fläche", die Du siehst, hat aber quasi "Knicklinien" - erkennst Du die?
An jeder Stelle einer solchen "Knicklinie" wird wohl kein Diff'barkeit vorherrschen...
Aber ich verlasse mich eh nie auf Anschauung: Anschauung liefert nur
eine gewisse Intuition. Manchmal interpretiert man da zu viel, manchmal
zu wenig rein. Immer lieber auf Nummer sicher gehen und nachrechnen
respektive beweisen oder widerlegen!
> > und natürlich ist
> > [mm]\left|{|x|^{1/3}*y^3\over|x|^{1/2}+y^2}\right|=0[/mm]
> > falls [mm]x=0\,[/mm] oder [mm]y=0\,.[/mm]
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke =)
Gerne!
P.S. Du musst bei dem Plotter nach Eingabe der Funktion auch auf "plotten"
klicken. Ich weiß, es ist selbstverständlich, manchmal sagt man es aber zur
Sicherheit dennoch besser noch einmal!
P.P.S. Die "weiße Lücke im Plot" ist an der Stelle [mm] $(0,0,0)\,$ [/mm] des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Würde
ich z(x,y)=abs(x)^(1/3)*y^3/(abs(x)^(1/2)+y^2)+5 plotten lassen, so wäre sie
an der Stelle $(0,0,5) [mm] \in \IR^3\,.$ [/mm] (Die dritte Koordinate kann ich hier auch nur deshalb
hinschreiben, weil wir die Stetigkeit der obigen Funktion an der Stelle [mm] $(0,0)\,$
[/mm]
ja nachgewiesen haben. Ansonsten könnte ich nur sagen: Es wird keinen
sichtbaren Punkt [mm] $(0,0,z(0,0))\,$ [/mm] geben, weil es [mm] $z(0,0)\,$ [/mm] nicht gibt...)
Mach' Dir das am Besten klar!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:12 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi reverend,
> Nur sind weder [mm]g(x)=\wurzel[3]{|x|}[/mm] noch [mm]h(x)=\wurzel{|x|}[/mm]
> stetig in [mm]x_0=0.[/mm]
beide Funktionen SIND stetig:
[mm] $\lim_{x \to 0}\sqrt[k]{|x|}=0$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Das ist doch selbst eine
Funktion, die Verkettung stetiger Funktionen ist.
Du bist hier gedanklich sicher in Differenzierbarkeit gesprungen...
Gruß,
Marcel
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