Stetigkeit - Urbilder < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mi 22.05.2013 | | Autor: | gpw |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \mbox{<= 0} \\ x^2, & \mbox{für } x \mbox{> 0} \end{cases}
[/mm]
nicht stetig durch Betrachtung der Urbilder offener Mengen |
Hallo zusammen,
ich möchte wissen ob meine Lösugn für die Aufgabe oben richtig ist:
Wähle O = [mm] (\frac{1}{2},4) [/mm] (offen), dann ist [mm] f^{-1}(O) [/mm] = [mm] (-\frac{1}{2},9] \cup [/mm] [1,2) (nicht offen)
[mm] \Rightarrow [/mm] f nicht stetig
Ist dies so korrekt?
Viele Grüße
gpw
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Hallo,
beim Posten der Aufgabenstellung scheint etwas schiefgegangen zu sein.
Korrigier das mal.
Dein Urbild scheint mir mit der Funktion nichts zu tun zu haben.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mi 22.05.2013 | | Autor: | gpw |
Nein, die Aufgabenstellung ist korrekt. Das Urbild habe ich so gewählt und möchte wissen ob dies korrekt ist?
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Hallo,
nun, zumindest bei der Formulierung der Aufgabe in zusammenhängenden Sätzen ist etwas gründlich schiefgelaufen.
Wenn das Intervall [$ [mm] (-\frac{1}{2},9] \cup [/mm] $] [1,2) das Urbild von [$ [mm] (\frac{1}{2},4) [/mm] $] sein soll,
dann muß ja [mm] f((-\frac{1}{2},9] \cup [/mm] [1,2))= [mm] (\frac{1}{2},4) [/mm] ] sein, und daran habe ich große Zweifel,
denn es ist ja z.B. f(9)=81 und f(8)=64.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 22.05.2013 | | Autor: | gpw |
Okay, jetzt fallen mir zwei Dinge auf. Die Formulierung klingt komisch, aber es dürfte klar sein was gemeint ist, nämlich zu zeigen das f(x) nicht stetig ist.
Und hier hat sie ein Fehler eingeschlichen, dass sollte 0 und nicht 9 heißen:
Wähle O = [mm](\frac{1}{2},4)[/mm] (offen),
dann ist [mm]f^{-1}(O)[/mm] = [mm](-\frac{1}{2},0] \cup [/mm] [1,2) (nicht offen)[mm]\Rightarrow[/mm] f nicht stetig
Ist es dann richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Okay, jetzt fallen mir zwei Dinge auf. Die Formulierung
> klingt komisch,
Ja?
> Gegeben sei die Funktion f: $ [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] $ mit
> $ [mm] f(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \mbox{<= 0} \\ x^2, & \mbox{für } x \mbox{> 0} \end{cases} [/mm] $
> nicht stetig durch Betrachtung der Urbilder offener Mengen
Das finde ich nicht gänzlich - man sollte ein "Zeige, dass sie nicht stetig ist
durch..." draus machen... Aber das meintet Ihr wahrscheinlich!
> aber es dürfte klar sein was gemeint ist,
> nämlich zu zeigen das f(x) nicht stetig ist.
Eigentlich heißt die Funktion [mm] $f\,,$ [/mm] auch, wenn man oft auch von der Funktion
[mm] $f(x)\,$ [/mm] redet...
> Und hier hat sie ein Fehler eingeschlichen, dass sollte 0
> und nicht 9 heißen:
>
> Wähle O = [mm](\frac{1}{2},4)[/mm] (offen),
> dann ist [mm]f^{-1}(O)[/mm] = [mm](-\frac{1}{2},0] \cup[/mm] [1,2) (nicht
> offen)[mm]\Rightarrow[/mm] f nicht stetig
>
>
> Ist es dann richtig?
Ich sehe hier
[mm] $$f^{-1}{(}\;(\tfrac{1}{2},\;4)\;{)}=(-\tfrac{1}{2},\;0\blue{\;\text{]}\;}\cup(\red{\;\tfrac{1}{\sqrt{2}\;}},\;2)\,.$$
[/mm]
(Kann aber auch sein, dass ich mich verrechnet habe...)
Und dass Deine Menge nicht stimmen kann: Es ist doch [mm] $(\tfrac{4}{5})^2=\tfrac{16}{25} \in (\tfrac{1}{2},\;4)\,,$
[/mm]
also [mm] $f(\tfrac{4}{5})=\tfrac{16}{25} \in (\tfrac{1}{2},\;4)\,,$ [/mm] aber [mm] $\tfrac{4}{5} \notin (-\tfrac{1}{2},0] \cup [1,2)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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