Stetigkeit einer Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Di 03.11.2009 | | Autor: | Petsi |
| Aufgabe | (a) Seien (X,O) und (Y, T ) topologische R¨aume und f : X ! Y eine Abbildung.
Zeigen Sie, dass die drei folgenden Aussagen ¨aquivalent sind.
1. Die Funktion f ist stetig,
2.[mm] f^{-1} (\tilde B) \subset \tilde{ (f^(−1)(B))} [/mm] für alle [mm] B \subset Y [/mm],
3.[mm]\overline{ f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(\overline{B}) [/mm] für alle [mm] B \subset Y[/mm] .
(b) Finden Sie eine stetige Abbildung f, sodass f−1(B^°) 6= (f^-1(B))^°[/mm] |
Hallo!
Momentan bin ich noch nicht so fit in Topologie und mir fehlt hier noch ein Ansatz wie ich die Aufgabe am besten löse!
Könntet ihr mir evtl dabei helfen?
Bei 3. soll das der Abschluss von f^-1(B) Teilmenge f^-1 (Abschluss von B) heißen, bei 2. f^-1(offenen Kern von B) Teilmenge vom offenen Kern von (f^-1(B))
Also zu 2. das bedeutet ja, dass das Urbild einer offenen Menge wieder eine offene Menge ist, so hatten wir die Stetigkeit definiert, kann man das so sagen oder muss ich eben genau das zeigen?
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal "1. [mm] \Rightarrow [/mm] 2." vor:
Sei $ B [mm] \subset [/mm] Y $ und [mm] x_0 \in f^{-1}(B^o). [/mm] Dann ist also [mm] f(x_0) \in B^o. [/mm] Da f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, ex. eine offene Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] mit:
$f(U) [mm] \subseteq B^o$
[/mm]
Dann ist
$U [mm] \subseteq f^{-1}(B^o) \subseteq f^{-1}(B)$
[/mm]
Damit ist [mm] x_0 [/mm] ein innerer Punkt von [mm] f^{-1}(B), [/mm] also [mm] x_0 \in (f^{-1}(B))^o
[/mm]
Fazit: [mm] f^{-1}(B^o) \subseteq (f^{-1}(B))^o
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:15 Di 03.11.2009 | | Autor: | Petsi |
Ok danke das habe ich verstanden!
wenn ich jetzt 2=>3 machen will, kann ich dann das Komplement von [mm] \overline{f^{-1}(B)} [/mm] betrachten, indem ich sage dass dieses offen ist?
Aber wie genau fahre ich dann fort?
Oder bin ich da auf dem falschen Weg?
Also habe mir nochmal etwas dazu überlegt:
[mm]\overline{B} \subset Y [/mm] ist abgeschlossen => [mm] (\overline{B})^c [/mm] ist offen in Y => [mm] f^{-1}((\overline{B})^c ) [/mm] ist offen, was wir aus Teilaufgabe a wissen => [mm] (f^{-1}((\overline{B})^c ))^c [/mm] ist abgeschlossen => also liegt ein [mm] x \in X [/mm] entweder in [mm] f^{-1}(\overline{B}) [/mm] oder in [mm] f^{-1}((\overline{B})^c ) [/mm]
ist wäre das ok so?
Vielen Dank schonmal!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 05.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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