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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt werden:
$f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}$ [/mm] |
Hallo,
kurz zur ersten Zeile der Aufgabenstellung: ist damit der Ursprung gemeint oder die Situation(en), wenn die Funktion den y-Wert 0 annimmt?
Ich hoffe, dass ich mit diesem Hinweis dann die Aufgabe erfolgreich lösen kann.
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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> Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt
> werden:
Bedeutet: An der Stelle 0.
Bedeutet: Wenn x=0.
Bei der Frage nach der Stetigkeit fragt man eigentlich immer "stetig in .....?" und diese Pünktchen sagen, wo die zu untersuchende STELLE ist, was wiederum die Standardformulierung für einen x-Wert ist.
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> kurz zur ersten Zeile der Aufgabenstellung: ist damit der
> Ursprung gemeint oder die Situation(en), wenn die Funktion
> den y-Wert 0 annimmt?
>
> Ich hoffe, dass ich mit diesem Hinweis dann die Aufgabe
> erfolgreich lösen kann.
>
Naja, es war ja eine "entweder-oder" Frage, die du da gestellt hast..... wenn du hoffst, sie mit der Antwort darauf lösen zu können, müsstest du für eine der beiden Interpretationen ja schon eine Lösung haben  .
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
lg weightgainer
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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt werden:
$f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}$ [/mm] |
Servus weightgainer,
> Naja, es war ja eine "entweder-oder" Frage, die du da
> gestellt hast..... wenn du hoffst, sie mit der Antwort
> darauf lösen zu können, müsstest du für eine der beiden
> Interpretationen ja schon eine Lösung haben .
kein Wort mehr ohne meinen Anwalt.
Ich muss also zeigen, dass die Funktion in [mm] $x=0\!\$ [/mm] stetig ist und da $0 [mm] \not\in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\},$ [/mm] gilt "sonst", also muss ich den Ursprung (0|0) betrachten.
Im Moment versuche ich Parallelen zu einer Aufgabe vom vorherigen Ü-Blatt zu ziehen (Link-Text), aber anscheinend herrschen da doch große Unterschiede...
Falls es nicht zuviel verlangt ist, wäre ein kleiner Hinweis bzgl. dem richtigen Ansatz bei dieser Aufgabe wirklich sehr nett.
> lg weightgainer
Auf jeden Fall vielen Dank für die Mühe.
Gruß
el_grecco
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Eigendlich ist die Stetigkeit hier recht einfach zu zeigen.
Du könntest die Standarddefinition abklappern (zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ...), du könntest z.B. das Folgenkriterium benutzen, du könntest sicher auch noch nen anderen Weg finden die Stetigkeit zu zeigen.
Der Punkt ist: Such dir ein Kriterium (oder die Definition selbst) aus und wende es einfach stur auf deine Funktion an.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt werden:
$ f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases} $ |
Hallo Info-Kollege Schadowmaster,
ich riskiere es mal über das Folgenkriterium:
$f\colon D\to \IR$ ist stetig in $x_{0} \in D,$ wenn für jede Folge $(x_{k})_{k \in \IN}$ mit Elementen $x_k\in D,$ die gegen $x_{0}$ konvergiert, auch $f(x_{k})$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.
Fall $0<x\le1$
$f(x):=x\!\$
Für alle Folgen $x_{n} \in {]0,1{]$ gilt mit $\limes x_{n}=0,$ dass $\limes f(x_{n})=f(0)$ und somit ist $f\!\$ in 0 rechtsstetig.
Fall $-\infty < x \le 0 \vee 1 < x < +\infty$
$f(x):=0\!\$
Für alle Folgen $y_{n} \in {]-\infty,0{]$ gilt mit $\limes y_{n}=0,$ dass $\limes f(y_{n})=f(0)$ und somit ist $f\!\$ in 0 linksstetig.
$\limes_{x \rightarrow 0, x \le 0}f(x)=\limes_{x \rightarrow 0, x \le 0}0=0=\limes_{x \rightarrow 0, x > 0}x=\limes_{x \rightarrow 0, x > 0}f(x)$
Damit ist $f\!\$ in $x=0\!\$ stetig.
Ist das soweit richtig/vollständig bzw. irgendwelche Einwände?
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Sa 15.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt
> werden:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo Info-Kollege Schadowmaster,
> ich riskiere es mal über das Folgenkriterium:
>
> [mm]f\colon D\to \IR[/mm] ist stetig in [mm]x_{0} \in D,[/mm] wenn für jede
> Folge [mm](x_{k})_{k \in \IN}[/mm] mit Elementen [mm]x_k\in D,[/mm] die gegen
> [mm]x_{0}[/mm] konvergiert, auch [mm]f(x_{k})[/mm] gegen [mm]f(x_{0})[/mm]
> konvergiert.
>
>
> Fall [mm]0
> [mm]f(x):=x\!\[/mm]
Was machst Du da ? Z. B. gilt für x=2/3 : f(x) [mm] \ne [/mm] x
> Für alle Folgen [mm]x_{n} \in {]0,1{][/mm] gilt mit [mm]\limes x_{n}=0,[/mm]
> dass [mm]\limes f(x_{n})=f(0)[/mm] und somit ist [mm]f\!\[/mm] in 0
> rechtsstetig.
>
>
> Fall [mm]-\infty < x \le 0 \vee 1 < x < +\infty[/mm]
> [mm]f(x):=0\!\[/mm]
> Für alle Folgen [mm]y_{n} \in {]-\infty,0{][/mm] gilt mit [mm]\limes y_{n}=0,[/mm]
> dass [mm]\limes f(y_{n})=f(0)[/mm] und somit ist [mm]f\!\[/mm] in 0
> linksstetig.
>
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0, x \le 0}f(x)=\limes_{x \rightarrow 0, x \le 0}0=0=\limes_{x \rightarrow 0, x > 0}x=\limes_{x \rightarrow 0, x > 0}f(x)[/mm]
>
> Damit ist [mm]f\!\[/mm] in [mm]x=0\!\[/mm] stetig.
>
>
> Ist das soweit richtig/vollständig bzw. irgendwelche
> Einwände?
>
>
> Vielen Dank für die Mühe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Überlege Dir, dass gilt: |f(x)| [mm] \le [/mm] |x| für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
Ist nun [mm] (x_n) [/mm] irgendeine Nullfolge, so gilt: [mm] |f(x_n)| \le |x_n| [/mm] für jedes n
Was bedeutet das für [mm] (f(x_n)) [/mm] ?
FRED
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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt werden:
[mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm] |
Hallo Fred und Danke für Deine Antwort,
> Überlege Dir, dass gilt: |f(x)| [mm]\le[/mm] |x| für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Ist nun [mm](x_n)[/mm] irgendeine Nullfolge, so gilt: [mm]|f(x_n)| \le |x_n|[/mm]
> für jedes n
> Was bedeutet das für [mm](f(x_n))[/mm] ?
nochmals die Definition für das Folgenkriterium:
$ [mm] f\colon D\to \IR [/mm] $ ist stetig in $ [mm] x_{0} \in [/mm] D, $ wenn für jede Folge $ [mm] (x_{k})_{k \in \IN} [/mm] $ mit Elementen $ [mm] x_k\in [/mm] D, $ die gegen $ [mm] x_{0} [/mm] $ konvergiert, auch $ [mm] f(x_{k}) [/mm] $ gegen $ [mm] f(x_{0}) [/mm] $ konvergiert.
Auf die hiesige Aufgabe übertragen:
Für den 1. Fall:
[mm] $x_{n} \to [/mm] 0$ und [mm] $f(x_{n}) \to [/mm] f(0)$
Für den 2. Fall:
[mm] $x_{k} \to [/mm] 0$ und [mm] $f(x_{k}) \to [/mm] f(0)$
Also [mm] $\limes x_{n}=0=\limes x_{k}$ [/mm] und [mm] $f\!\$ [/mm] ist damit stetig in [mm] $x=0\!\$
[/mm]
Ich hoffe, dass der erneute Anlauf diesmal richtig ist...?
> FRED
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Sa 15.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt
> werden:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo Fred und Danke für Deine Antwort,
>
> > Überlege Dir, dass gilt: |f(x)| [mm]\le[/mm] |x| für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>
> >
> > Ist nun [mm](x_n)[/mm] irgendeine Nullfolge, so gilt: [mm]|f(x_n)| \le |x_n|[/mm]
> > für jedes n
> > Was bedeutet das für [mm](f(x_n))[/mm] ?
>
> nochmals die Definition für das Folgenkriterium:
> [mm]f\colon D\to \IR[/mm] ist stetig in [mm]x_{0} \in D,[/mm] wenn für jede
> Folge [mm](x_{k})_{k \in \IN}[/mm] mit Elementen [mm]x_k\in D,[/mm] die gegen
> [mm]x_{0}[/mm] konvergiert, auch [mm]f(x_{k})[/mm] gegen [mm]f(x_{0})[/mm]
> konvergiert.
>
> Auf die hiesige Aufgabe übertragen:
>
> Für den 1. Fall:
> [mm]x_{n} \to 0[/mm] und [mm]f(x_{n}) \to f(0)[/mm]
Nein. Es folgt : [mm] (f(x_n)) [/mm] ist eine Nullfolge.
>
> Für den 2. Fall:
> [mm]x_{k} \to 0[/mm] und [mm]f(x_{k}) \to f(0)[/mm]
Siehe oben.
>
> Also [mm]\limes x_{n}=0=\limes x_{k}[/mm] und [mm]f\!\[/mm] ist damit stetig
> in [mm]x=0\!\[/mm]
>
> Ich hoffe, dass der erneute Anlauf diesmal richtig ist...?
Du siehst nicht das Wesentliche:
Wir hanen: $ [mm] |f(x_n)| \le |x_n| [/mm] $
Damit ist [mm] (f(x_n)) [/mm] eine Nullfolge.
Also: aus [mm] x_n \to [/mm] 0 folgt [mm] f(x_n) \to [/mm] 0=f(0)
FRED
>
> > FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt werden:
$ f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases} [/mm] $ |
Hallo Fred,
ich habe hier Deine beiden Antworten im Wesentlichen zitiert:
> > Überlege Dir, dass gilt: |f(x)| $ [mm] \le [/mm] $ |x| für jedes x $ [mm] \in \IR [/mm] $
> > Ist nun $ [mm] (x_n) [/mm] $ irgendeine Nullfolge, so gilt: $ [mm] |f(x_n)| \le |x_n| [/mm] $ für jedes n
> Wir hanen: [mm]|f(x_n)| \le |x_n|[/mm]
>
> Damit ist [mm](f(x_n))[/mm] eine Nullfolge.
>
> Also: aus [mm]x_n \to[/mm] 0 folgt [mm]f(x_n) \to[/mm] 0=f(0)
Auch wenn meine Nachfrage jetzt etwas Forrest-Gump-mäßig wirkt:
Ist mit den obigen Zitat-Zeilen diese Aufgabe erledigt?
> FRED
Vielen Dank für Deine Geduld und Mühe, Fred. Am 8. Februar ist übrigens die Klausur in Analysis I, dann habt ihr erstmal etwas Ruhe von mir, bevor im Sommersemester Diskrete Strukturen und Stochastik anstehen wird. 
Das wären dann auch die letzten Mathe-Vorlesungen im Studium.
Gruß
el_grecco
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> Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt
> werden:
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> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo Fred,
>
> ich habe hier Deine beiden Antworten im Wesentlichen
> zitiert:
>
> > > Überlege Dir, dass gilt: |f(x)| [mm]\le[/mm] |x| für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
>
> > > Ist nun [mm](x_n)[/mm] irgendeine Nullfolge, so gilt: [mm]|f(x_n)| \le |x_n|[/mm]
> für jedes n
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> > Wir hanen: [mm]|f(x_n)| \le |x_n|[/mm]
> >
> > Damit ist [mm](f(x_n))[/mm] eine Nullfolge.
> >
> > Also: aus [mm]x_n \to[/mm] 0 folgt [mm]f(x_n) \to[/mm] 0=f(0)
>
> Auch wenn meine Nachfrage jetzt etwas Forrest-Gump-mäßig
> wirkt:
> Ist mit den obigen Zitat-Zeilen diese Aufgabe erledigt?
>
>
> > FRED
>
> Vielen Dank für Deine Geduld und Mühe, Fred. Am 8.
> Februar ist übrigens die Klausur in Analysis I, dann habt
> ihr erstmal etwas Ruhe von mir, bevor im Sommersemester
> Diskrete Strukturen und Stochastik anstehen wird.
> Das wären dann auch die letzten Mathe-Vorlesungen im
> Studium.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Deine Definition:
$ [mm] f\colon D\to \IR [/mm] $ ist stetig in [mm] $x_{0} \in [/mm] D$ wenn für jede Folge $ [mm] (x_{k})_{k \in \IN} [/mm] $ mit Elementen $ [mm] x_k\in [/mm] D, $ die gegen [mm] $x_{0}$ [/mm] konvergiert, auch $ [mm] f(x_{k}) [/mm] $ gegen $ [mm] f(x_{0}) [/mm] $ konvergiert.
Du hast gezeigt:
Für jede beliebige Folge [mm] $(x_k)_{k \in \IN}$ [/mm] von Zahlen aus [mm] $D=\IR$, [/mm] die gegen 0 konvergiert, muss wegen der von dir geprüften Bedingung [mm] $|f(x_n)| \le |x_n|$ [/mm] auch die Folge [mm] $(f(x_k))_{k \in \IN}$ [/mm] gegen 0 konvergieren.
Das klingt doch schon ziemlich gleich und damit lautet die Antwort: JA, das ist genau das, was du beweisen solltest.
lg weightgainer
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> Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion in 0 gezeigt
> werden:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}, \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> kurz zur ersten Zeile der Aufgabenstellung: ist damit der
> Ursprung gemeint oder die Situation(en), wenn die Funktion
> den y-Wert 0 annimmt?
Kleine Kritik an der Aufgabenstellung:
Besser formuliert und klar wäre dies:
"Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion an der Stelle x=0 gezeigt werden: ..... "
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Fr 14.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
> Kleine Kritik an der Aufgabenstellung:
>
> Besser formuliert und klar wäre dies:
>
> "Es soll die Stetigkeit der folgenden Funktion an der
> Stelle x=0 gezeigt werden: ..... "
Hi Al,
unklare/falsche Aufgabenstellungen kommen leider öfters vor, deshalb gibt es dann immer wieder ein "Update" der Ü-Blätter...
Ullim (hier im Forum) hat mal den richtigen Vergleich geschrieben: "Wer weiß in welcher Kneipe die Aufgabe entstanden ist..."
> LG Al-Chw.
Gruß
el_grecco
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