www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit an Polstelle
Stetigkeit an Polstelle < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stetigkeit an Polstelle: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:33 Di 06.10.2020
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Im Skript steht:
a)  Die (echt) gebrochen-rationalen Funktionen

     f(x) = 1/(x + 3)  und  f(x) = (2x - [mm] 1)/(x^2-1) [/mm]

weisen an den Stellen x0 = -3  bzw.  x1 = -1 und x2 = 1  Polstellen auf, sind jedoch trotzdem stetig.

b)  Die (unecht) gebrochen-rationale Funktion

     f(x) = [mm] (x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + x - 1)/(x - 1)

ist für  x0 = 1  nicht definiert, besitzt also in  x0 = 1  eine einpunktige Definitionslücke (dies ist jedoch keine Polstelle). Es gilt:

lim     f(x) = lim     f(x) = 2        (lim von links  und  lim von rechts gegen 1)
x->1-          x->1+

Damit ist die Funktion stetig.

a) Nach meiner Kenntnis sind Funktionen in den Polstellen nicht stetig.

b)  Nach meiner Kenntnis ist eine Funktion in einer hebbaren Definitionslücke    stetig fortsetzbar, aber nicht stetig.

        
Bezug
Stetigkeit an Polstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:24 Mi 07.10.2020
Autor: Fulla

Hallo Mathemurmel,

Stetigkeit wird zunächst als "stetig an der Stelle [mm] $x_0$" [/mm] definiert (wichtig: [mm] $x_0$ [/mm] ist Element des Definitionsbereichs!).
Eine Funktion heißt dann "stetig", wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Lies am besten mal diese beiden Definitionen in deinem Skript nach.

Die von dir genannten Funktionen haben alle Definitionslücken, d.h. an diesen Stellen können sie gar nicht stetig sein.
Man kann aber überprüfen, wie sie sich nahe an diesen Stellen verhalten. (Gemäß der Definition von "steig an der Stelle [mm] $x_0$"). [/mm]

Polstellen und stetig hebbare Definitionslücken sind damit kein Problem - nur Sprungstellen machen eine Funktion nicht stetig (auf ihrem gesamten Definitionsbereich).

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit an Polstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Mi 07.10.2020
Autor: fred97


> Im Skript steht:

Vorweg: was im Skript zu den Funktionen unten steht ist schlecht , bzw. falsch formuliert.


>   a)  Die (echt) gebrochen-rationalen Funktionen
>  
> f(x) = 1/(x + 3)  und  f(x) = (2x - [mm]1)/(x^2-1)[/mm]
>
> weisen an den Stellen x0 = -3  bzw.  x1 = -1 und x2 = 1  
> Polstellen auf, sind jedoch trotzdem stetig.

Puuh !

Die Funktion f(x)=1/(x+3) hat den Definitionsbereich $D= [mm] \IR \setminus \{-3\}.$ [/mm]  f ist in jedem Punkt aus D stetig. Von Stetigkeit oder Unstetigkeit von f in [mm] x_0=-3 [/mm] zu reden ist völlig unsinnig. Stetigkeit oder Unstetigkeit einer Funktion in einem Punkt ist nur sinnvoll, wenn dieser Punkt zum Def. bereich der Funktion gehört.

Die Funktion $f(x) = (2x -  [mm] 1)/(x^2-1) [/mm] $ hat den Definitionsbereich [mm] $D=\IR \setminus \{-1,1\}.$ [/mm] f ist in allen Punkten von D stetig. Die Frage nach der Stetigkeit in $ [mm] \pm [/mm] 1$ ist wieder sinnlos.



>  
> b)  Die (unecht) gebrochen-rationale Funktion
>  
> f(x) = [mm](x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] + x - 1)/(x - 1)
>  
> ist für  x0 = 1  nicht definiert, besitzt also in  x0 = 1  
> eine einpunktige Definitionslücke (dies ist jedoch keine
> Polstelle). Es gilt:
>  
> lim     f(x) = lim     f(x) = 2        (lim von links  und  
> lim von rechts gegen 1)
>  x->1-          x->1+
>  
> Damit ist die Funktion stetig.

Auch das ist nicht ganz korrekt. f hat zunächst den Def. bereich [mm] $\IR \setminus \{1\}.$ [/mm]


Setzt man die se Funktion fort durch f(1):=2, so ist diese Fortsetzung auf [mm] \IR [/mm] stetig.



>  a) Nach meiner Kenntnis sind Funktionen in den Polstellen
> nicht stetig.
>  
> b)  Nach meiner Kenntnis ist eine Funktion in einer
> hebbaren Definitionslücke    stetig fortsetzbar, aber
> nicht stetig.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de