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Stetigkeit beweise: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Sa 25.01.2014
Autor: AnnaHundi

Heyho :-)
ich beschäftige mich momentan mit dem Thema Stetigkeit und einer Aufgabe um diese zu beweisen. Es geht darum, für die Funktion [mm] f(x)=x^{x} [/mm] mit x>0 und f(0):=1( im Definitionsbereich D:={x [mm] \in \IR [/mm] | x>0} ) zu beweisen, dass diese auf ganz D stetig ist
mein Ansatz:
für Stetigkeit allgemein gilt ja:
aus [mm] x_{n}->x_{0} [/mm] folgt, dass  [mm] f(x_{n})->f(x_{0}) [/mm]
ich würde dies mit Hilfe das Delta-Epsilon Kriteriums beweisen-macht dies Sinn?
also:
Wir müssen zeigen, dass aus [mm] |x-x_{0}|<\delta [/mm] folgt, dass [mm] |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon [/mm]
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|x^{x}-x_{0}^{x_{0}}|=|e^{ln(x)*x}-e^{ln(x_{0})*x_{0}}=... [/mm]
leider weiß ich an dieser Stelle nicht weiter. Ich würde mich über eure Hilfe freuen.
LG
AnnaHundi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Sa 25.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

für x>0 brauchst du eigentlich nichts zeigen, sondern kannst so begründen, warum $f(x) = [mm] x^x [/mm] = [mm] e^{x*\ln(x)}$ [/mm] stetig ist.

Bleibt also nur die Stetigkeit an 0 zu zeigen, das machst du am Besten mit dem Folgenkriterium und läuft auf die Bestimmung von

[mm] $\lim_{x\to 0} x*\ln(x)$ [/mm] hinaus. Das bekommst du wohl hin.

Gruß,
Gono.

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Sa 25.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey
> Hiho,
>  
> für x>0 brauchst du eigentlich nichts zeigen, sondern
> kannst so begründen, warum [mm]f(x) = x^x = e^{x*\ln(x)}[/mm]
> stetig ist.

da es eine Komposition stetiger Funktionen ist, oder?

> Bleibt also nur die Stetigkeit an 0 zu zeigen, das machst
> du am Besten mit dem Folgenkriterium und läuft auf die
> Bestimmung von
>
> [mm]\lim_{x\to 0} x*\ln(x)[/mm] hinaus. Das bekommst du wohl hin.

was ich nicht verstehe:
der Definitonsbereich ist doch x>0, wieso soll ich dann zeigen, dass die Funktion auch im Punkt 0 stetig ist? bzw. Wieso ist f(0)=1 überhaupt angegeben?
und was meinst du genau mit Folgenkriterium? tut mir leid das ich Frage, aber dieses Kapitel sollten wir im Selbststudium erarbeiten und im Internet finde ich leider nichts unter dem Begriff Folgenkriterium..

LG
AnnaHundi


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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Sa 25.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  da es eine Komposition stetiger Funktionen ist, oder?

[ok]

> was ich nicht verstehe:
>  der Definitonsbereich ist doch x>0, wieso soll ich dann zeigen, dass die Funktion auch im Punkt 0 stetig ist? bzw. Wieso ist f(0)=1 überhaupt angegeben?

Die Funktion ist wie folgt definiert:

$f(x) = [mm] \begin{cases} x^x &\mbox{für } x>0 \\ 1 &\mbox{für } x=0 \end{cases}$ [/mm]

Die Funktion ist also definiert [mm] $f:[0,\infty) \to \IR$. [/mm]

>  und was meinst du genau mit Folgenkriterium?

Das gilt: [mm] $\lim_{x \to x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0)$ [/mm] Für [mm] $x_0 \in (0,\infty)$ [/mm] wissen wir ja schon, dass das gilt, bleibt das also für x=0 zu zeigen.

Gruß,
Gono.

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey
meinst du vielleicht so:
lim [mm] f(x)_{x->0}=lim x^{x}_{x->0}=1= [/mm] f(0)
heißt:
lim [mm] f(x)_{x->0}=f(0) [/mm]
reicht das als Beweis?

LG

PS: entschuldigt die schlechte Formatierung, ich kenne mich leider noch nicht so aus

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 So 26.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo AnnaHundi,


> Hey
>  meinst du vielleicht so:
>  lim [mm]f(x)_{x->0}=lim x^{x}_{x->0}=1=[/mm] f(0)
>  heißt:
> lim [mm]f(x)_{x->0}=f(0)[/mm]
>  reicht das als Beweis?
>  
> LG
>  PS: entschuldigt die schlechte Formatierung, ich kenne
> mich leider noch nicht so aus

Zunächst zur Formatierung:

Du kannst dir mal den Quellcode von den Texten angucken,
dann merkst du ganz schnell wie so etwas geht.

Unabhängig von deiner Formatierung konnte ich erkennen,
dass du es falsch gemacht hast.

Zu zeigen:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=1 [/mm]

Es gilt:

      [mm] f(x)=x^x=e^{x*\ln(x)} [/mm]

Außerdem ist die Funktion $f$ als Exponentialfunktion stetig,
sodass du eigentlich nur noch folgendes zeigen musst:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}e^{x*\ln(x)}=e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)}=1. [/mm]

Das ist nur dann erfüllt, wenn folgendes gilt:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=0 [/mm] - Warum?

Hast du eine Idee wie man das zeigen kann?

Viel wichtiger - Hast du verstanden wieso wir so vorgehen?


Gruß
DieAcht

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey, danke für deine nette Hilfe. das nehme ich mir gleich zu Herzen :-)

> Es gilt:
>  
> [mm]f(x)=x^x=e^{x*\ln(x)}[/mm]
>  
> Außerdem ist die Funktion [mm]f[/mm] als Exponentialfunktion
> stetig,
>  sodass du eigentlich nur noch folgendes zeigen musst:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}e^{x*\ln(x)}=e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)}=1.[/mm]
>  
> Das ist nur dann erfüllt, wenn folgendes gilt:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=0[/mm] - Warum?

wegen [mm] e^{0}=1 [/mm]

>  
> Hast du eine Idee wie man das zeigen kann?

mein Vorschlag:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x) [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x *\limes_{x\rightarrow 0}ln(x) [/mm]
= 0 * [mm] \limes_{x\rightarrow 0}ln(x) [/mm]
=0


kann man das so zeigen?

> Viel wichtiger - Hast du verstanden wieso wir so vorgehen?

Ja das habe ich hoffentlich. Danke :-)

Anna Hundi

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 So 26.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo nochmal,


> Hey, danke für deine nette Hilfe. das nehme ich mir gleich
> zu Herzen :-)
>  
> > Es gilt:
>  >  
> > [mm]f(x)=x^x=e^{x*\ln(x)}[/mm]
>  >  
> > Außerdem ist die Funktion [mm]f[/mm] als Exponentialfunktion
> > stetig,
>  >  sodass du eigentlich nur noch folgendes zeigen musst:
>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)=\limes_{x\rightarrow 0}e^{x*\ln(x)}=e^{\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)}=1.[/mm]
>  
> >  

> > Das ist nur dann erfüllt, wenn folgendes gilt:
>  >  
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=0[/mm] - Warum?
>  
> wegen [mm]e^{0}=1[/mm]

[ok]

>
> >  

> > Hast du eine Idee wie man das zeigen kann?
>  
> mein Vorschlag:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=0[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x[/mm]
> *
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 0}ln(x)=[/mm] 0 * [mm]\limes_{x\rightarrow 0}ln(x)=0[/mm]
>  
>
> kann man das so zeigen?

Nein, denn du erhältst also sowas wie [mm] -\infty*0 [/mm] und das kann alles sein!

Unabhängig von dieser Aufgabe solltest du aber wissen, dass folgendes gilt:

Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge.

Die Logarithmusfunktion ist aber nicht beschränkt.

Tipp:

      [mm] \ln(x)*x=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} [/mm]

Jetzt wieder du!

> > Viel wichtiger - Hast du verstanden wieso wir so vorgehen?
>  
> Ja das habe ich hoffentlich. Danke :-)
>  
> Anna Hundi

Formatierung passt :-)


Gruß
DieAcht

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey
danke für den Tipp :-)

> Tipp:
>  
> [mm]\ln(x)*x=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}[/mm]
>  
> Jetzt wieder du!

Also ich hätte jetzt wieder geschrieben:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x) [/mm] = [mm] \frac{\limes_{x\rightarrow 0}x}{\limes_{x\rightarrow 0}ln(x)} [/mm]
aber das bringt mich auch nicht weiter, oder?


LG

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 So 26.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Hey danke für den Tipp :-)

> > Tipp:
>  >  
> > [mm]\ln(x)*x=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}[/mm]
>  >  
> > Jetzt wieder du!

> Also ich hätte jetzt wieder geschrieben:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)[/mm] =
> [mm]\frac{\limes_{x\rightarrow 0}x}{\limes_{x\rightarrow 0}ln(x)}[/mm]

Es muss heißen:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\ln(x)*x=\limes_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} [/mm]

Was gilt für die folgenden Grenzwerte?

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\ln(x) [/mm]

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x} [/mm]

Jetzt muss doch aber was merken. :-)


Gruß
DieAcht

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey
oh irgenwie stehe ich am Schlauch :-(
also [mm] \limes_{x\rightarrow 0}1/x [/mm]  = [mm] \infty [/mm] oder?
und [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\ln(x) [/mm] = ?? eine negative Zahl

worauf willst du denn hinaus?


LG

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 So 26.01.2014
Autor: DieAcht

Hi,


> Hey oh irgenwie stehe ich am Schlauch :-(
> also [mm] \limes_{x\rightarrow 0}1/x=\infty [/mm] oder?

[notok]

Es gilt:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty [/mm]

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty [/mm]

      [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\not=\infty [/mm]

Wie ist deine Abbildung $f$ definiert?

Was brauchst du hier?

>  und [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\ln(x)= [/mm] ?? eine negative Zahl

Es gilt:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\ln(x)=-\infty [/mm]

> worauf willst du denn hinaus?

L'Hospital ;-)


Gruß
DieAcht


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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey

tut mir leid L'Hospital hatten wir leider noch nicht. darf ich daher nicht verwenden. gibt es noch eine weiter Möglichkeit?


Liebe Grützlis
AnnaHundi

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 So 26.01.2014
Autor: DieAcht

Hi,


> Hey
>  
> tut mir leid L'Hospital hatten wir leider noch nicht. darf
> ich daher nicht verwenden. gibt es noch eine weiter
> Möglichkeit?

Substituiere [mm] x:=e^{-y} [/mm] und benutze die Reihendarstellung.


Gruß
DieAcht

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey
meinst du die Reihendarstellung von [mm] \sum_{n=0}^{\infty}x* [/mm] ln(x) ?

LG

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 So 26.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Nein, das meine ich nicht. Das ist auch komplett falsch!

Setze [mm] x:=e^{-y}, [/mm] dann gilt:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=\limes_{y\rightarrow\infty}(-y)e^{-y} [/mm]

Weißt du wieso das gilt?

Hast du nun eine Idee?


Gruß
DieAcht

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey
Der Grenzwert ist wahrscheinlich =0
das für Große y die Funktion [mm] e^{-y} [/mm] gegen 0 verläuft. Die Funktion g(x)=-y verläuft allerdings für große y gegen [mm] -\infty [/mm]
daher könnte ich mir den Grenzwert auch so nicht erklären. und g(x) ist ja auch leider keine beschränkte Teilfolge


LG

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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 So 26.01.2014
Autor: DieAcht

Hi,


> Hey
> Der Grenzwert ist wahrscheinlich =0

Ja, das ist zu zeigen.

> das für Große y die Funktion [mm]e^{-y}[/mm] gegen 0 verläuft.

[ok]

> Die Funktion g(x)=-y verläuft allerdings für große y
> gegen [mm]-\infty[/mm]

[ok]

>  daher könnte ich mir den Grenzwert auch so nicht
> erklären.
> und g(x) ist ja auch leider keine beschränkte
> Teilfolge

[ok]

Mit [mm] x:=e^{-y} [/mm] gilt:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=\limes_{y\rightarrow\infty}-ye^{-y}=-\limes_{y\rightarrow\infty}\frac{y}{e^y} [/mm]

Obwohl du es nicht machen darfst, sollte dir auch hier klar sein,
dass du eigentlich L'Hospital verwenden könntest.

Das wollen wir aber nicht, deshalb hier mein nächster Tipp:

      [mm] \frac{y}{e^y}=\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}} [/mm]


Gruß
DieAcht

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Stetigkeit beweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

Hey
> [mm]\frac{y}{e^y}=\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}[/mm]

im Nenner ist ja jetzt die konvergente Reihe der e-Funktion. Im Zähler stehtv g(y)=y und y ist ja gleichzeitig ein Teil der Partialsummenfolge der Exponentialreihe. Bringt mit das in diesem Zusammenhang was?


LG


Bezug
                                                                                                                                                        
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Stetigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 So 26.01.2014
Autor: DieAcht


> Hey
> >
> [mm]\frac{y}{e^y}=\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}[/mm]
>  
> im Nenner ist ja jetzt die konvergente Reihe der
> e-Funktion. Im Zähler stehtv g(y)=y und y ist ja
> gleichzeitig ein Teil der Partialsummenfolge der
> Exponentialreihe. Bringt mit das in diesem Zusammenhang
> was?

Ja.

Dein Ziel ist doch folgendes zu zeigen:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=0 [/mm]

Wir haben äquivalent, mit der Substitution [mm] x:=e^{-y}, [/mm] umgeformt:

      [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)=-\limes_{y\rightarrow\infty}\frac{y}{e^y}=-\limes_{y\rightarrow\infty}\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}} [/mm]

Also ist zu zeigen, dass folgendes gilt:

      [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}=0 [/mm]

Wir wollen nun den Grenzwert erhalten für $y$ gegen [mm] \infty. [/mm]
Da wir einen Bruch haben liegt die Idee nahe den Bruch zu vergrößern.
Einen Bruch kann man vergrößern, in dem man den Nenner verkleinert!

Es gilt:

      [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}=\frac{y^0}{0!}+\frac{y^1}{1!}+\frac{y^2}{2!}+\ldots>\frac{y^2}{2!}=\frac{y^2}{2} [/mm]

Damit folgt:

      [mm] \frac{y}{\summe_{n=0}^{\infty}\frac{y^n}{n!}}<\frac{y}{\frac{y^2}{2}}=\frac{2}{y}\longrightarrow 0,y\to\infty. [/mm]

Alles klar?


Gruß
DieAcht

Bezug
                                                                                                                                                                
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Stetigkeit beweise: jap
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 So 26.01.2014
Autor: AnnaHundi

vielen Dank! du hast mir sehr weitergeholfen

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