Stetigkeit einer Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei f: R [mm] \setminus\{0\} \to [/mm] R, f(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{x^2+x-2}{x^2 + 2x}, x \neq -2 \\ 1, x = -2 \end{cases}
[/mm]
Prüfen Sie, ob f(x) an der Stelle x = -2 stetig ist.
Ich wollte nun folgendermaßen argumentieren: Mit Hilfe der Grenzwertsätze ermittle ich den Grenzwert der Funktion: Ich teile also durch [mm] x^2 [/mm] und erhalte dadurch den Grenzwert 1. Dieser ist identisch mit dem Grenzwert an der Stelle x = -2. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass die Überlegung stimmt. Wie seht ihr das'?
Danke.
Christopher
P.S. Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Sa 24.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich wollte nun folgendermaßen argumentieren: Mit Hilfe der
> Grenzwertsätze ermittle ich den Grenzwert der Funktion:
An der Stelle -2, für andere Stellen ist es ja klar. Und mit Grenzwertsätzen das zu berechnen ist auch richtig, aber ...
> Ich
> teile also durch [mm]x^2[/mm] und erhalte dadurch den Grenzwert 1.
Das ist wohl falsch - wie kommst du darauf? Und wieso teilen? l'Hospital ist wohl erfolgreicher.
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo, also das mit dem Teilen verstehe ich auch nicht. Ich würde hier nicht gleich mit Grenzwerten argumentieren. Für alle [mm] x\not=-2 [/mm] ist f stetig, da f dort eine bloße Zusammensetzung aus stetigen Funktionen ist und diese ist stetig.
Und dann bringt dich tatsächlich die regel von de l'Hospital zum Ziel. Z.z. für [mm] x\to-2 [/mm] konvergiert f gegen -2.
Wir haben einen Ausdruck der Form [mm] "\bruch{0}{0}"
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\-2}\bruch{x^{2}+x-2}{x^{2}-2x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\-2}\bruch{(x^{2}+x-2)'}{(x^{2}-2x)'}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\-2}\bruch{2x+1}{2x+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2}
[/mm]
Also ist [mm] \limes_{x\rightarrow\-2}\bruch{x^{2}+x-2}{x^{2}-2x}=1,5 [/mm] und damit f an der Stelle x=-2 nicht stetig.
Alles klar? VG mathmetzsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopher!
Das Ergebnis, ob stetig oder nicht, wurde Dir ja bereits verraten.
Aber es gibt noch eine weitere Variante ...
Faktorisiere mal Zähler und Nenner, dann kann man jeweils den Faktor $(x+2)_$ kürzen und es verbleibt ein ziemlich einfacher Ausdruck, für den man dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow [/mm] -2$ durchführen kann.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Cuchulainn |
Vielen Dank für eure Antworten. Die Regel von de l'hôspital kannte ich noch nicht. Aber ich habe sie in einem Buch gefunden, und jetzt ist alles klar.
|
|
|
|
