Stetigkeit (Äquivalenz) < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 25.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $(X,\tau), (Y,\mu)$ [/mm] topologische Räume, [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ eine Abbildung und [mm] $p\in [/mm] X$.
Man zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:
(1) [mm] $f\colon (X,\tau)\to (Y,\mu)$ [/mm] ist stetig in p.
(2) Für alle Teilmengen [mm] $M\subseteq [/mm] X$ gilt: Ist p Berührungspunkt von M, dann ist $f(p)$ Berührungspunkt von $f[M]$. |
Hallo, ich schreib' mal meine Beweisideen hin:
[mm] $(1)\Longrightarrow [/mm] (2)$:
Aus der Stetigkeitsannahme der Abbildung folgt:
Zu jeder Umgebung [mm] $V\in\mathcal{U}(f(p))$ [/mm] von $f(p)$ gibt es eine Umgebung [mm] $U\in\mathcal{U}(p)$ [/mm] von p mit [mm] $f(U)\subseteq [/mm] V$.
Sei p Berührungspunkt von M, d.h.
[mm] $M\cap U\neq\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $U\in\mathcal{U}(p)$.
[/mm]
Für jedes [mm] $V\in\mathcal{U}(f(p)$ [/mm] gibt es demnach ein [mm] $U\in\mathcal{U}(p)$, [/mm] sodaß
[mm] $f[M]=\left\{f(x)~|~x\in M\right\}\cap V\neq\emptyset$, [/mm] denn
[mm] $\left\{f(x)~|~x\in U\right\}\subseteq [/mm] V$
Oder anders gesagt:
Es gibt Elemente in M und in dem U, die M und U gemeinsam haben; die Bilder dieser gemeinsamen Elemente von M und U liegen einmal im Bild von M und auch im Bild von U, also in V. Also ist der Schnitt von V und dem Bild von M nicht-leer.
Dies gilt für alle Umgebungen von f(p). Daraus folgt (2).
Ist das so okay?
[mm] \textbf{Edit} [/mm] Kürzer kann man wohl auch einfach sagen:
[mm] $M\cap U\neq\emptyset\Rightarrow f[M]\cap f[U]\neq\emptyset [/mm] und dann auch [mm] $f[M]\cap V\neq\emptyset$, [/mm] da [mm] $f[U]\subseteq [/mm] V$.
[mm] $(2)\Longrightarrow [/mm] (1)$:
Angenommen, f ist [mm] \textbf{nicht} [/mm] stetig.
Dann gibt es doch eine Umgebung [mm] $U\in\mathcal{U}(p)$ [/mm] mit [mm] $f(U)\nsubseteq [/mm] V$ für ein [mm] $V\in\mathcal{U}(f(p))$.
[/mm]
Weiter komm ich leider grade nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 So 25.03.2012 | | Autor: | mikexx |
kann man vielleicht für (2) ---> (1) dieses Kriterium benutzen?
[mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ ist stetig in [mm] $p\in [/mm] X$ genau dann, wenn für jeden filter, der gegen p konvergiert, der bildfilter gegen f(p) konvergiert
[mm] \textit{ist nur so eine idee...}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mo 26.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mikexx,
> [mm](1)\Longrightarrow (2)[/mm]:
>
> Aus der Stetigkeitsannahme der Abbildung folgt:
>
> Zu jeder Umgebung [mm]V\in\mathcal{U}(f(p))[/mm] von [mm]f(p)[/mm] gibt es
> eine Umgebung [mm]U\in\mathcal{U}(p)[/mm] von p mit [mm]f(U)\subseteq V[/mm].
>
> Sei p Berührungspunkt von M, d.h.
>
> [mm]M\cap U\neq\emptyset[/mm] für alle [mm]U\in\mathcal{U}(p)[/mm].
>
> Für jedes [mm]V\in\mathcal{U}(f(p)[/mm] gibt es demnach ein
> [mm]U\in\mathcal{U}(p)[/mm], sodaß
>
> [mm]f[M]\red{\cap V}=\left\{f(x)~|~x\in M\right\}\cap V\neq\emptyset[/mm],
Hier taucht U doch gar nicht auf?!
> denn
>
> [mm]\left\{f(x)~|~x\in U\right\}\subseteq V[/mm]
So ein U existiert nach der Stetigkeit von f. Warum gilt nun [mm] $f[M]\cap V\not=\emptyset$?
[/mm]
> Oder anders gesagt:
>
> Es gibt Elemente in M und in dem U, die M und U gemeinsam
> haben; die Bilder dieser gemeinsamen Elemente von M und U
> liegen einmal im Bild von M und auch im Bild von U, also in
> V. Also ist der Schnitt von V und dem Bild von M
> nicht-leer.
> Dies gilt für alle Umgebungen von f(p). Daraus folgt (2).
Das sieht gut aus! Noch schöner aufgeschrieben:
Sei [mm] $V\in\mathcal{U}(f(p))$. [/mm] Wegen der Stetigkeit von f existiert ein [mm] U\in\mathcal{U}(p) [/mm] mit [mm] $f[U]\subseteq [/mm] V$. Da M Berührpunkt von p ist, gilt [mm] $M\cap U\not=\emptyset$, [/mm] d.h. es existiert ein [mm] $x\in M\cap [/mm] U$. Wegen [mm] $f(x)\in [/mm] f[M]$ und [mm] $f(x)\in f[U]\subseteq [/mm] V$ gilt [mm] $f(x)\in f[M]\cap [/mm] V$ und somit [mm] $f[M]\cap V\not=\emptyset$.
[/mm]
> [mm]\textbf{Edit}[/mm] Kürzer kann man wohl auch einfach sagen:
>
> [mm]$M\cap U\neq\emptyset\Rightarrow f[M]\cap f[U]\neq\emptyset[/mm]
Diese Schlussfolgerung ist für meinen Geschmack etwas grobschrittig. Abhilfe:
[mm]$M\cap U\neq\emptyset\Rightarrow \emptyset\not=f[M\cap U]\subseteq f[M]\cap f[U]\subseteq f[M]\cap V[/mm].
> und dann auch [mm]$f[M]\cap V\neq\emptyset$,[/mm] da [mm]$f[U]\subseteq[/mm]
> V$.
Ja. Beim endgültigen Aufschreiben erläuternden Text nicht vergessen (Was sind U und V?).
> [mm](2)\Longrightarrow (1)[/mm]:
>
> Angenommen, f ist [mm]\textbf{nicht}[/mm] stetig in p.
Ja, so kann man anfangen.
> Dann gibt es doch eine Umgebung [mm]U\in\mathcal{U}(p)[/mm] mit
> [mm]f(U)\nsubseteq V[/mm] für ein [mm]V\in\mathcal{U}(f(p))[/mm].
Diese Aussage ist zu schwach.
Wenn f nicht stetig in p ist, gibt es ein [mm] $V\in\mathcal{U}(f(p))$, [/mm] so dass für ALLE [mm] U\in\mathcal{U}(p) [/mm] gilt: [mm] $f[U]\nsubseteq [/mm] V$, d.h. es existiert ein [mm] $x_U\in [/mm] U$ mit [mm] $f(x_U)\not\in [/mm] V$.
Betrachte nun [mm] M:=\{x_U|U\in\mathcal{U}(p)\}.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 26.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke, ich denke, jetzt habe ich's:
[mm] $(2)\Longrightarrow [/mm] (1)$:
Angenommen, f ist [mm] \textbf{nicht} [/mm] stetig in [mm] $p\in [/mm] X$.
Dann gibt es ein [mm] $V\in\mathcal{U}(f(p))$, [/mm] s.d. [mm] $f(U)\nsubseteq V~\forall~U\in\mathcal{U}(p)$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \forall~U\in\mathcal{U}(p)~\exists~x_U\in [/mm] U: [mm] f(x_U)\notin [/mm] V$
Setze [mm] $M:=\left\{x_U~|~U\in\mathcal{U}(p)\right\}$.
[/mm]
Es gilt dann:
p ist Berührpunkt von M, denn [mm] $M\cap U\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(p)$, [/mm] denn [mm] $x_U\in M~\wedge~x_U\in U~\forall~U\in\mathcal{U}(p)$.
[/mm]
Jedoch:
$f(p)$ ist nicht Berührpunkt von $f[M]$, da es eben ein [mm] $V\in\mathcal{U}(f(p))$ [/mm] gibt mit [mm] $f(x_U)\notin [/mm] V$ für alle Elemente von M und damit gilt für dieses V: [mm] $f[M]\cap V=\emptyset$. [/mm] Dann ist also $f(p)$ nicht Berührpunkt von $f[M]$, denn damit dies so wäre, müsste für alle [mm] $V\in\mathcal{U}(f(p))$ [/mm] gelten, daß [mm] $f[M]\cap V\neq\emptyset$.
[/mm]
[mm] \textit{Widerspruch!} [/mm] Also muss f stetig in p sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mo 26.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke, ich denke, jetzt habe ich's:
>
> [mm](2)\Longrightarrow (1)[/mm]:
>
> Angenommen, f ist [mm]\textbf{nicht}[/mm] stetig in [mm]p\in X[/mm].
> Dann
> gibt es ein [mm]V\in\mathcal{U}(f(p))[/mm], s.d. [mm]f(U)\nsubseteq V~\forall~U\in\mathcal{U}(p)[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow \forall~U\in\mathcal{U}(p)~\exists~x_U\in U: f(x_U)\notin V[/mm]
>
> Setze [mm]M:=\left\{x_U~|~U\in\mathcal{U}(p)\right\}[/mm].
>
> Es gilt dann:
>
> p ist Berührpunkt von M, denn [mm]M\cap U\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(p)[/mm],
> denn [mm]x_U\in M~\wedge~x_U\in U~\forall~U\in\mathcal{U}(p)[/mm].
>
> Jedoch:
>
> [mm]f(p)[/mm] ist nicht Berührpunkt von [mm]f[M][/mm], da es eben ein
> [mm]V\in\mathcal{U}(f(p))[/mm] gibt mit [mm]f(x_U)\notin V[/mm] für alle
> Elemente von M und damit gilt für dieses V: [mm]f[M]\cap V=\emptyset[/mm].
> Dann ist also [mm]f(p)[/mm] nicht Berührpunkt von [mm]f[M][/mm], denn damit
> dies so wäre, müsste für alle [mm]V\in\mathcal{U}(f(p))[/mm]
> gelten, daß [mm]f[M]\cap V\neq\emptyset[/mm].
>
>
> [mm]\textit{Widerspruch!}[/mm] Also muss f stetig in p sein.
Alles bestens.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Mo 26.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke!
Dass ich nicht selbst auf sowas komme, wurmt mich ganz schön. Aber wenigstens habe ich den Hinweis gleich umsetzen können.
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