Stetigkeit(Epsilon-Delta) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Beweisen sie mit Hilfe des [mm] \varepsilon- \delta-Kriteriums, [/mm] dass f:R->R, f(x)= [mm] \bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] stetig (auf ganz R) ist.
2)Untersuchen sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
f:R->R, f(x)=min{|x-m||m [mm] \in \IN [/mm] } |
Hallo,
ich habe leider noch große Probleme beim Beweisen von Stetigkeit, daher frag ich mal hier nach:
zu 1) Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 , dann gilt für alle x mit [mm] |a^{2}-x^{2}| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
|f(x)-f(a)| = [mm] |\bruch{1}{x^{2}+1}-\bruch{1}{a^{2}+1}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{a^{2}-x^{2}}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}| [/mm] < [mm] |\bruch{\delta}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}| [/mm] = [mm] \delta [/mm] * [mm] |\bruch{1}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}| [/mm]
jetzt weiss ich leider nicht wie ich weiterkomme.
2)Hier habe ich leider keine Ahnung wie ich rangehen soll.
Hoffe daher dass mir jemand helfen kann.
MFG
Nathenatiker
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Hallo,
noch mal zur Aufgabe 2:
Ich habe mir jetzt erst mal nur überlegt, wie ich |x| auf Stetigkeit überprüfe, und denke auch, dass ich es geschafft habe zu zeigen,
kann ich das jetzt irgendwie auf diese Aufgabe übertragen?
ist z [mm] \in \IN [/mm] nicht fest?dann dürfte das doch gar keine Rolle spielen, dass heisst doch dann quasi nur das |x| um den faktor z verschoben wird, oder?
gruß
nathenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mo 10.07.2006 | | Autor: | chmanie |
Hey, das sieht schon nicht schlecht aus. Schau dir den Zähler und den Nenner im letzten Schritt genau an, überlege ob du den Betrag weglassen kannst und versuche, nach einer größeren Konstanten abzuschätzen (vielleicht kürzen).
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Hallo,
also wenn ich das jetzt weiter führe:
$ [mm] \delta [/mm] $ * $ [mm] |\bruch{1}{a^{2}\cdot{}x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}| [/mm] $
die Beträge kann ich weglassen, sieht man ja ziemlich deutlich,
=$ [mm] \delta [/mm] $ * $ [mm] \bruch{1}{a^{2}\cdot{}x^{2}+a^{2}+x^{2}+1} [/mm] $
< [mm] |a^{2}-x^{2}| [/mm] * $ [mm] \bruch{1}{a^{2}\cdot{}x^{2}+a^{2}+x^{2}+1} [/mm] $
So, jetzt hab ich leider ein problem mit der Abschätzung, kann man es nso machen?
< [mm] |a^{2}-x^{2}| [/mm] * $ [mm] \bruch{1}{(a^{2}\cdot{}x^{2})(|a^{2}-x^{2}|)}$ [/mm]
= $ [mm] \bruch{1}{(a^{2}\cdot{}x^{2})}$ [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] .
ich bin mir nicht sicher nit der Abschätzung, könnte mir jemand eine bessere Abschätzung geben, oder ist das was ich bis jetzt gemacht habe überhaupt richtig.
MFG
Nathenatiker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mo 10.07.2006 | | Autor: | chmanie |
[mm] |x-x_{0}| [/mm] * [mm] \bruch{1}{a^2*x^2+a^2+x^2+1} \le |x-x_{0}| [/mm] * [mm] \bruch{a^2*x^2+a^2+x^2+1}{a^2*x^2+a^2+x^2+1} [/mm] = [mm] |x-x_{0}| [/mm] * 1
Wähle also [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] und du bist fertig.
Anmerkung: Gezeigt wurde hier gleichmäßige stetigkeit auf [mm] \IR[/mm]
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ok, jetzt hab ichs auch, danke!
aber hat noch jemand ideen oder Anmerkungen zu Aufgabe 2)???
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Hallo und guten Morgen,
zur (b):
[mm] f(x)=\min\{\: |x-m|\:\: |\:\: m\in\IN\}
[/mm]
= |x|+1 für [mm] x\leq [/mm] 0 (falls [mm] \IN=\{1,2,3,\ldots\}
[/mm]
bzw. = |x| für [mm] x\leq [/mm] 0 falls [mm] \IN=\{0,1,2,3,\ldots\} [/mm] (je nachdem, wie man's notiert)
und ebenso kommt da ne Fallunerscheidung für [mm] x\in [/mm] [0,1],
aber jedenfalls f(1)=0 und für [mm] x\geq [/mm] 1
f(x)= [mm] \lceil x\rceil-x,\:\: |x-\lceil x\rceil [/mm] | [mm] \leq [/mm] 0.5
[mm] f(x)=x-\lfloor x\rfloor, \:\: x-\lfloor x\rfloor \leq [/mm] 0.5
dieses ist eine auf den Intervallen [n,n+0.5] sowie auf den Intervallen [mm] [n+0.5,n+1],\: n\in\IN_0
[/mm]
sowie auf ganz [mm] \IR_{\leq 0} [/mm] stetige Funktion, man muss das nur zB fuer die Intervallinneren argumentieren (dort ist f schlicht
aus stetigen Fkt. durch stetigkeitserhaltende Operationen zusammengesetzt), und dann muss man noch zeigen, dass f an den Intervallgrenzen
stetig ist, das kannst Du aber leicht (sozusagen: f ''von links kommend'' gleich ''f von rechts kommend''.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Walde |
hi Robert,
ich hätte da noch einen Einwand:
> 1) Beweisen sie mit Hilfe des [mm]\varepsilon- \delta-Kriteriums,[/mm]
> dass f:R->R, f(x)= [mm]\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm] stetig (auf ganz R)
> ist.
> Hallo,
>
> ich habe leider noch große Probleme beim Beweisen von
> Stetigkeit, daher frag ich mal hier nach:
>
> zu 1) Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dann gilt für alle x mit
> [mm]|a^{2}-x^{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
Nein, du hast erst mal nur [mm] |x-a|<\delta
[/mm]
>
> |f(x)-f(a)| = [mm]|\bruch{1}{x^{2}+1}-\bruch{1}{a^{2}+1}|[/mm]
> = [mm]|\bruch{a^{2}-x^{2}}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}|[/mm] <
> [mm]|\bruch{\delta}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}|[/mm]
deswegen ist diese Abschätzung meiner Meinung nach falsch, denn [mm] |a^2-x^2|=|x-a|*|x+a| [/mm] ist nicht unbedingt <|x-a|
Oder hab ich grad ein Brett vorm Kopf?
L G walde
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