Stetigkeit, Diff'barkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mi 02.03.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases}
ax^{3}+b, & \mbox{fuer } x \mbox{ <1} \\
lnx, & \mbox{fuer } x \mbox{ >=1}
\end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie a,b, [mm] \in \IR [/mm] so, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig und stetig differenzierbar ist. |
Brauche Unterstützung bei dieser Aufgabe, irgedwie komme ich nicht weiter.
Bei der Stetigkeit muss ich doch prüfen, ob die Grenzwerte beider Funktionen übereinstimmen:
Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 -} ax^{3}+b [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1-} [/mm] = a+b
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 +} [/mm] lnx = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1+} [/mm] = 1
Nun kann ich für die Stetigkeit mein a und b so bestimmen, dass beide Parameter zusammen eine Eins ergeben.
Ist es soweit richtig?
Nun muss ich noch auf "stetig differenzierbar" prüfen.
Aber ist es nicht das selbe?
Wie gehe ich da korrekt vor?
Ich habe mir gedacht beite Teilfunktionen einzeln ableiten und dann prüfen, ob der Granzwert ebenfalls übereeinstimmt.
Wäre diese Vorgehenweise in Ordnung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}
ax^{3}+b, & \mbox{fuer } x \mbox{ <1} \\
lnx, & \mbox{fuer } x \mbox{ >=1}
\end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie a,b, [mm]\in \IR[/mm] so, dass f auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig
> und stetig differenzierbar ist.
> Brauche Unterstützung bei dieser Aufgabe, irgedwie komme
> ich nicht weiter.
>
> Bei der Stetigkeit muss ich doch prüfen, ob die Grenzwerte
> beider Funktionen übereinstimmen:
> Stetigkeit:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 -} ax^{3}+b[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1-}[/mm] = a+b
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 +}[/mm] lnx = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1+}[/mm]
> = 1
Das ist falsch: ln(1)=0
>
> Nun kann ich für die Stetigkeit mein a und b so bestimmen,
> dass beide Parameter zusammen eine Eins ergeben.
Nein. Richtig: a+b=0
> Ist es soweit richtig?
>
> Nun muss ich noch auf "stetig differenzierbar" prüfen.
> Aber ist es nicht das selbe?
Unfug !. "Stetig differenzierbar" bedeutet: differenzierbar und Ableitung stetig.
>
> Wie gehe ich da korrekt vor?
> Ich habe mir gedacht beite Teilfunktionen einzeln ableiten
> und dann prüfen, ob der Granzwert ebenfalls
> übereeinstimmt.
> Wäre diese Vorgehenweise in Ordnung?
Ja
Für x<1 ist f'(x)= [mm] 3ax^2 [/mm] und für x>1 ist f'(x)=1/x
So, nun gehe vor , wie Du es gesagt hast
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mi 02.03.2011 | | Autor: | zoj |
So, nochmal richtig hingeschrieben:
[mm] f(x)=\begin{cases} ax^{3}+b, & \mbox{fuer } x \mbox{ <1} \\ lnx, & \mbox{fuer } x \mbox{ >=1} \end{cases} [/mm]
Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 -} ax^{3}+b [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1-} [/mm] = a+b
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 +} [/mm] lnx = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1+} [/mm] = 0
=> 0 = a+b
Stetige Differenzierbarkeit:
[mm] f'(x)=\begin{cases} 3ax^{2}, & \mbox{fuer } x \mbox{ <1} \\ \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \mbox{ >=1} \end{cases} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 -} 3ax^{2} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1-} [/mm] = 3a
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 +} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1+} [/mm] = 1
=> 1 = 3a
a = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
aus der Bedingung für Stetigkeit folgt:
0 = a+b
0 = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] +b
b = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> So, nochmal richtig hingeschrieben:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} ax^{3}+b, & \mbox{fuer } x \mbox{ <1} \\ lnx, & \mbox{fuer } x \mbox{ >=1} \end{cases}[/mm]
> Stetigkeit:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 -} ax^{3}+b[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1-}[/mm] = a+b
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 +}[/mm] lnx = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1+}[/mm]
> = 0
> => 0 = a+b
>
> Stetige Differenzierbarkeit:
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 3ax^{2}, & \mbox{fuer } x \mbox{ <1} \\ \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \mbox{ >=1} \end{cases}[/mm]
Hier besser "x>1"
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 -} 3ax^{2}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1-}[/mm]
> = 3a
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 +} \bruch{1}{x}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1+}[/mm] = 1
> => 1 = 3a
> a = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> aus der Bedingung für Stetigkeit folgt:
> 0 = a+b
> 0 = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] +b
> b = [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Mi 02.03.2011 | | Autor: | zoj |
Super, danke für die Hilfe
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