Stetigkeit berechnen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Sa 11.08.2012 | | Autor: | naj |
| Aufgabe | Welche Funktionen sind auf [mm] $(-1,\,1)$ [/mm] stetig? a ist eine beliebige Zahl.
$f(x)= [mm] \begin{cases}\arctan x &, \quad x\,\leq 0 \\a^x-1 &,\quad x\,>\, 0 \end{cases}$
[/mm]
$f(x)= [mm] \begin{cases} \ln(x+1) &, \quad x \,\geq \,0 \\ e^{x} &, \quad x\,<\,0 \end{cases}$ [/mm] |
Hallo
Ich weiß bei diesen Aufgaben nicht wirklich, wie ich da ran gehen soll. Die einzige Vermutung, die ich habe, dass ich mich über den Grenzwert annähern kann.
Im Internet finde ich immer nur den Spruch, dass eine Funktion stetig ist, wenn man den Graph ohne abzusetzen zeichnen kann. Aber das hilft mir ja erst mal wenig...
Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo naj und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zunächst einmal kann daran:
> Welche Funktionen sind auf [mm](-1,\,1)[/mm] stetig? a ist eine
> beliebige Zahl.
etwas nicht stimmen. [mm] a^x [/mm] ist ja die Exponentialfunktion, dh. a ist eine beliebige positive Zahl.
>
> [mm]f(x)= \begin{cases}\arctan x &, \quad x\,\leq 0 \\
a^x-1 &,\quad x\,>\, 0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f(x)= \begin{cases} \ln(x+1) &, \quad x \,\geq \,0 \\
e^{x} &, \quad x\,<\,0 \end{cases}[/mm]
>
> Ich weiß bei diesen Aufgaben nicht wirklich, wie ich da
> ran gehen soll.
Nun, da gibt es ja auch unterschiedliche Ebenen, auf denen so etwas ablaufen soll. Wenn man generell die Stetigkeit einer vorgelgten Funktion zeigen möchte, dann muss man das über die Definition via [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] tun.
> Die einzige Vermutung, die ich habe, dass
> ich mich über den Grenzwert annähern kann.
> Im Internet finde ich immer nur den Spruch, dass eine
> Funktion stetig ist, wenn man den Graph ohne abzusetzen
> zeichnen kann. Aber das hilft mir ja erst mal wenig...
Ja, diese Behauptung kannst du auch vergessen, weil sie mit der Definition der Stetigkeit nicht konsistent ist. Deine Vermutung mit den Grenzwerten ist richtig, und zwar ist es so, dass du jeweils die beiden Terme, aus denen die Funktionen zusammengesetzt sind, als stetig betrachten darfst, da es sich um elementare Funktionen handelt.
In beiden Fällen musst du somit nur noch untersuchen, ob an den Stellen, an denen die Funktionsterme wechseln (das ist jeweils x=0) links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen. Und die gute Nachricht ist: das geht hier durch Einsetzen, eine der Funktionen ist stetig, die andere nicht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mi 22.08.2012 | | Autor: | naj |
| Aufgabe | | $f(x)= [mm] \begin{cases}1 ; \quad x \,\leq\,0 \\ \frac{\sin x}{x} ; \quad x > \,0 \end{cases}$ [/mm] |
Dazu habe ich noch einmal eine Frage: Da ich ja nicht durch 0 teilen darf, habe ich die Regel von de l'Hospital benutzt. Somit hatte ich dann cos(x) --> stetig.
Darf ich das in dem Fall?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo naj!
Wenn ihr den Herrn de l'Hospital bereits vorgestellt habt und ihn also kennt, ist das für mich zulässig.
Gruß
Loddar
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