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| Aufgabe | | Zeige, dass f(x) = [mm] x^{3} [/mm] stetig ist. |
Hallo! Ich habe in unserem Skript den Beweis zu dieser Aufgabe gesehen. In diesem Beweis wird das Delta als Minimum von 2 Werten gewählt, was ich nicht verstehe. Es ist doch nicht falsch Delta fest zu wählen, oder doch?
Ich habe es versucht:
Zuerst die Abschätzung
[mm] |x^{3} [/mm] - [mm] x_0^{3}| [/mm] = |x - [mm] x_0| |x^{2} [/mm] + [mm] xx_0 [/mm] + [mm] x_0^{2}| [/mm]
[mm] \le [/mm] |x - [mm] x_0| (|x|^{2} [/mm] + [mm] |xx_0| [/mm] + [mm] |x_0^{2}|) [/mm]
[mm] \le [/mm] |x - [mm] x_0| [/mm] (|x| + [mm] 2|x_0|)^{2} [/mm] (*)
Eine Abschätzung für |x|: Es ist |x| = |x - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_0| \le [/mm] |x - [mm] x_0| [/mm] + [mm] |x_0| [/mm]
weiter bei (*):
|x - [mm] x_0| [/mm] (|x| + [mm] 2|x_0|)^{2}
[/mm]
[mm] \le [/mm] |x - [mm] x_0| [/mm] (|x - [mm] x_0| [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2}
[/mm]
So, für |x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta \le [/mm] 1:
ist |x - [mm] x_0| [/mm] (|x - [mm] x_0| [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm]
[mm] \le (\delta [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2}
[/mm]
Dann: [mm] (\delta [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow \delta^{2} [/mm] + [mm] 6|x_0|\delta [/mm] + [mm] \delta^{2} [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] < 0 nach Delta aufgelöst. Da gab es 2 Werte, ist es egal welchen ich wähle?
Ich habe Delta so gewählt: [mm] \delta [/mm] := [mm] -3|x_0| [/mm] - [mm] \wurzel[]{\varepsilon} [/mm] weil ich da sicher gehen konnte, dass der kleiner als Null ist.
Also zum eigentlichen Beweis:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Wähle [mm] \delta [/mm] := [mm] -3|x_0| [/mm] - [mm] \wurzel[]{\varepsilon}. [/mm] Für |x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta \le [/mm] 1:
[mm] |x^{3} [/mm] - [mm] x_0^{3}| \le (\delta [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm] = [mm] (-3|x_0| [/mm] - [mm] \wurzel[]{\varepsilon} [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da geht was schief! [mm] |x-x_0|\ge0 [/mm] dein [mm] \delta [/mm] ist für die meisten [mm] x_0 [/mm] aber negativ. das ist wohl unmoglich.
du kannst aber direkt x auf eine [mm] \delta_1 [/mm] Umgebung von [mm] x_0 [/mm] einschränken, etwa [mm] \delta^=1
[/mm]
und damit [mm] |x^2+x_0^2*xx_0| [/mm] abschätzen, am Ende dann [mm] /delta=min(1,\delta(x_0,\epsilon)
[/mm]
Gruss leduart
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Das ist mir gar nicht aufgefallen..
Aber was meinst du mit [mm] |x^2+x_0^2\cdot{}xx_0| [/mm] ? Tippfehler?
Und was ich ja leider nicht verstehe, ist diese Wahl von delta als Minimum von 2 Werten und wie man das beim Beweis dann handhabt... und wie man darauf kommt?!
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Ok habe doch noch eine Idee bekommen:
Die Abschätzung war ja:
[mm] |x^{3} [/mm] - [mm] x_0^{3}| \le [/mm] |x - [mm] x_0| [/mm] (|x - [mm] x_0| [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm]
für [mm] \delta \le [/mm] 1
|x - [mm] x_0| [/mm] (|x - [mm] x_0| [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm]
[mm] \le \delta [/mm] (1 + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow \delta [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{(1 + 3|x_0|)^{2}}
[/mm]
dann:
wähle [mm] \delta [/mm] := min(1, [mm] \bruch{\varepsilon}{(1 + 3|x_0|)^{2}})
[/mm]
dann gilt:
[mm] |x^{3} [/mm] - [mm] x_0^{3}| \le [/mm] |x - [mm] x_0| [/mm] (|x - [mm] x_0| [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2}
[/mm]
< [mm] \delta [/mm] (1 + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{(1 + 3|x_0|)^{2}}(1 [/mm] + [mm] 3|x_0|)^{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
sieht richtig aus.
aber wie du von
$ [mm] \le [/mm] $ |x - $ [mm] x_0| (|x|^{2} [/mm] $ + $ [mm] |xx_0| [/mm] $ + $ [mm] |x_0^{2}|) [/mm] $
$ [mm] \le [/mm] $ |x - $ [mm] x_0| [/mm] $ (|x| + $ [mm] 2|x_0|)^{2} [/mm] $ (*)
kommst versteh ich nicht ganz, wozu die 2?
warum nicht direkt [mm] (|x|^{2} [/mm] $ + $ [mm] |xx_0| [/mm] $ + $ [mm] |x_0^{2}|) [/mm] abschätzen mit [mm] x_0-1
im vorigen post war ein Druckfehler natürlich + statt *
und s ist bei solchen funktionen üblich erst mal ein vorläufiges [mm] \delta=1 [/mm] oder 0.1 anzunehmen, um die Abh. des Terms von x loszuwerden. 8du hattest ja auch irgendwo [mm] \delta<1 [/mm] vorrausgesetzt!
Gruss leduart
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Die 2 bei |x - [mm] x_0| [/mm] (|x| + [mm] 2|x_0|)^{2} [/mm] ist ein Druckfehler, der sich durchgesetzt hat. Ich wollte eigentlich |x - [mm] x_0| [/mm] (|x| + [mm] |x_0|)^{2} [/mm] haben, 1. bin. Formel. Ich wusste nicht wie ich sonst (anschliessend) das Delta ins Spiel bringen konnte.
Auch mit deinem Tipp [mm] (x_0 [/mm] - 1 < x < [mm] x_0 [/mm] + 1) stell ich mich gerade etw. ungeschickt an, einen Term zu finden, in dem x - [mm] x_0 [/mm] vorkommt.
Grüße, kulli
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