Stetigkeit auf C[0,1] < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Framl |
| Aufgabe | Sei $C[0,1]$ der Vektorraum aller stetigen Funktionen [mm] $f:[0,1]\to\mathbb{R}$. [/mm] Sei weiterhin [mm] $g:[0,1]\to [/mm] [0,1]$ stetig.
Definiere die Funktion
[mm] $h:C[0,1]\to [/mm] C[0,1]$,
$f [mm] \mapsto f\circ [/mm] g$
Zeige: $h$ ist stetig. |
Hallo zusammen,
ich wollte mal meine Lösung zeigen, ob ich das so machen kann:
Sei [mm] $(f_n)$ [/mm] eine beliebige Funktionenfolge mit [mm] $\lim_{n\to\infty}f_n=:f$, [/mm] d.h. [mm] $\forall \varepsilon >0\:\exists N\in\mathbb{N}:\:\forall n\geq [/mm] N [mm] ||f_n-f||_{[0,1]}<\varepsilon$
[/mm]
zu zeigen ist: [mm] $\lim_{n\to\infty} h(f_n)=h(f)$.
[/mm]
Es gilt
[mm] $||h(f_n)-h(f)||_{[0,1]}=||f\circ g-f_n\circ [/mm] g [mm] ||_{[0,1]}=||(f-f_n)\circ [/mm] g [mm] ||_{[0,1]}\stackrel{g([0,1])\subseteq [0,1]}{\leq} ||f-f_n||_{[0,1]}<\varepsilon$, [/mm] d.h. [mm] $h(f_n)\to [/mm] h(f)$
Danke schonmal 
Gruß Framl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Fr 08.08.2008 | | Autor: | pelzig |
Also aus der Aufgabe geht zwar nicht hervor bzgl. welcher Norm man auf Stetigkeit untersuchen soll, aber mit der Suprememumsnorm ist es auf jeden Fall alles vollkommen richtig. Ich persönlich ziehe die [mm] $\varepsilon-\delta$-Stetigkeitsdefinition [/mm] der Folgenstetigkeit vor, aber das ändert im Kern gar nix und ist reine Geschmackssacke.
Auch gut aufgeschrieben und alles, weiter so
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Framl |
ok - danke
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