Stetigkeit Nullpunkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei f:[-1,1] -> [mm] \IR [/mm] eine monoton wachsende Funktion. Vorausgesetzt wird, dass die beiden Grenzwerte b:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{-1}{n})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n}) [/mm] existieren und einander gleich sind. Beweisen Sie, dass b = f(0) gilt und dass f im Nullpunkt stetig ist. |
Nun ich habe folgendes versucht:
f ist monoton wachsend [mm] \Rightarrow f(\bruch{-1}{n}) \le f(\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(\bruch{-1}{n}) \le [/mm] f(0) [mm] \le f(\bruch{1}{n}).
[/mm]
Dann folgt nach dem Einschließungslemma , dass f(0) = b. Stimmt das soweit? Nun muss ich noch die Stetigkeit zeigen, d.h ich muss zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x) = f(0) = b gilt.
Nun hier habe ich das Problem, dass ich die Funktion gar nicht kenne. Wie muss man hier vorgehen?
LG Loriot95
|
|
| |
|
Hi,
> Sei f:[-1,1] -> [mm]\IR[/mm] eine monoton wachsende Funktion.
> Vorausgesetzt wird, dass die beiden Grenzwerte b:=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{-1}{n})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n})[/mm] existieren und
> einander gleich sind. Beweisen Sie, dass b = f(0) gilt und
> dass f im Nullpunkt stetig ist.
> Nun ich habe folgendes versucht:
>
> f ist monoton wachsend [mm]\Rightarrow f(\bruch{-1}{n}) \le f(\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(\bruch{-1}{n}) \le[/mm] f(0) [mm]\le f(\bruch{1}{n}).[/mm]
>
> Dann folgt nach dem Einschließungslemma , dass f(0) = b.
> Stimmt das soweit?
Ja, denn du darfst [mm] f(\bruch{-1}{n}), [/mm] f(0), [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] als Folgen betrachten.
> Nun muss ich noch die Stetigkeit zeigen, d.h ich muss zeigen:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x) = f(0) = b gilt.
> Nun hier habe ich das Problem, dass ich die Funktion gar
> nicht kenne. Wie muss man hier vorgehen?
Hier hilft das Stetigkeitskriterium "f ist stetig in [mm] x_0, [/mm] wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich dem Funktionswert [mm] f(x_0) [/mm] sind"
Jetzt musst du nur noch begründen, warum [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n})=\lim_{x\to0+}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{-1}{n})=\lim_{x\to0-}f(x) [/mm] ist. [mm] \frac{1}{n} [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge und [mm] -\frac{1}{n} [/mm] eine monoton steigende NF [...]
>
> LG Loriot95
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f:[-1,1] -> [mm]\IR[/mm] eine monoton wachsende Funktion.
> Vorausgesetzt wird, dass die beiden Grenzwerte b:=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{-1}{n})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n})[/mm] existieren und
> einander gleich sind. Beweisen Sie, dass b = f(0) gilt und
> dass f im Nullpunkt stetig ist.
> Nun ich habe folgendes versucht:
>
> f ist monoton wachsend [mm]\Rightarrow f(\bruch{-1}{n}) \le f(\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(\bruch{-1}{n}) \le[/mm] f(0) [mm]\le f(\bruch{1}{n}).[/mm]
>
> Dann folgt nach dem Einschließungslemma , dass f(0) = b.
> Stimmt das soweit?
> Ja, das wurde Dir schon bestätigt.
> Nun muss ich noch die Stetigkeit zeigen,
> d.h ich muss zeigen:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x) = f(0) = b gilt.
> Nun hier habe ich das Problem, dass ich die Funktion gar
> nicht kenne.
Das ist ja das schöne an der Mathematik: unter "spärlichen" Vor. , "große" Resultate.
> Wie muss man hier vorgehen?
Ich gebe Dir mal Tipps für :
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+0} [/mm] f(x) = f(0) = b$
Überlege Dir:
1. 0 [mm] \le [/mm] f(x)-b für x [mm] \in [/mm] (0,1]
2. Zu zeigen ist: zu [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit: f(x)-b< [mm] \varepsilon [/mm] für 0<x< [mm] \delta.
[/mm]
3. Sei also [mm] \varepsilon>0. [/mm] Dann gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: f(1/m)-b< [mm] \varepsilon
[/mm]
4. Setze [mm] \delta:=1/m
[/mm]
FRED
>
> LG Loriot95
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für die Antworten. Also ich habs nun so:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Wähle [mm] \delta:= \bruch{1}{m} [/mm] für ein m [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt: |x| < [mm] \bruch{1}{m} \Rightarrow [/mm] |f(x) - b | < [mm] |f(\bruch{1}{m}) [/mm] - b |
Hm und nun?
LG Loriot
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Antworten. Also ich habs nun so:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Wähle [mm]\delta:= \bruch{1}{m}[/mm]
> für ein m [mm]\in \IN.[/mm] Dann gilt: |x| < [mm]\bruch{1}{m} \Rightarrow[/mm]
> |f(x) - b | < [mm]|f(\bruch{1}{m})[/mm] - b |
> Hm und nun?
Genau lesen was ich geschrieben habe ! Es geht um x [mm] \to [/mm] 0+0
m war so, dass f(1/m)-b < [mm] \varepsilon. [/mm] Damit setze [mm] \delta=1/m.
[/mm]
Ist dann 0<x< [mm] \delta, [/mm] so ist
$0 [mm] \le [/mm] f(x)-b [mm] \le f(\delta)-b= [/mm] f(1/m)-b < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Die zeigt: f(x) [mm] \to [/mm] b=f(0) für $x [mm] \to [/mm] 0+0$
Analog kann man zeigen, und das machst Du jetzt mal:
f(x) [mm] \to [/mm] b=f(0) für $x [mm] \to [/mm] 0-0$
FRED
>
> LG Loriot
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Do 03.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Erst Mal vielen Dank für deine Anwort. Ich bin mir noch nicht ganz sicher ob ichs richtig verstanden habe. Ich versuchs dann mal:
Wähle -m mit [mm] m\in \IN, [/mm] so dass | [mm] f(\bruch{-1}{m})-b| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Setze [mm] \delta [/mm] := [mm] |\bruch{-1}{m}|. [/mm] Dann ist für 0 < x < [mm] \bruch{-1}{m},
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] |f(x)-b| [mm] \le [/mm] | [mm] f(\bruch{-1}{m}) [/mm] -b| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also f(x) -> b = f(0)
Ist das so korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erst Mal vielen Dank für deine Anwort. Ich bin mir noch
> nicht ganz sicher ob ichs richtig verstanden habe. Ich
> versuchs dann mal:
>
> Wähle -m mit [mm]m\in \IN,[/mm] so dass | [mm]f(\bruch{-1}{m})-b|[/mm] <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
> Setze [mm]\delta[/mm] := [mm]|\bruch{-1}{m}|.[/mm]
> Dann ist für 0 < x < [mm]\bruch{-1}{m},[/mm]
Das gibt nur Murks ! Es ist -1/m <0. Dann ist jedes x mit x < [mm]\bruch{-1}{m},[/mm] negativ !!!
FRED
> 0 [mm]\le[/mm] |f(x)-b| [mm]\le[/mm] | [mm]f(\bruch{-1}{m})[/mm] -b| < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Also f(x) -> b = f(0)
>
> Ist das so korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Do 03.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok, dann x < [mm] \bruch{-1}{m}< [/mm] 0. Ist der Rest denn korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann x < [mm]\bruch{-1}{m}<[/mm] 0.
Nein.
Sondern
[mm]\bruch{-1}{m}
Ist der Rest denn korrekt?
Schreibs nochmal sauber auf
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok also noch Mal von vorne.
Behauptung: f ist in x = 0 stetig
Beweis:
(1) Zeige: [mm] \limes_{x\rightarrow 0+0} [/mm] f(x) =f(0) = b
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Nach Voraussetzung gibt es ein m [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{m}) [/mm] - b < [mm] \varepsilon. [/mm] Wähle [mm] \delta [/mm] := [mm] \bruch{1}{m}, [/mm] dann
gilt:
|x| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] f(x) - b [mm] \le f(\bruch{1}{m}) [/mm] - b < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0+0} [/mm] f(x) = b
(2) Zeige: [mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} [/mm] f(x) =f(0) = b
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Nach Voraussetzung gibt es ein m [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{-m}) [/mm] - b < [mm] \varepsilon. [/mm] Wähle [mm] \delta [/mm] := [mm] \bruch{1}{m}, [/mm] dann
gilt für alle x [mm] \in (\bruch{1}{-m} [/mm] , 0 ): 0 [mm] \le [/mm] |f(x) - b| [mm] \le |f(\bruch{1}{-m}) [/mm] - b |< [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0-0} [/mm] f(x) = b
Aus (1) und (2) folgt die Stetigkeit im Nullpunkt.
Stimmt das so?
LG Loriot95
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Behauptung: f ist in x = 0 stetig
> Beweis:
> (1) Zeige: [mm]\limes_{x\rightarrow 0+0}[/mm] f(x) =f(0) = b
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Nach Voraussetzung gibt
> es ein m [mm]\in \IN:[/mm]
> [mm]f(\bruch{1}{m})[/mm] - b < [mm]\varepsilon.[/mm]
> Wähle [mm]\delta[/mm] := [mm]\bruch{1}{m},[/mm] dann
> gilt:
>
> |x| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le[/mm] f(x) - b [mm]\le f(\bruch{1}{m})[/mm]
> - b < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0+0}[/mm] f(x) = b
Alles ok.
> (2) Zeige: [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0}[/mm] f(x) =f(0) = b
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Nach Voraussetzung
> gibt es ein m [mm]\in \IN:[/mm]
> [mm]f(\bruch{1}{-m})[/mm] - b <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
Das ist jetzt noch falsch. Es muss umgedreht werden!
$b - [mm] f(-\frac{1}{m}) [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Schließlich ist $f$ monoton wachsend, also ist b groesser als f(-1/m).
> Wähle [mm]\delta[/mm] := [mm]\bruch{1}{m},[/mm] dann
> gilt für alle x [mm]\in (\bruch{1}{-m}[/mm] , 0 ): 0 [mm]\le[/mm]
> |f(x) - b| [mm]\le |f(\bruch{1}{-m})[/mm] - b |< [mm]\varepsilon[/mm]
Nicht Beträge nutzen! Du willst doch $f(x) [mm] \ge [/mm] f(-1/m)$ ausnutzen, das geht hier total unter.
[mm] $0\le [/mm] b- f(x) [mm] \le [/mm] b - f(-1/m) < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0-0}[/mm] f(x) = b
>
> Aus (1) und (2) folgt die Stetigkeit im Nullpunkt.
Mit dem Korrekturen ist es jetzt richtig.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok, danke schön.
|
|
|
|
