Stetigkeit f(x,y)=xy < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mo 12.04.2010 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] mit (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y):=xy gegeben. Beweisen Sie mittels des [mm] \epsilon-\delta-Kriteriums, [/mm] daß f stetig auf [mm] \IR^2 [/mm] ist. |
Also zunächst einmal brauche ich eine Norm auf [mm] \IR^2, [/mm] ich habe es mit der Supremumsnorm [mm] \parallel \parallel_\infty [/mm] versucht. Das entsprechende Kriterium ist mir (vermute ich mal...) klar. Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] gegeben und [mm] (a,b)\in\IR^2, [/mm] dann gibt es ein [mm] \delta>0, [/mm] so daß für alle (x,y) mit [mm] \parallel(x,y)-(a,b)\parallel_\infty<\delta [/mm] gilt: [mm] \parallel f(x,y)-f(a,b)\parallel_\infty<\epsilon.
[/mm]
Alle Versuche, an dieser Stelle durch ein kluge Abschätzung weiterzukommen laufen ins Leere *entnervt*... Wahrscheinlich isses einfach, aber ich wäre dankbar für einen Hinweis in die richtige Richtung...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 12.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wahrscheinlich isses einfach, aber ich wäre dankbar für
> einen Hinweis in die richtige Richtung...
[m]f(x,y)-f(a,b)=f(x,y)-f(x,a)+f(x,a)-f(a,b)[/m].
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 15.04.2010 | | Autor: | Limaros |
Danke erst mal für die Antwort! Ganz habe ich's immer noch nicht. Mit der Hilfestellung habe ich wie folgt weitergerechnet:
|f(x,y)-f(a,b)| = |f(x,y)-f(x,a)+f(x,a)-f(a,b)|
[mm] \le [/mm] |f(x,y)-f(x,a)| + |f(x,a)-f(a,b)|
= |xy-xa| + |xa-ab|
= |x(y-a)| + |a(x-b)|
[mm] \le x\delta [/mm] + [mm] a\delta
[/mm]
Ich hoffe, daß ist soweit richtig und geht auch in die richtige Richtung, weiter komme ich aber nicht. Ich müßte ja auch noch das x loswerden, um dann [mm] \delta [/mm] nur in Abhängigkeit von [mm] \epsilon [/mm] und (a,b) angeben zu können.
Danke im voraus...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 15.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke erst mal für die Antwort! Ganz habe ich's immer noch
> nicht. Mit der Hilfestellung habe ich wie folgt
> weitergerechnet:
>
> |f(x,y)-f(a,b)| = |f(x,y)-f(x,a)+f(x,a)-f(a,b)|
> [mm]\le[/mm] |f(x,y)-f(x,a)| + |f(x,a)-f(a,b)|
> = |xy-xa| + |xa-ab|
> = |x(y-a)| + |a(x-b)|
> [mm]\le x\delta[/mm] + [mm]a\delta[/mm]
Vorsicht ! Beträge nicht vergessen:
[mm]\le |x|\delta[/mm] + [mm]|a|\delta[/mm]
>
> Ich hoffe, daß ist soweit richtig und geht auch in die
> richtige Richtung, weiter komme ich aber nicht. Ich müßte
> ja auch noch das x loswerden, um dann [mm]\delta[/mm] nur in
> Abhängigkeit von [mm]\epsilon[/mm] und (a,b) angeben zu können.
Für die stetigkeit in (a,b) kannst Du annehmen, dass $|x-a| [mm] \le [/mm] 1$ ist.
Dann: $|x| [mm] \le [/mm] 1+|a|$
FRED
>
> Danke im voraus...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Limaros |
Danke erstmal. Klar, die Betragsstriche sind beim Eintippen verloren gegangen. Also mache ich wie folgt weiter:
|f(x,y)-f(a,b)| [mm] \le |x|\delta [/mm] + [mm] |a|\delta
[/mm]
[mm] \le (1+|a|)\delta [/mm] + [mm] |a|\delta
[/mm]
= [mm] \delta(1+2|a|)
[/mm]
Dann würde ich für [mm] \epsilon>0 [/mm] also [mm] \delta=min\{1,\frac{\epsilon}{1+2|a|}\} [/mm] wählen. Richtig? Das heißt dann auch, was mich wundert, daß [mm] \delta [/mm] nicht von (a,b) abhängt, sondern nur von a?
Danke für Rückmeldung...
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Danke erstmal. Klar, die Betragsstriche sind beim Eintippen
> verloren gegangen. Also mache ich wie folgt weiter:
>
> |f(x,y)-f(a,b)| [mm]\le |x|\delta[/mm] + [mm]|a|\delta[/mm]
> [mm]\le (1+|a|)\delta[/mm] + [mm]|a|\delta[/mm]
> = [mm]\delta(1+2|a|)[/mm]
>
> Dann würde ich für [mm]\epsilon>0[/mm] also
> [mm]\delta=min\{1,\frac{\epsilon}{1+2|a|}\}[/mm] wählen. Richtig?
> Das heißt dann auch, was mich wundert, daß [mm]\delta[/mm] nicht
> von (a,b) abhängt, sondern nur von a?
Gut aufgepasst!
Am Anfang ist nämlich ein Fehler unterlaufen:
Es gilt nicht $|x-b| < [mm] \delta$ [/mm] und [mm] $|y-a|<\delta$, [/mm] sondern
$|x-a| < [mm] \delta$ [/mm] und $|y-b| < [mm] \delta$.
[/mm]
Du musst den Beweis anders beginnen:
$|f(x,y)-f(a,b)| = |x*y - a*b| = |x*y - a*y + a*y -a*b| [mm] \le [/mm] |y|*|x-a| + |a|*|y-b|$.
Nun nochmal obiges anwenden, dann kommt durch die Abschätzung von |y| auch ein |b| in die Gleichung 
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
