Stetigkeit beweise < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Do 16.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Guten Abend zusammen,
Ich soll bestimmen in welchen Punkten(im Definitionsbereich) die Folgende Funktion stetig ist.
Leider weiß ich hier keinen Ansatz :-( Ich hoffe ihr könnt mir helfen
[mm] f_1 [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch f(x) = [mm] \begin{cases} e^{-1/x}, & \mbox{fuer } x>0 \\ 0, & \mbox{fuer } x\le 0 \end{cases}
[/mm]
Ich würde jetzt beide Seiten einzeln auf ihre Stetigkeit untersuchen. Also einmal den Teil der Größer Null ist und einmal den Teil der kleiner 0 ist. Kann man das so machen oder macht das keinen Sinn? Das die Funktion stetig in allen Punkten ist, ist mir klar, da die Exponentialfunktion eine stetige Funktion ist. Aber wie kann ich das an dieser Stelle beweisen?
Hilft mir dabei die Definition der Stetigkeit? Also, dass wenn lim [mm] x_{n}=x_{0} [/mm] muss auch lim [mm] f(x_{n})=x_{0} [/mm] sein?
Danke schonmal
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> Guten Abend zusammen,
> Ich soll bestimmen in welchen Punkten(im
> Definitionsbereich) die Folgende Funktion stetig ist.
> Leider weiß ich hier keinen Ansatz :-( Ich hoffe ihr
> könnt mir helfen
>
> [mm]f_1[/mm] : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] definiert durch f(x) = [mm]\begin{cases} e^{-1/x}, & \mbox{fuer } x>0 \\ 0, & \mbox{fuer } x\le 0 \end{cases}[/mm]
>
> Ich würde jetzt beide Seiten einzeln auf ihre Stetigkeit
> untersuchen. Also einmal den Teil der Größer Null ist und
> einmal den Teil der kleiner 0 ist.
Hallo,
bei diesen Überlegungen wirst Du feststellen, daß für x>0 und x< 0 die Stetigkeit natürlich gegeben ist, weil es sich um eine Verkettung stetiger Funktionen handelt und die Nullfunktion stetig ist.
Wirklich zu untersuchen ist nur die "Nahtstelle" der beiden Äste bei x=0.
> Kann man das so machen
> oder macht das keinen Sinn? Das die Funktion stetig in
> allen Punkten ist, ist mir klar, da die
> Exponentialfunktion eine stetige Funktion ist. Aber wie
> kann ich das an dieser Stelle beweisen?
> Hilft mir dabei die Definition der Stetigkeit? Also, dass
> wenn lim [mm]x_{n}=x_{0}[/mm] muss auch lim [mm]f(x_{n})=x_{0}[/mm] sein?
An der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] schau den Grenzwert von unten und von oben an,
berechne also [mm] \lim_{x\to 0^+}f(x) [/mm] und [mm] \lim_{x\to 0^-}f(x) [/mm] .
Beide Grenzwerte müssen =f(0) sein, dann ist die Funktion stetig.
LG Angela
>
> Danke schonmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 16.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Vielen Dank für deine Antwort. Du hast natürlich recht. Wenn ich Werte aus dem negativen die ganz nah an 0 liegen einsetze erhalte ich =0 und genauso bei den positiven Werten dich an 0. und wegen lim [mm] x->0^{+}f(x) [/mm] =f(0) und lim [mm] x->0^{-}f(x) [/mm] =f(0) gilt auch :
lim [mm] x->0^{-}f(x)= [/mm] lim [mm] x->0^{+}f(x) [/mm] somit ist die Funktion stetig im Punkt [mm] x_0
[/mm]
aber reicht es wenn ich im Taschenrechner die Werte die ganz nah bei 0 liegen ablese und somit annehme das z.B lim [mm] x->0^{+}f(x) [/mm] =f(0) oder muss ich noch mehr tuen um dies zu beweisen?
LG
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Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort. Du hast natürlich recht.
> Wenn ich Werte aus dem negativen die ganz nah an 0 liegen
> einsetze erhalte ich =0 und genauso bei den positiven
> Werten dich an 0. und wegen lim [mm]x->0^{+}f(x)[/mm] =f(0) und lim
> [mm]x->0^{-}f(x)[/mm] =f(0) gilt auch :
> lim [mm]x->0^{-}f(x)=[/mm] lim [mm]x->0^{+}f(x)[/mm] somit ist die Funktion
> stetig im Punkt [mm]x_0[/mm]
> aber reicht es wenn ich im Taschenrechner die Werte die
> ganz nah bei 0 liegen ablese und somit annehme das z.B lim
> [mm]x->0^{+}f(x)[/mm] =f(0) oder muss ich noch mehr tuen um dies zu
> beweisen?
Du musst eindeutig mehr tun. Du musst insbesondere den Grenzwert
[mm] \lim_{x\downarrow\{0}}e^{-1/x}=0
[/mm]
begründen (das f(0)=0 ist, ist an dieser Stelle trivial und muss nicht extra bergündet werden, denn es ist ja vorgegeben).
Und die Idee, Analysis mit dem Taschenrechner zu machen, die ist etwa genau so sinnvoll, als wie mit irgendeinem alten 50PS-Göppel bei der Formel-1 mitzufahren...
Im Wort Analysis steckt ja schon das Grundmotiv drin, nämlich exakte Rechnungen durchzuführen. Dies wird mit dem Taschenrechner völlig konterkarriert!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Danke dir
Wo mit begründe ich denn am Besten an dieser Stelle den Grenzwert? Mit dem Epsilon Kriterium?
Also:
[mm] |e^{-1/x}-0|=|e^{-1/x}|...
[/mm]
denn irgendwie stehe ich am Schlauch wie ich an dieser Stelle am Besten weiter abschätze
LG
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Hallo Alex,
> Danke dir
> Wo mit begründe ich denn am Besten an dieser Stelle den
> Grenzwert? Mit dem Epsilon Kriterium?
> Also:
> [mm]|e^{-1/x}-0|=|e^{-1/x}|...[/mm]
Wofür auch immer die Pünktchen da stehen...
Hier steht doch gar kein [mm] \varepsilon. [/mm] So ist es doch trivial und ohne jede Aussage.
> denn irgendwie stehe ich am Schlauch wie ich an dieser
> Stelle am Besten weiter abschätze
Abschätzen kannst Du, wenn Du das [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] dann mal tatsächlich anwendest.
Einfacher ist wohl dies, mit [mm] z=\bruch{1}{x} [/mm] :
[mm] \lim_{x\to 0}e^{-\bruch{1}{x}}=\lim_{z\to\infty}e^{-z}=\cdots
[/mm]
Jeder, der schonmal mit Grenzwerten gerechnet hat, weiß (spätestens) jetzt das Ziel. Meines Erachtens kannst Du so auch den Grenzwert 0 direkt hinschreiben.
Wichtig ist aber, dass Du selbst verstehst, warum der Grenzwert 0 ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
hey
ja ich weiß was du meinst und für große Werte für z schmiegt sie diese Funktion an x=1
bin ich fertig wenn ich also diesen Grenzwert bewiesen habe?
LG
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Hallo nochmal,
> hey
> ja ich weiß was du meinst und für große Werte für z
> schmiegt sie diese Funktion an x=1
*ähem*
Nein, an die Gerade y=0.
> bin ich fertig wenn ich also diesen Grenzwert bewiesen
> habe?
Bewiesen ist er ja nicht, nur mit Vorwissen ermittelt. Für die Stetigkeitsaufgabe sollte das aber reichen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich fasse einfach mal zusammen:
Es war
$ f_1 $ : $ \IR \to \IR $ definiert durch f_\red{1}(x) = $ \begin{cases} e^{-1/x}, & \mbox{fuer } x>0 \\ 0, & \mbox{fuer } x\le 0 \end{cases} $
$f_1$ ist stetig (das wollen wir im Folgenden beweisen): Die Funktion $g \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$
definiert durch
$g(x):=e^{-1/x}$
ist nämlich als Komposition stetiger Funktionen stetig. Daher ist
insbesondere
$\left. g \right|_{(0,\infty)}$
stetig und daher auch $\left. f_1\right|_{(0,\infty)}$ ($=\left. g \right|_{(0,\infty)}$).
Analog erkennt man auch, dass $\left. f_1\right|_{(-\infty,0\red{]}}$ stetig ist - insbesondere
ist also $f_1$ auch linksstetig in $x_0=0\,.$
Wir wissen daher schon:
1.) $f_1$ ist stetig auf $(0,\infty)\,.$
2.) $f_1$ ist stetig auf $(-\infty,0)\,.$
3.) $f_1$ ist linksstetig in $x_0=0\,.$
Um zu erkennen, ob $f_1$ nun also insgesamt stetig genannt werden kann
(d.h., $f\,$ ist stetig in allen Punkten des Def.-Bereichs), muss also noch
überprüft werden, ob $f_1$ auch rechtsstetig in $x_0=0$ ist:
Mit $z:=1/x$ (für $x > 0$) folgt
$\lim_{0 < x \to 0}f_1(x)=\lim_{0 < z \to \infty} f_1(1/z)=\lim_{0 < z \to \infty} e^{-z}=\lim_{0 < z \to \infty} \frac{1}{e^z}=0=f_1(0),$
also folgt...
Gruß,
Marcel
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