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Stetigkeit Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Sa 19.09.2020
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich aktuell mit Funktionen f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] und habe folgende Fragen bzgl. des Zusammenhangs der Eigenschaften
1.) Stetigkeit
2.) partiell differenzierbar (also nach x und nach y differenzierbar)
3.) es existieren alle Richtungsableitungen
4.) total differenzierbar
5.) stetig partiell differenzierbar

Mir geht es darum zu verstehen, aus welchen der 5 Eigenschaften andere dieser Eigenschaften folgen.

Sind folgende Behauptungen von mir korrekt ?
Die Behauptungen beziehen sich immer auf eine konkrete Stelle [mm] (x_0,y_0). [/mm]

a) aus 5.) folgt 4.) und 3.) und 2.) und 1.)
b) aus 4.) folgt 3.) und 2.) und 1.)
c) aus 3.) folgt 4.) und 2.) und 1.)  (da bin ich mir sehr unsicher !)
d) aus 2.) kann man pauschal nichts anderes folgern
e) aus 1.) kann man pauschal nichts anderes folgern


Ich bitte euch um Bescheid, welche meiner Behauptungen nicht stimmen oder ob ich ggf. eine Folgerung in meiner Liste vergessen habe.

Herzlichen Dank für eure Antworten.
Ich finde eure Hilfe großartig, daher danke mal an allen, die hier aktiv mitarbeiten!

Viele Grüße
Rubi



        
Bezug
Stetigkeit Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 So 20.09.2020
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> ich beschäftige mich aktuell mit Funktionen f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> und habe folgende Fragen bzgl. des Zusammenhangs der
> Eigenschaften
> 1.) Stetigkeit
>  2.) partiell differenzierbar (also nach x und nach y
> differenzierbar)
> 3.) es existieren alle Richtungsableitungen
> 4.) total differenzierbar
>  5.) stetig partiell differenzierbar
>  
> Mir geht es darum zu verstehen, aus welchen der 5
> Eigenschaften andere dieser Eigenschaften folgen.
>
> Sind folgende Behauptungen von mir korrekt ?
>  Die Behauptungen beziehen sich immer auf eine konkrete
> Stelle [mm](x_0,y_0).[/mm]
>
> a) aus 5.) folgt 4.) und 3.) und 2.) und 1.)
>  b) aus 4.) folgt 3.) und 2.) und 1.)
>  c) aus 3.) folgt 4.) und 2.) und 1.)  (da bin ich mir sehr
> unsicher !)
>  d) aus 2.) kann man pauschal nichts anderes folgern
>  e) aus 1.) kann man pauschal nichts anderes folgern
>  
>
> Ich bitte euch um Bescheid, welche meiner Behauptungen
> nicht stimmen oder ob ich ggf. eine Folgerung in meiner
> Liste vergessen habe.

Alles ist richtig,  bis  auf c).

Sei  $f (x,y)= [mm] \frac {x|y|}{\sqrt {x^2+y^2}}$ [/mm] für  (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und f(0,0)=0.

f besitzt in (0,0) Richtungsableitungen in allen Richtungen,  ist  aber in (0,0) nicht  differenzierbar.

Zeige dies!

Gruß  Fred

>
> Herzlichen Dank für eure Antworten.
> Ich finde eure Hilfe großartig, daher danke mal an allen,
> die hier aktiv mitarbeiten!
>  
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 So 20.09.2020
Autor: rubi

Hallo Fred,

vielen Dank, das hilft mir schon einmal sehr weiter.

Zu deiner Frage:

Richtungsableitung von f in (0,0) in Richtung v = [mm] \vektor{v_1 \\ v_2}: [/mm]

[mm] \bruch{f(hv_1,hv_2) - f(0,0)}{h}=\bruch{1}{h}*\bruch{h*v_1*|h*v_2|}{|h|*\wurzel{v_1^2+v_2^2}}=\bruch{v_1*|v_2|}{\wurzel{v_1^2+v_2^2}} [/mm]

Da kein h mehr auftritt, das man gegen 0 laufen lassen kann, stellt das Ergebnis die Richtungsableitung in Richtung v dar.

Passt das schon einmal ?

(Totale) Differenzierbarkeit in (0,0)

[mm] \bruch{f(\overrightarrow{0}+ \overrightarrow{h}) - f(\overrightarrow{0})-A*\overrightarrow{h}}{|\overrightarrow{h}|} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}*(\bruch{ h_1*|h_2|}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}-0-\pmat{ a & b}*\pmat{ h_1 \\ h_2}) [/mm]

= [mm] \bruch{h_1*|h_2|}{h_1^2+h_2^2}-\bruch{a*h_1+b*h_2}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}} [/mm]

Nun müsste für [mm] \overrightarrow{h} \to [/mm] 0 der Grenzwert 0 sein.
Der erste Bruch strebt nicht gegen 0, was man mit [mm] h_1 [/mm] = [mm] h_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] zeigen kann.
Mir ist nun aber nicht klar, ob ich jetzt a und b so wählen soll, dass der Grenzwert evtl. doch 0 ergibt. Und dann wäre es ja total differenzierbar. Kannst du mir hier noch einen Hinweis geben, wie es weitergeht bzw. warum es nicht total differenzierbar ist ?

Ich habe dann noch folgende zusätzliche Fragen:

1.) Kann ich an einer Fläche anschaulich erkennen, ob diese in einem Punkt total differenzierbar ist oder ob nur alle Richtungsableitungen existieren ?
Wenn ich an einem Punkt eine eindeutige Tangentialebene anlegen kann, welche dieser Eigenschaften sind dann erfüllt ?

2.) Warum folgt aus der partiellen Differenzierbarkeit nicht, dass alle anderen Richtungsableitungen auch existieren ? Es gibt doch eine "schöne" Formel, bei der man den Gradienten mit dem Richtungsvektor multiplizieren muss, um die Richtungsableitung zu erhalten.

3.) Wenn ich h = g [mm] \circ [/mm] f mit der mehrdimensionalen Kettenregel ableiten will, welche Eigenschaften sind hierfür für h,  g und f erforderlich ?

Vielen Dank.

Viele Grüße
Rubi



Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 So 20.09.2020
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>
> vielen Dank, das hilft mir schon einmal sehr weiter.
>
> Zu deiner Frage:
>
> Richtungsableitung von f in (0,0) in Richtung v =
> [mm]\vektor{v_1 \\ v_2}:[/mm]
>  
> [mm]\bruch{f(hv_1,hv_2) - f(0,0)}{h}=\bruch{1}{h}*\bruch{h*v_1*|h*v_2|}{|h|*\wurzel{v_1^2+v_2^2}}=\bruch{v_1*|v_2|}{\wurzel{v_1^2+v_2^2}}[/mm]
>  
> Da kein h mehr auftritt, das man gegen 0 laufen lassen
> kann, stellt das Ergebnis die Richtungsableitung in
> Richtung v dar.
>
> Passt das schon einmal ?
>  
> (Totale) Differenzierbarkeit in (0,0)
>  
> [mm]\bruch{f(\overrightarrow{0}+ \overrightarrow{h}) - f(\overrightarrow{0})-A*\overrightarrow{h}}{|\overrightarrow{h}|}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}*(\bruch{ h_1*|h_2|}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}-0-\pmat{ a & b}*\pmat{ h_1 \\ h_2})[/mm]
>  
> =
> [mm]\bruch{h_1*|h_2|}{h_1^2+h_2^2}-\bruch{a*h_1+b*h_2}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}}[/mm]
>  
> Nun müsste für [mm]\overrightarrow{h} \to[/mm] 0 der Grenzwert 0
> sein.
> Der erste Bruch strebt nicht gegen 0, was man mit [mm]h_1[/mm] = [mm]h_2[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] zeigen kann.
> Mir ist nun aber nicht klar, ob ich jetzt a und b so
> wählen soll, dass der Grenzwert evtl. doch 0 ergibt. Und
> dann wäre es ja total differenzierbar. Kannst du mir hier
> noch einen Hinweis geben, wie es weitergeht bzw. warum es
> nicht total differenzierbar ist ?

für a und b kommen doch nur in Frage : die partiellen Ableitungen von f im Punkt  (0,0).

Da gibt's nix zu wählen.

>  
> Ich habe dann noch folgende zusätzliche Fragen:
>
> 1.) Kann ich an einer Fläche anschaulich erkennen, ob
> diese in einem Punkt total differenzierbar ist oder ob nur
> alle Richtungsableitungen existieren ?
> Wenn ich an einem Punkt eine eindeutige Tangentialebene
> anlegen kann, welche dieser Eigenschaften sind dann
> erfüllt ?
>  
> 2.) Warum folgt aus der partiellen Differenzierbarkeit
> nicht, dass alle anderen Richtungsableitungen auch
> existieren ? Es gibt doch eine "schöne" Formel, bei der
> man den Gradienten mit dem Richtungsvektor multiplizieren
> muss, um die Richtungsableitung zu erhalten.

Diese schöne  Formel ist nur korrekt, wenn die Funktion differenzierbar ist.




>
> 3.) Wenn ich h = g [mm]\circ[/mm] f mit der mehrdimensionalen
> Kettenregel ableiten will, welche Eigenschaften sind
> hierfür für h,  g und f erforderlich ?

sind g und f differenzierbar,  so auch  h.

>  
> Vielen Dank.
>
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit Differenzierbarkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:35 So 20.09.2020
Autor: rubi

Hallo Fred,

dankeschön.

Also ergibt sich a dadurch, dass ich bei der Richtungsableitung [mm] v_1 [/mm] = 1 und [mm] v_2 [/mm] = 0 setze (d.h. partielle Ableitung nach x).
Damit wäre a = 0.
Und für b wähle ich [mm] v_1 [/mm] = 0 und [mm] v_2 [/mm] = 1, wodurch sich auch b = 0 ergibt.
Und weil für a = b = 0 der Grenzwert von  [mm] \bruch{h_1*|h_2|}{h_1^2+h_2^2}-\bruch{a*h_1+b*h_2}{\wurzel{h_1^2+h_2^2}} [/mm]
nicht 0 ist, ist die Funktion nicht total differenzierbar.
Korrekt ?


Hast du meine Frage 1.)  bzgl. der Anschaulichkeit vergessen zu beantworten oder kann man das so nicht erkennen ?

Viele Grüße
Rubi

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit Differenzierbarkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:38 So 20.09.2020
Autor: rubi

Hallo Fred,

bei meiner Ausgangsfrage hatte ich behauptet, dass aus 3.) folgt
4.) und 2.) und 1.)

Nun hast du mich darauf hingewiesen, dass aus 3.) nicht 4.) folgt.
Gilt jedoch, dass aus 3.) die Eigenschaft 2.) und 1.) folgt ?

Viele Grüße
Rubi

Bezug
                                                
Bezug
Stetigkeit Differenzierbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 22.09.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit Differenzierbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 22.09.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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