Stetigkeit Grenzfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Napkin |
Wenn die Grenzfunktion einer Reihe nicht stetig ist, kann ich daraus schliessen, dass die Reihe nicht gleichmässig konvergiert.
Wenn die Grenzfunktion einer Reihe stetig ist, kann ich daraus nicht schliessen, dass die Reihe gleichmässig konvergiert.
Stimmt das so ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wenn die Grenzfunktion einer Reihe nicht stetig ist, kann
> ich daraus schliessen, dass die Reihe nicht gleichmässig
> konvergiert.
Wenn die Reihenglieder stetige Funktionen sind, liegst Du richtig
>
> Wenn die Grenzfunktion einer Reihe stetig ist, kann ich
> daraus nicht schliessen, dass die Reihe gleichmässig
> konvergiert.
Nein , das kannst Du nicht. Hast Du Beispiele ?
FRED
>
> Stimmt das so ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Napkin |
Wenn die Grenzfunktion einer Reihe stetig ist, kann ich
daraus nicht schliessen, dass die Reihe gleichmässig
konvergiert.
Hast du das nicht auch gelesen?,
ich dachte nämlich bisher immer man kann aus der Stetigkeit der Grenzfunktion schliessen, dass die Reihe gleichmässig stetig ist.
Bis mein Professor mich eines besseren belehrte, ich bin daher immoment ein wenig unsicher.
Dass aus einer Grenzfunktion die nicht stetig ist folgt, dass die Reihe nicht gleichmässig konvergiert weiss ich.
Ich bin mir nicht sicher ob man aus der Stetigkeit der Grenzfunktion schliessen kann ob die Reihe dann gleichmässig stetig ist oder ob dieser Schluss falsch ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wenn die Grenzfunktion einer Reihe stetig ist, kann ich
> daraus nicht schliessen, dass die Reihe gleichmässig
> konvergiert.
>
> Hast du das nicht auch gelesen?,
Doch hab ich, warum fragst Du ?
>
> ich dachte nämlich bisher immer man kann aus der
> Stetigkeit der Grenzfunktion schliessen, dass die Reihe
> gleichmässig stetig ist.
>
> Bis mein Professor mich eines besseren belehrte, ich bin
> daher immoment ein wenig unsicher.
>
> Dass aus einer Grenzfunktion die nicht stetig ist folgt,
> dass die Reihe nicht gleichmässig konvergiert weiss ich.
>
> Ich bin mir nicht sicher ob man aus der Stetigkeit der
> Grenzfunktion schliessen kann ob die Reihe dann
> gleichmässig stetig ist oder ob dieser Schluss falsch
Nimm die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^n. [/mm] Diese Reihe konvergiert auf (-1,1) punktweise, aber nicht gleichmäßig, gegen die stetige Funktion [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
FRED
> ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Napkin |
Ok also liege ich richtig damit, dass sich aus der Aussage "die Grenzfunktion ist stetig" nichts folgern lässt, bzw keine Aussage über die gleichmässige Konvergenz der Reihe ausgesagt werden kann, wenn die Grenzfunktion stetig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Do 18.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ok also liege ich richtig damit, dass sich aus der Aussage
> "die Grenzfunktion ist stetig" nichts folgern lässt, bzw
> keine Aussage über die gleichmässige Konvergenz der Reihe
> ausgesagt werden kann, wenn die Grenzfunktion stetig ist.
Ja, das ist richtig.
Das Beispiel mit der geometrischen Reihe ist richtig, sobald man aber das Intervall nur ein kleines bischen kleiner macht wird die Konvergenz gleichmäßig. Ein anderes sehr schönes Beispiel ist folgedes: Betrachte die Funktionenfolge [mm] $f_n:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $$f_n(x):=\begin{cases}x-n+1&x\in[n-1,n]\\n-x+1&x\in[n,n+1]\\0&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] Der Graph von [mm] $f_n$ [/mm] ist einfach nur eine Zacke bei $n$ der Breite 2 und Höhe 1, sonst ist die Funktion gleich Null. Dann sieht man leicht dass [mm] $f_n$ [/mm] punktweise gegen die (stetige!) Nullfunktion konvergiert, aber nicht gleichmäßig, da [mm] $\|f_n-0\|_\infty=1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Gruß, Robert
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