Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 11.12.2010 | | Autor: | CodeX |
| Aufgabe | Wo ist die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ Q} \\ 1-x, & \mbox{für } x \mbox{ R\Q} \end{cases}
[/mm]
stetig? Beweisen Sie dieses. |
Hallo Matheraum,
ich benötige Hilfe bei der Aufgabe. Ich weiß keinen Ansatz um die Stetigkeit (oder Unstetigkeit) nachzuweisen. Ich weiß auch nicht inwiefern sich die Funktion von der Dirichletfunktion unterscheidet im Bezug auf die Stetigkeit. Meine erste Idee war, dass bei x=0,5 eine Stetigkeit sein könnte, da dort die Funktionswerte gleich sind, aber ich habe keine Ahnung, ob das so stimmt oder überhaupt in die richtige Richtung geht. Ich bitte um eure Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen,
CodeX
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wo ist die Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ Q} \\ 1-x, & \mbox{für } x \mbox{ R \ Q} \end{cases}[/mm]
>
> stetig? Beweisen Sie dieses.
Da Q dicht in R liegt und [mm] R\setminus [/mm] Q ebenfalls, findest du in jeder Umgebung eines Punktes aus Q auch Punkte aus R [mm] \setminus [/mm] Q und in jeder Umgebung eines Punktes aus R [mm] \setminus [/mm] Q auch Punkte aus Q.
Das bedeutet, dass die Funktion in jedem offenen Intervall unendlich oft vom Graphen von x auf den von 1-x und umgekehrt springt. Daher ist die Funktion überall (bis auf die Einschränkung unten) unstetig.
Du hast nun Recht: Für x = 0,5 kommt kein Sprung zu Stande, und wenn du - bei vorgegebenen [mm] \epsilon [/mm] - die Umgebung von x=0,5 als [mm] (0,5-\epsilon [/mm] /2 | [mm] 0,5+\epsilon [/mm] /2) wählst, ist der Sprung von einem zum anderen Graphen < [mm] \epsilon. [/mm] Also ist die Funktion bei x = 0,5 stetig.
> Hallo Matheraum,
>
> ich benötige Hilfe bei der Aufgabe. Ich weiß keinen
> Ansatz um die Stetigkeit (oder Unstetigkeit) nachzuweisen.
> Ich weiß auch nicht inwiefern sich die Funktion von der
> Dirichletfunktion unterscheidet im Bezug auf die
> Stetigkeit. Meine erste Idee war, dass bei x=0,5 eine
> Stetigkeit sein könnte, da dort die Funktionswerte gleich
> sind, aber ich habe keine Ahnung, ob das so stimmt oder
> überhaupt in die richtige Richtung geht. Ich bitte um eure
> Hilfe.
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> Mit freundlichen Grüßen,
> CodeX
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Nimm eine rationale Folge [mm] (r_n) [/mm] mit Grenzwert [mm] x_0 [/mm] und ebenso eine irrationale Folge [mm] (i_n) [/mm] mit Grenzwert [mm] x_0. [/mm]
Schau nach was [mm] (f(r_n)) [/mm] und [mm] f(i_n)) [/mm] treiben. Dann siehst Du: f ist stetig in [mm] x_0 \gdw x_0=1/2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 So 12.12.2010 | | Autor: | CodeX |
Wenn ich das so betrachte, komme ich doch auf die Stetigkeit der beiden einzelnen Funktionen. Reicht es dann zu sagen, das beide bei x0 = 0.5 eine Stetigkeit aufweisen, die gesamte Funktion also stetig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 So 12.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Wenn ich das so betrachte, komme ich doch auf die
> Stetigkeit der beiden einzelnen Funktionen. Reicht es dann
> zu sagen, das beide bei x0 = 0.5 eine Stetigkeit aufweisen,
> die gesamte Funktion also stetig ist?
Nein, erstens hast Du nur eine Funktion und zweitens ist diese ausschließlich an der Stelle [mm] x_0=\br{1}{2} [/mm] stetig und sonst nirgendwo.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich das so betrachte, komme ich doch auf die
> Stetigkeit der beiden einzelnen Funktionen. Reicht es dann
> zu sagen, das beide bei x0 = 0.5 eine Stetigkeit aufweisen,
> die gesamte Funktion also stetig ist?
Warum machst Du nicht mal das, was ich Die geraten habe ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 So 12.12.2010 | | Autor: | CodeX |
Ich dachte das habe ich:
[mm] x_{n} \in [/mm] Q [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0}
[/mm]
[mm] y_{n} \in [/mm] R/Q [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_{n} [/mm] = [mm] y_{0}
[/mm]
[mm] f(x_{n}) [/mm] = [mm] x_{n}
[/mm]
[mm] f(y_{n}) [/mm] = 1 - [mm] y_{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] x_{0}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(y_{n}) [/mm] = 1 - [mm] y_{0}
[/mm]
für [mm] x_{0} [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] = 1/2 ist die Funktion stetig.
So?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich dachte das habe ich:
>
> [mm]x_{n} \in[/mm] Q [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] =
> [mm]x_{0}[/mm]
> [mm]y_{n} \in[/mm] R/Q [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}[/mm] =
> [mm]y_{0}[/mm]
Nein.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm]
>
> [mm]f(x_{n})[/mm] = [mm]x_{n}[/mm]
> [mm]f(y_{n})[/mm] = 1 - [mm]y_{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = [mm]x_{0}[/mm]
Nein ! Nur
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = [mm]x_{0}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(y_{n})[/mm] = 1 - [mm]y_{0}[/mm]
Nein
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(y_{n})[/mm] = 1 - [mm]x_{0}[/mm]
>
> für [mm]x_{0}[/mm] = [mm]y_{0}[/mm] = 1/2 ist die Funktion stetig.
Nein
für [mm]x_{0}[/mm] = [mm]1-x_{0}[/mm] ist die Funktion stetig.
FRED
>
>
>
> So?
>
>
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