Stetigkeit 3 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen.
Es sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig, und f habe einen 2-periodischen Punkt (das ist ein x [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(x) [mm] \in [/mm] [a,b] und f(f(x))=x). Man zeige, dass f einen Fixpunkt hat.
Kann mir jemand einen ersten Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: nimm an, f habe keinen Fixpunkt. Wegen der Stetigkeit von kannst du annehmen, dass dann
f(x) -x >0
ist für x [mm] \in [/mm] [a,b]
FRED
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Kann ich die Aufgabe folgendermaßen beantworten:
Sei M:={x [mm] \in [/mm] [a,b] ; x [mm] \le [/mm] f(x) }. Wegen a [mm] \in [/mm] M ist M nicht leer. Wegen M [mm] \subset [/mm] [a,b] ist M beschränkt. Also existiert c:= sup M. Sicherlich c [mm] \in [/mm] [a,b] und daher auch f(c) [mm] \in [/mm] [a,b].
Beh.: c ist Fixpunkt von f, d.h. f(c)=c.
Annahme: f(c) > c. Dann existiert ein x mit a [mm] \le [/mm] c < x < f(c) [mm] \le [/mm] b. Da f monoton wächst, gilt f(c) [mm] \le [/mm] f(x), also x < f(x). Also ist auch x [mm] \in [/mm] M.
Widerspruch zu c= sup M.
Annahme: f(c) < c. Wegen c:= sup M gibt es ein x [mm] \in [/mm] M mit f(c) < x [mm] \le [/mm] c. Da x [mm] \in [/mm] M gilt x [mm] \le [/mm] f(x), also f(c) < f(x). Widerspruch zum monotonen Wachsen von f.
Nach dem Trichotomiegesetz muss also f(c) = c sein.
Fertig.
Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Kann ich die Aufgabe folgendermaßen beantworten:
>
> Sei M:={x [mm]\in[/mm] [a,b] ; x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(x) }. Wegen a [mm]\in[/mm] M ist M
Wieso ist f(a) [mm] \ge [/mm] a ???
> nicht leer. Wegen M [mm]\subset[/mm] [a,b] ist M beschränkt. Also
> existiert c:= sup M. Sicherlich c [mm]\in[/mm] [a,b] und daher auch
> f(c) [mm]\in[/mm] [a,b].
Wieso ist f(c) [mm]\in[/mm] [a,b] ?
>
> Beh.: c ist Fixpunkt von f, d.h. f(c)=c.
>
> Annahme: f(c) > c. Dann existiert ein x mit a [mm]\le[/mm] c < x <
> f(c) [mm]\le[/mm] b. Da f monoton wächst,
Wer sagt, dass f monoton wächst ?
> gilt f(c) [mm]\le[/mm] f(x), also
> x < f(x). Also ist auch x [mm]\in[/mm] M.
> Widerspruch zu c= sup M.
>
> Annahme: f(c) < c. Wegen c:= sup M gibt es ein x [mm]\in[/mm] M mit
> f(c) < x [mm]\le[/mm] c. Da x [mm]\in[/mm] M gilt x [mm]\le[/mm] f(x), also f(c) <
> f(x). Widerspruch zum monotonen Wachsen von f.
>
> Nach dem Trichotomiegesetz muss also f(c) = c sein.
>
> Fertig.
>
> Geht das so?
nein und nochmal nein ! Meine Kritikpunkte: s.o.
Weiter hast Du die Vor. über einen 2 periodischen Punkt nicht verwendet.
So kann das nichts werden
FRED
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Leider war das meine einzige Idee. Wäre hier jemand bereit mir zur Lösung zu verhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast also ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] mit
[mm] f(x_0) \in [/mm] [a,b] und [mm] f(f(x_0)) [/mm] = [mm] x_0
[/mm]
Nimm mal an, f habe keinen Fixpunkt. Dann ist f(x) -x [mm] \not= [/mm] 0 für jedes x [mm] \in [/mm] [a,b]
Wegen der Stetigkeit von f können wir
(*) f(x) -x >0 für jedes x [mm] \in [/mm] [a,b]
annehmen (ist Dir klar , warum ?)
In (*) setze mal [mm] x:=f(x_0) [/mm] und schau, dass Du zu einem Widerspruch kommst.
FRED
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Mir ist leider nicht klar, wieso -x > 0 ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Mir ist leider nicht klar, wieso -x > 0 ist
Das hat auch niemand gesagt ! Es ist
f(x)-x >0 für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ [a,b]
Deutlicher:
$ f(x) -x >0$ für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ [a,b]
FRED
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Entschuldige bitte vielmals, aber ich verstehe überhaupt nicht, wieso f(x) - x > 0 sein muss
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> Entschuldige bitte vielmals, aber ich verstehe überhaupt
> nicht, wieso f(x) - x > 0 sein muss
Hallo,
was gilt denn, wenn f einen Fixpunkt hat? (Def. von "Fixpunkt"?)
Das solltest Du nun erstmal hinschreiben.
So, und wenn f nun keinen Fixpunkt hat?
Gruß v. Angela
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Ich soll ja x:= f(xo) in:
f(x)-x>0 einsetzen, daraus würde doch folgen:
f(f(x0)) > f(xo) oder?
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> Ich soll ja x:= f(xo) in:
>
> f(x)-x>0 einsetzen, daraus würde doch folgen:
>
> f(f(x0)) > f(xo) oder?
Hallo,
ja, richtig.
Und? Was machst Du mit dieser Information?
Gruß v. Angela
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Ist noch jemand da der mir helfen möchte?
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Kann ich es so abgeben?
Voraussetzung: h(x) = f(x) - g(x)
h(x) = 0
daraus folgt, dass h(x) stetig ist, denn f(x) und g(x) sind laut Vor. stetig.
Widerspruchsbeweis:
Annahme: h(x) [mm] \not= [/mm] 0 und stetig
h(xo) = a a > 0 für einen Punkt xo
Jede [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung enthält mindestens eine rationale
Zahl
Widerspruch zu h(x) = 0 für alle rationalen Zahlen x
Geht das?
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wäre mein Widerspruch so in Ordnung?
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Warum antwortet mir denn niemand?
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Hallo,
von "keiner antwortet" kann nach weniger als zwei Stunden wirklich nicht die Rede sein. Was soll die Drängelei?
Abgesehen davon: während Du dies fragtest, war ich doch längst am Schreiben einer Antwort, was Du am gelben Kästchen sehen konntest.
Gruß v. Angela
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> Kann ich es so abgeben?
Hallo,
abgeben kann man auch 'n zusammengefaltete Serviette, als Antwort auf die gestellte Aufgabe taugt das, was Du schreibst, nicht.
Genauer: ich entdecke so gut wie keinen Zusammenhang zu Deiner Aufgabe.
Das ist etwas schade, denn Fred hat Dir schon gesagt, wie man es machen kann, Du müßtest nun bloß noch alles zusammenfügen.
Du bist leider auch gar nicht auf meine zuvor gestellte Frage nach dem Fixpunkt eingegangen.
Also von vorn:
man hat eine stetige Funktion [mm] f:[a,b]\to \IR [/mm] mit der Eigenschaft, daß es ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] gibt mit [mm] f(x_0)\in [/mm] [a,b] und [mm] f(f(x_0))=x_0.
[/mm]
Zeigen soll man, daß die Funktion einen Fixpunkt hat, dh., daß es ein [mm] x_f [/mm] gibt mit ...
Beweis:
Angenommen die Funktion f hat keinen Fixpunkt,
d.h. für alle [mm] x\in [/mm] [a,b] ist [mm] f(x)\not=x
[/mm]
Was folgt daraus für h(x):= f(x)-x ?
Mit dem Argument, welches Du in Deinem "Beweis" auch bringst, ist h stetig.
Kann es passieren, daß [mm] h(x_1)>0 [/mm] und [mm] h(x_2)<0 [/mm] ? Wenn nein, warum nicht?
Also ist entweder h(x)>0 oder h(x)<0 für alle [mm] x\in [/mm] [a,b].
1.Fall: h(x)=f(x)-x>0
Und nun, wie bereits gesagt, setze [mm] x=f(x_0) [/mm] ...
Was steht dann da? Entdeckst Du den Widerspruch?
2. Fall: h(x)<0 analog.
Gruß v. Angela
> Voraussetzung: h(x) = f(x) - g(x)
> h(x) = 0
> daraus folgt, dass h(x) stetig ist, denn f(x) und g(x) sind
> laut Vor. stetig.
Aha. Ich weiß zwar nach wie vor nicht, was g ist...
>
> Widerspruchsbeweis:
>
> Annahme: h(x) [mm]\not=[/mm] 0 und stetig
> h(xo) = a a > 0 für einen
> Punkt xo
>
> Jede [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung enthält mindestens eine
> rationale
> Zahl
> Widerspruch zu h(x) = 0 für alle
> rationalen Zahlen x
>
> Geht das?
>
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aus h(x) = f(x) - g(x) folgt, dass h(x)=0 ist
da f:[a,b] stetig ist, folgt:
f(x) - x > 0 x [mm] \in [/mm] [a,b]
setzt man dort nun x:= f(xo) ein, erhält man:
f(f(xo)) - f(xo) > 0
f(f(xo)) > f(xo)
Nehme ich nun an, dass f(xo) > xo ist, folgt daraus, dass
f(f(xo)) > xo ist.
Dies steht im Widerspruch zu der Voraussetzung:
f(f(x)) = x
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> aus h(x) = f(x) - g(x) folgt, dass h(x)=0 ist
???
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> da f:[a,b] stetig ist, folgt:
>
> f(x) - x > 0 x [mm]\in[/mm] [a,b]
Warum?
>
> setzt man dort nun x:= f(xo) ein, erhält man:
>
> f(f(xo)) - f(xo) > 0
>
> f(f(xo)) > f(xo)
>
> Nehme ich nun an, dass f(xo) > xo ist,
Woher kommt die Annahme?
> folgt daraus, dass
>
> f(f(xo)) > xo ist.
>
> Dies steht im Widerspruch zu der Voraussetzung:
>
> f(f(x)) = x
>
Um Klassen besser ist es jetzt.
Gruß v. Angela
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f(x) - x > o für x [mm] \in [/mm] [a,b], wegen der Stetigkeit von f- Laut Vor. ist f:[a,b] stetig.
f(xo) > xo, da f(x) - x > 0
f(x) > x , für xo gilt dann:
f(xo) > xo
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Entschuldigt. Ich kenne mich hier noch nicht so aus. Und habe auch nicht gesehen, dass schon jemand geantwortet hatte. Wurde gar nicht angezeigt. Hoffe meine Antwort stimmt nun zur Aufgabe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Alicia oder firsttransfer
offensichtlich schreibst du hier unter 2 namen und bringst dann deine verschiedenen fragen durcheinander. ich schlag vor du meldest einen Account ab.
Gruss leduart
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> f(x) - x > o für x [mm]\in[/mm] [a,b], wegen der Stetigkeit von f-
> Laut Vor. ist f:[a,b] stetig.
Hallo,
das Argument ist der ZWS.
Es muß übrigens nicht f(x) - x > 0 für alle x [mm]\in[/mm] [a,b] sein, das schreib ich ja in der Antwort, in der ich Dir den schönen Beweisrohling bereitgestellt hatte.
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> f(xo) > xo, da f(x) - x > 0
> f(x) > x
für alle x
> , für
> xo gilt dann:
> f(xo) > xo
Gruß v. Angela
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