Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:29 Mo 17.12.2007 | | Autor: | alexalex |
| Aufgabe | Aufgabe 3: Sei f : [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
(i) f(x + [mm] y)\le [/mm] f(x)* f (y) für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
(ii) f(0) = 1
(iii) f ist an der Stelle 0 stetig.
Zeigen Sie, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist.
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Guten Tag!
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und finde keinen Ansatz die Behauptung zu beweisen.
Die Eigenschaften (ii) und (iii) sind ja klar, aber was kann ich denn aus (i) schließen?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Mfg AlexAlex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mo 17.12.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Aufgabe 3: Sei f : [mm]\IR \to \IR[/mm] eine Funktion mit folgenden
> Eigenschaften:
>
> (i) f(x + [mm]y)\le[/mm] f(x)* f (y) für alle x,y [mm]\in \IR[/mm]
> (ii) f(0)
> = 1
> (iii) f ist an der Stelle 0 stetig.
>
> Zeigen Sie, dass f auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und finde keinen Ansatz
> die Behauptung zu beweisen.
> Die Eigenschaften (ii) und (iii) sind ja klar, aber was
> kann ich denn aus (i) schließen?
Mit (i) kann man (hoffentlich) sozusagen die Stetigkeit bei 0 an die Stelle x tranportieren. Es ist doch
f(x) = f(x/2 + x/2) [mm]\le[/mm] f(x/2)* f(x/2) = [mm] f(x/2)^{2}
[/mm]
und weiter auch
f(x) = f(x/n + x/n + ... + x/n) = ?
Versuch mal, ob da was geht, ich mach lieber Feierabend.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Di 18.12.2007 | | Autor: | alexalex |
Also, ich kann zeigen, dass alle Funktionswerte positiv sein müssen, weiter bin ich aber noch nicht:
[mm] \forall [/mm] x, -x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
f(x - x) [mm] \le f(x)\*f(-x)
[/mm]
1 [mm] \le f(x)\*f(-x)
[/mm]
Kann man das so zeigen und hilft das überhaupt?
Ich wäre sehr dankbar für weitere Anregungen.
Mfg AlexAlex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Di 18.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also, ich kann zeigen, dass alle Funktionswerte positiv
> sein müssen, weiter bin ich aber noch nicht:
>
> [mm]\forall[/mm] x, -x [mm]\in \IR[/mm] gilt:
>
> f(x - x) [mm]\le f(x)\*f(-x)[/mm]
>
> 1 [mm]\le f(x)\*f(-x)[/mm]
>
> Kann man das so zeigen und hilft das überhaupt?
Das stimmt schon, aber daraus kannst du nur schließen, dass f(x) und f(-x) das gleiche Vorzeichen haben. Du brauchst die Stetigkeit, um aus f(0)=1 auf f(x)>0 zu schließen.
Dieter hat dir doch den Hinweis gegeben: nimm das [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium: du weisst, dass es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] existiert, sodass
[mm]|f(y) - f(0)| <\varepsilon[/mm], wenn [mm]|y-0|<\delta[/mm].
So, und jetzt betrachtest du die Stelle x:
[mm] |f(x+y) -f(x) | = \dots [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Lughor |
| f(x+y) - f(x) | [mm] \le [/mm] | f(x) * f(y) - f(x) |
= | f(x) | * | f(y) - 1 | und | f(y) - 1 | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also bekommen wir
| f(x) | * | f(y) - 1 | < | f(x) | * [mm] \varepsilon
[/mm]
Wie kann man da jetzt weiter gehen?
Wir können sicher nicht annehmen, dass f(x)<1 ist und eine feste Schranke für f(x) haben wir auch nicht. [mm] \varepsilon [/mm] neu zu definieren als das alte [mm] \varepsilon [/mm] mal |f(x)| geht da doch auch nicht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 19.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> | f(x+y) - f(x) | [mm]\le[/mm] | f(x) * f(y) - f(x) |
> = | f(x) | * | f(y) - 1 | und | f(y) - 1 | < [mm]\varepsilon[/mm]
Hier habe ich so meine Bedenken. Aus f(x+y) [mm] \le [/mm] f(x)*f(y) folgt zwar f(x+y) - f(x) [mm] \le [/mm] f(x)*f(y) - f(x), aber jetzt darf ich nicht einfach so zu den Beträgen übergehen.
Was geht, ist:
Aus f(x) = f(x - [mm] x_{0} [/mm] + [mm] x_{0}) \le [/mm] f(x - [mm] x_{0})*f(x_{0})
[/mm]
folgt
f(x) - [mm] f(x_{0}) \le [/mm] (f(x - [mm] x_{0}) [/mm] - [mm] 1)*f(x_{0})
[/mm]
Jetzt ist [mm] f(x_{0}) [/mm] der Wert von f an der Stelle [mm] x_{0}, [/mm] die ich untersuchen will, und folglich fest. Wenn x außerdem dicht bei [mm] x_{0} [/mm] liegt, wird der 1. Faktor beliebig klein wg. der Stetigkeit bei 0. Also kriege ich die rechte Seite beliebig nahe an 0.
Jetzt ist mir im Moment aber nicht klar, wie ich an die andere Abschätzung komme, denn ich brauche ja eine Abschätzung für den Betrag.
Wem fällt dazu schnell was ein?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Mi 19.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dieter!
> Hallo!
>
> > | f(x+y) - f(x) | [mm]\le[/mm] | f(x) * f(y) - f(x) |
> > = | f(x) | * | f(y) - 1 | und | f(y) - 1 | <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Hier habe ich so meine Bedenken. Aus f(x+y) [mm]\le[/mm] f(x)*f(y)
> folgt zwar f(x+y) - f(x) [mm]\le[/mm] f(x)*f(y) - f(x), aber jetzt
> darf ich nicht einfach so zu den Beträgen übergehen.
Es geht mit folgender Überlegung: falls [mm]f(x+y) - f(x)>0[/mm] ist, darf ich das so machen. Falls [mm]f(x+y) - f(x)<0[/mm] ist, benenne ich die Variablen um: [mm]x_1=x+y[/mm], [mm]y_1=-y[/mm] und habe damit [mm]f(x_1+y_1) - f(x_1)>0[/mm], also auf den anderen Fall zurückgeführt.
>
> Was geht, ist:
> Aus f(x) = f(x - [mm]x_{0}[/mm] + [mm]x_{0}) \le[/mm] f(x - [mm]x_{0})*f(x_{0})[/mm]
> folgt
> f(x) - [mm]f(x_{0}) \le[/mm] (f(x - [mm]x_{0})[/mm] - [mm]1)*f(x_{0})[/mm]
> Jetzt ist [mm]f(x_{0})[/mm] der Wert von f an der Stelle [mm]x_{0},[/mm] die
> ich untersuchen will, und folglich fest. Wenn x außerdem
> dicht bei [mm]x_{0}[/mm] liegt, wird der 1. Faktor beliebig klein
> wg. der Stetigkeit bei 0. Also kriege ich die rechte Seite
> beliebig nahe an 0.
>
> Jetzt ist mir im Moment aber nicht klar, wie ich an die
> andere Abschätzung komme, denn ich brauche ja eine
> Abschätzung für den Betrag.
Brauchen wir die wirklich? Wir wollen ja nicht die gleichmäßige Stetigkeit beweisen, daher kann unser [mm]\delta[/mm] von [mm]x_0[/mm] abhängen. Wenn also [mm]|f(x) - f(x_{0})|<\varepsilon [/mm] sein soll, muss [mm]|f(x - x_{0}) - 1|<\bruch{\varepsilon}{|f(x_0)|}[/mm] sein, und dazu lässt wegen der Stetigkeit in 0 sich ein passendes [mm]\delta[/mm] immer finden.
Viele Grüße
Rainer
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