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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit der Norm
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Stetigkeit der Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 So 31.07.2016
Autor: phifre

Aufgabe
Wahr oder falsch?
Ist V ein normierter [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] -Vektorraum, so ist die Norm [mm] $$x\mapsto\|x\|$$ [/mm] eine stetige Funktion von V nach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm]

Hallo!

Ich weiß bei der Frage leider nicht so recht, wie sich das beweisen lässt.. Naheliegend wäre zu zeigen, dass die Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Leider gibt es in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] so viele verschiedene Arten von offenen Menge, dass mir das aber auch fast unmöglich erscheint.
Die Aufgabe sieht übrigens keine spezielle, sondern eine allgemeine Norm vor.
Irgendwelche Ideen?

Vielen Dank!

        
Bezug
Stetigkeit der Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 So 31.07.2016
Autor: fred97


> Wahr oder falsch?
>  Ist V ein normierter [mm]$\mathbb{R}$[/mm] -Vektorraum, so ist die
> Norm [mm]x\mapsto\|x\|[/mm] eine stetige Funktion von V nach
> [mm]$\mathbb{R}$[/mm]
>  Hallo!
>  
> Ich weiß bei der Frage leider nicht so recht, wie sich das
> beweisen lässt.. Naheliegend wäre zu zeigen, dass die
> Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Leider gibt es
> in [mm]\mathbb{R}[/mm] so viele verschiedene Arten von offenen
> Menge, dass mir das aber auch fast unmöglich erscheint.
> Die Aufgabe sieht übrigens keine spezielle, sondern eine
> allgemeine Norm vor.
>  Irgendwelche Ideen?

Ja ! Aus der Dreiecksungleichung folgt

(*) $ [mm] {\Big |}\|x\|-\|y\|{\Big |}\leq \|x- y\|$, [/mm]

die sogenannte umgekehrte Dreiecksungleichung.

Aus (*) folgt ratzfatz die Stetigkeit der Norm. Wie ?

FRED

>  
> Vielen Dank!


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit der Norm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 So 31.07.2016
Autor: phifre

Wunderbar, vielen Dank!

Dann wählt man [mm] $x,y\in [/mm] V$ mit [mm] $\|x-y\|<\varepsilon\eqqcolon$ [/mm] damit gilt
[mm] $$\big|\,\|x\|-\|y\|\,\big|\leq\|x-y\|<\varepsilon$$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit der Norm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 So 31.07.2016
Autor: fred97


> Wunderbar, vielen Dank!
>  
> Dann wählt man [mm]x,y\in V[/mm] mit [mm]\|x-y\|<\varepsilon\eqqcolon[/mm]
> damit gilt
>  [mm]\big|\,\|x\|-\|y\|\,\big|\leq\|x-y\|<\varepsilon[/mm]

ja. das zeigt, dass die Norm sogar Lipschitz stetig ist.
, mit Lipschitz konstante 1.

fred

f


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