Stetigkeit R³ --> R³ < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:37 Di 12.10.2010 | | Autor: | Leipziger |
| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR³ [/mm] --> [mm] \IR³ [/mm] mit
[mm] F(x,y,z)=\begin{cases} (\bruch{x^3+y^3}{x^2+y^2},\bruch{x^2y-y^2x}{x^2+y^2},z), & \mbox{für } x^2+y^2\not= 0 \mbox{ gerade} \\ (0,0,z), & \mbox{für } x^2+y^2=0 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
(a) in welchen Punkten ist F stetig
(b) in welchen Punkten ist f diff.bar |
(a)
es geht ja um die Stelle (0,0,z)... also um x = y = 0.. um die Stetigkeit zu zeigen muss ich den Grenzwert bilden. Ich weiß natürlich, dass [mm] x^3+y^3 [/mm] schneller gegen 0 konvergiert als [mm] x^2+y^2 [/mm] und somit wäre der grenzwert 0,.. aber ich kanns mathematisch nicht zeigen.
also hab ichs versuch über [mm] (x,y,z)=(\bruch{1}{n},0,z) [/mm] und [mm] (x,y,z)=(0,\bruch{1}{n},z) [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] und das funktioniert auch :)
Ist der Vorgangsweise in Ordnung? Oder wie macht man sowas mathematisch "besser" ?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipzscher,
verrate uns doch noch, was die Worte "gerade" und "ungerade" in der Funktionsdefinition machen.
Ansonsten ist Deine Vorgehensweise ok, und den einzigen kritischen Punkt hast Du natürlich auch richtig identifiziert.
Die y-Komponente der Funktion legt auch nahe, sich entlang der Ebene y=x der z-Achse zu nähern. Nötig ist es aber nicht, wenn Du schon in Deinen bisherigen beiden Richtungen Untersuchungen durchgeführt hast.
Wie stehts denn ansonsten mit Aufgabenteil b)?
Grüße
reverend
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Sorry reverend :D das war schon ne dumme Sache mit dem eintippen, gerade und ungerade war nur in der Vorgabe noch drin, hattes übersehen... also das ist wegzudenken....
also bei (b) würde ich stark behaupten das die Funktion nicht überall diffbar ist, jedoch hab ich noch keine Zeit gehabt zu prüfen wo, ich mach parallel noch 2 andere Aufgaben und jetzt beginnt auch noch Fußball :(
Aber sobal ich was habe, sag ich bescheid!
Gruß
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So, 3:0 sagt das Internet. Fußball vorbei.
Welche Stellen würdest Du denn auf Diff'barkeit untersuchen? Gibt es irgendwo Unregelmäßigkeiten - Knicke, Falten, Sprünge...?
Grüße
reverend
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Okay,... nun meld ich mich zwar zu Wort, aber nur weil ich sehe das du geschrieben hast... ich schaue noch Schottland - Spanien.. habe trotzdem kurz mal versucht, Probleme zu finden beim differenzieren... find aber keine.
[mm] F_x(0,y,z) [/mm] = (0,-y,0), [mm] F_{xy}(0,y,z)=(0,-1,0)
[/mm]
[mm] F_y(x,0,z) [/mm] = (x,0,0), [mm] F_{yx}(x,0,z)=(1,0,0)
[/mm]
Ja und somit sollte die Funktion eigentlich über diff.bar sein^^ Klingt irgendwie sehr einfach, ist sicher falsch :D
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 14.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei F: [mm]\IR³[/mm] --> [mm]\IR³[/mm] mit
>
> [mm]F(x,y,z)=\begin{cases} (\bruch{x^3+y^3}{x^2+y^2},\bruch{x^2y-y^2x}{x^2+y^2},z), & \mbox{für } x^2+y^2\not= 0 \mbox{ gerade} \\ (0,0,z), & \mbox{für } x^2+y^2=0 \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> (a) in welchen Punkten ist F stetig
> (b) in welchen Punkten ist f diff.bar
> (a)
> es geht ja um die Stelle (0,0,z)... also um x = y = 0.. um
> die Stetigkeit zu zeigen muss ich den Grenzwert bilden. Ich
> weiß natürlich, dass [mm]x^3+y^3[/mm] schneller gegen 0
> konvergiert als [mm]x^2+y^2[/mm] und somit wäre der grenzwert 0,..
> aber ich kanns mathematisch nicht zeigen.
>
> also hab ichs versuch über [mm](x,y,z)=(\bruch{1}{n},0,z)[/mm] und
> [mm](x,y,z)=(0,\bruch{1}{n},z)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] und das
> funktioniert auch :)
Tatsächlich ??
F ist im fraglichen Punkt stetig (s.u.). Oben wählst Du aber spezielle Annäherungen an diesen Punkt. Damit kannst Du die stetigkeit nicht zeigen.
Aber so: setze x=rcos(t) und y= rsin(t) (Polarkoordinaten in der x-y-Ebene)
Nun überzeuge Dich von
[mm] $||F(x,y,z)-F(0,0z)||_2 \le \wurzel{2}r$
[/mm]
Edit : statt [mm] \wurzel{2} [/mm] muß oben [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] stehen
FRED
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> Ist der Vorgangsweise in Ordnung? Oder wie macht man sowas
> mathematisch "besser" ?
>
>
> Gruß Leipziger
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:16 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Leipziger |
So, ich hab mal versucht das von dir Empfohlene anzuwenden.
Wenn ich den Spaß einsetze und ein wenig kürze bzw. umforme erhalt ich:
[mm] $||F(x,y,z)-F(0,0,z)||_2 [/mm] = [mm] R*\wurzel{1-2*cos^{2}(t)+2*cos^{4}(t)} \le R*\wurzel{2}$
[/mm]
Falls die Abschätzung so stimmt, müsste man doch jetzt die Stetigkeit daraus folgern können, wenn man R gegen 0 laufen lässt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> So, ich hab mal versucht das von dir Empfohlene
> anzuwenden.
>
> Wenn ich den Spaß einsetze und ein wenig kürze bzw.
> umforme erhalt ich:
>
> [mm]||F(x,y,z)-F(0,0,z)||_2 = R*\wurzel{1-2*cos^{2}(t)+2*cos^{4}(t)} \le R*\wurzel{2}[/mm]
Wie kommst Du darauf ???
oben hatte ich mich verschrieben. Statt [mm] \wurzel{2} [/mm] muß da stehen [mm] 2*\wurzel{2} [/mm]
FRED
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> Falls die Abschätzung so stimmt, müsste man doch jetzt
> die Stetigkeit daraus folgern können, wenn man R gegen 0
> laufen lässt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:40 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Leipziger |
Ich hab, wie von dir gefordert, x und y ersetzt, die euklidische Norm angewendet und das ganze dann noch etwas vereinfacht.
Wenn man das dann gemacht hat, kommt man meiner Meinung nach auf obiges Ergebnis, oder liege ich da etwas falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab, wie von dir gefordert, x und y ersetzt, die
> euklidische Norm angewendet und das ganze dann noch etwas
> vereinfacht.
>
> Wenn man das dann gemacht hat, kommt man meiner Meinung
> nach auf obiges Ergebnis, oder liege ich da etwas falsch?
Rechne doch mal vor !!!!
FRED
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Okay.
[mm] f(rsin,rcos,z)=(\bruch{(rcos)^3+(rsin)^3}{(rcos)^2+(rsin)^2},\bruch{(rcos)^2(rsin)-(rsin)^2(rcos)}{(rcos)^2+(rsin)^2},z)
[/mm]
==> [mm] \wurzel{(\bruch{(rcos)^3+(rsin)^3}{(rcos)^2+(rsin)^2})^2 + (\bruch{(rcos)^2(rsin)-(rsin)^2(rcos)}{(rcos)^2+(rsin)^2})^2} [/mm] (da [mm] (rcos)^2+(rsin)^2 [/mm] = r²*1)
= [mm] \wurzel{\bruch{((rcos)^3+(rsin)^3)^2}{r^4} + \bruch{((rcos)^2(rsin)-(rsin)^2(rcos))^2}{r^4}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{(rcos)^6+2*(rcos)^3(rsin)^3+(rsin)^6}{r^4} + \bruch{((rcos)^4(rsin)^2-2*(rcos)^3(rsin)^3+(rsin)^4(rcos)^2)}{r^4}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{(rcos)^6+(rsin)^6}{r^4} + \bruch{(rcos)^4(rsin)^2+(rsin)^4(rcos)^2}{r^4}}
[/mm]
Stimmt das erstmal soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay.
>
> [mm]f(rsin,rcos,z)=(\bruch{(rcos)^3+(rsin)^3}{(rcos)^2+(rsin)^2},\bruch{(rcos)^2(rsin)-(rsin)^2(rcos)}{(rcos)^2+(rsin)^2},z)[/mm]
>
> ==>
> [mm]\wurzel{(\bruch{(rcos)^3+(rsin)^3}{(rcos)^2+(rsin)^2})^2 + (\bruch{(rcos)^2(rsin)-(rsin)^2(rcos)}{(rcos)^2+(rsin)^2})^2}[/mm]
> (da [mm](rcos)^2+(rsin)^2[/mm] = r²*1)
> = [mm]\wurzel{\bruch{((rcos)^3+(rsin)^3)^2}{r^4} + \bruch{((rcos)^2(rsin)-(rsin)^2(rcos))^2}{r^4}}[/mm]
>
> =
> [mm]\wurzel{\bruch{(rcos)^6+2*(rcos)^3(rsin)^3+(rsin)^6}{r^4} + \bruch{((rcos)^4(rsin)^2-2*(rcos)^3(rsin)^3+(rsin)^4(rcos)^2)}{r^4}}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{\bruch{(rcos)^6+(rsin)^6}{r^4} + \bruch{(rcos)^4(rsin)^2+(rsin)^4(rcos)^2}{r^4}}[/mm]
>
> Stimmt das erstmal soweit?
Was für ein Aufwand !
Machs Dir doch nicht so schwer. Zauberwort: "abschätzen"
Die erste Komponente in F(x,y,z)-F(0,0,z) lautet mit Polarkoordinaten:
[mm] $k_1= \bruch{r^3(cos^3(t)+sin^3(t))}{r^2}$
[/mm]
Dann [mm] $|k_1| \le [/mm] 2r$
Genauso gilt für die 2. Komponente [mm] k_2: $|k_2| \le [/mm] 2r$
Die 3. Komponente = 0
Es folgt:
$|| F(x,y,z)-F(0,0,z)||= [mm] \wurzel{k_1^2+k_2^2} \le \wurzel{4r^2+4r^2}=2*\wurzel{2}*r$
[/mm]
FRED
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Ja FRED genau wegen dem Aufwand hatte ich davor gescheut meinen Rechenweg hier einzutippen. Aber danke für die Abschätzung, machts natürlich leichter!
Wie löse ich nun Aufgabenteil (b)? Ich hab oben schon meine Idee mal geschrieben gehabt, mit den Ableitungen f_ {xy}, und [mm] f_{yx}, [/mm] dass diese an dem markanten Punkt exisitert.. kann man das so machen oder zeige ich damit nicht das, was ich zeigen muss?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 15.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Könnte mir jemand sagen, wie ich (b) zeigen könnte? Wie gesagt, ich habs versucht über die Ableitung [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx} [/mm] da diese an den Stellen (0,y,z) und (x,0,z) differenzierbar sind, wollte ich daraus schließen, dass die Funktion diff.bar ist. Geht das?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Könnte mir jemand sagen, wie ich (b) zeigen könnte? Wie
> gesagt, ich habs versucht über die Ableitung [mm]f_{xy}[/mm] und
> [mm]f_{yx}[/mm] da diese an den Stellen (0,y,z) und (x,0,z)
> differenzierbar sind, wollte ich daraus schließen, dass
> die Funktion diff.bar ist. Geht das?
Nein, wie kommst Du auf so etwas ?
Tipps:
1. Eine vektorwertige Funktion ist genau dann differenzierbar, wenn jede Komponente es ist.
2. Die erste Komponente Deiner Funktion, also [mm] $H(x,y):=\bruch{x^3+y^3}{x^2+y^2}$
[/mm]
ist in (0,0) nicht differenzierbar
FRED
>
> Gruß
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Ja H(0,0) ist nicht differenzierbar. Aber es ist ja dachte ich voraussatzung das [mm] x^2+y^2\not=0 [/mm] ist. Somit müsste ich ja an den Stellen (0,y) und (x,0) prüfen. Das hatte ich eben getan und da wars auch diff.bar, dann hatte ich die eben noch die 2 anderen Ableitungen gebildet und auch da waren sie diff.bar...
Falsche Überlegung?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja H(0,0) ist nicht differenzierbar.
Was soll das den bedeuten ? ??
Zeige: H ist in (0,0) nicht differenzierbar
> Aber es ist ja dachte
> ich voraussatzung das [mm]x^2+y^2\not=0[/mm] ist.
Dass Deine obige Funktion F in allen Punkten mit [mm]x^2+y^2\not=0[/mm] differenzierbar ist, dürfte klar sein.
Somit müsste ich
> ja an den Stellen (0,y) und (x,0) prüfen. Das hatte ich
> eben getan und da wars auch diff.bar, dann hatte ich die
> eben noch die 2 anderen Ableitungen gebildet und auch da
> waren sie diff.bar...
>
> Falsche Überlegung?
Völlig.
Schreib hier mal auf , wie Ihr differenzierbarkeit gezeigt habt. Dann sehen wir weiter.
FRED
>
> Gruß
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Also, ich würde eigentlich die Funktion H(x,y) mittels
[mm] \limes_{h\rightarrow0}=\bruch{H((x,y)+h)-H(x,y)}{h} [/mm]
für die Punkte (x,0), (y,0) lässt sich der Grenzwert berechnen. Für (0,0) hingegen, klar, geht es nicht weil ich dann für H(0,0) einen Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] habe. Kann man es denn so zeigen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Fr 15.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also, ich würde eigentlich die Funktion H(x,y) mittels
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}=\bruch{H((x,y)+h)-H(x,y)}{h}[/mm]
Das ist doch grober Unfug !! Wenn (x,y) [mm] \in \IR^2, [/mm] was ist dann das h in (x,y)+h ??
Antwort: h [mm] \in \IR^2 [/mm] !!! Und Du dividierst durch h ?!? Wie geht das ?
Teile mal mit , wie Ihr "Differenzierbarkeit " definiert habt.
FRED
>
> für die Punkte (x,0), (y,0) lässt sich der Grenzwert
> berechnen. Für (0,0) hingegen, klar, geht es nicht weil
> ich dann für H(0,0) einen Ausdruck [mm]\bruch{0}{0}[/mm] habe. Kann
> man es denn so zeigen?
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Leipziger |
http://www.math.uni-leipzig.de/~schumann/an/ana1und2.pdf
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Gruß
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