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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass alle positiv homogenen Funktionen $f : [mm] \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{ R}, [/mm] d.h. solche mit der Eigenschaft
$ f (tx) = t [mm] \cdot [/mm] f (x) , t > 0 , x [mm] \in \mathbb{ R},
[/mm]
stetig sind.
(Hinweis: Man betrachte die Fälle x = -1, 0, 1.)
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Ich komme leider mit dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter. Bisher habe ich versucht die Erfüllung des [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriteriums [/mm] nachzuweisen. Dazu habe ich immer versucht für $x> 0$ bzw. $0> x$ den Ausdruck $|f(x)-f(y) | = | [mm] x\cdot f(\pm 1)-y\cdot f(\pm1)|$ [/mm] mit Abschätzungen so umzuformen, dass er kleiner $|x-y [mm] |\cdot [/mm] cx$ ist, jedoch gelang mir das nie, da ich zu wenig über $f(1)$ und $f(-1)$ wusste. Ideal wäre sie in abhängigkeit von einander darstellen zu können oder ähnliches. Auch für den Fall $x = 0$ oder $y = 0$ weiß ich noch nicht, was ich tun soll. Ich würde mich über jede Hilfe freuen.
Gruß Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 So 04.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jenny !
> Zeigen Sie, dass alle positiv homogenen Funktionen $f :
> [mm]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{ R},[/mm] d.h. solche mit der
> Eigenschaft
>
>
> $ f (tx) = t [mm]\cdot[/mm] f (x) , t > 0 , x [mm]\in \mathbb{ R},[/mm]
>
> stetig sind.
> (Hinweis: Man betrachte die Fälle x = -1, 0, 1.)
>
>
> Ich komme leider mit dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter.
> Bisher habe ich versucht die Erfüllung des
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriteriums nachzuweisen. Dazu habe ich
> immer versucht für [mm]x> 0[/mm] bzw. [mm]0> x[/mm] den Ausdruck [mm]|f(x)-f(y) | = | x\cdot f(\pm 1)-y\cdot f(\pm1)|[/mm]
> mit Abschätzungen so umzuformen, dass er kleiner [mm]|x-y |\cdot cx[/mm]
> ist, jedoch gelang mir das nie, da ich zu wenig über [mm]f(1)[/mm]
> und [mm]f(-1)[/mm] wusste. Ideal wäre sie in abhängigkeit von
> einander darstellen zu können oder ähnliches. Auch für den
> Fall [mm]x = 0[/mm] oder [mm]y = 0[/mm] weiß ich noch nicht, was ich tun
> soll. Ich würde mich über jede Hilfe freuen.
Fangen wir mal mit dem Fall x=0 an: es muss $f(0)=0$ gelten, denn für x=0 gilt doch:
[mm] f(0) = f(t*0) = t* f(0) \gdw (1-t)*f(0) = 0[/mm] für beliebige postive t.
Ebenso folgt, dass aus $f(1)=0$ die Aussage $f(x)=0$ für alle $x>0$ folgt, ebenso aus $f(-1)=0$ die Aussage $f(x)=0$ für alle $x<0$. Das heisst: wenn sowohl $f(1)=0$ und $f(-1)=0$ ist, dann ist die konstante Funktion $f(x)=0$ ist natürlich stetig.
Wir gehen also davon aus, dass [mm] $f(1)\not=0$ [/mm] oder [mm] $f(-1)\not=0$.
[/mm]
Wir wollen die Stetigkeit in [mm] $x_0=0$ [/mm] nachweisen. Sei ein [mm] $\varespilon>0$ [/mm] gegeben. Wir suchen alle Werte von [mm] $x\not=x_0$, [/mm] sodass
[mm] \varepsilon > |f(x) - f(x_0)| = |f(x) - f(0)| = |f(x)| = \begin{cases} |x|*|f(+1)|,& x> 0 \\ |x|*|f(-1)|, & x<0 \end{cases} [/mm].
Also ist $|f(x) - [mm] f(x_0)|\le [/mm] |x| [mm] *\max\{|f(1)|,|f(-1)|\} [/mm] $.
Das Maximum ist nach unserer Voraussetzung $>0$.
Wenn ich also
[mm] \delta = \bruch{\varepsilon}{\max\{|f(1)|,|f(-1)|\}} [/mm]
setze, so ist für [mm] $|x-x_0|=|x|<\delta$:
[/mm]
[mm] |f(x) - f(x_0)| < \bruch{\varepsilon}{\max\{|f(1)|,|f(-1)|\}} * \max\{|f(1)|,|f(-1)|\} = \varepsilon[/mm]
Also kann ich zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $\delta$ [/mm] angeben.
Kannst du jetzt die anderen Fälle selbst hinschreiben?
Viele Grüße
Rainer
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