Stetigkeit im R2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] f:\IR^2\rightarrow\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)\not=0 \\ \bruch{xy}{|x|}, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] stetig ist. |
Um die Stetigkeit im [mm] \IR^2 [/mm] zu zeigen, bin ich folgendermaßen vorgegangen:
[mm] |x|=\sqrt{x^2+y^2}. [/mm] Sei [mm] y_0 [/mm] fest. Sei [mm] {x_n} [/mm] beliebige Folge.
1. Fall: [mm] (x,y)\not=0
[/mm]
[mm] f(x_n,y_0)=\bruch{xy_0}{|x|}=\bruch{xy_0}{\sqrt{x^2+y_0^2}}=\sqrt{\bruch{x^2y_0^2}{x^2+y_0^2}}=\bruch{y_0}{\sqrt{1+y_0^2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\bruch{y_0}{\sqrt{1+y_0^2}} [/mm] mit [mm] {x_n} [/mm] beliebig [mm] \Rightarrow [/mm] f in diesem Fall stetig.
(Dieser Fall ist für [mm] {y_n} [/mm] mit festem [mm] x_0 [/mm] analog zu betrachten)
2. Fall: (x,y)=0.
Wie betrachte ich jetzt diesen Fall?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Schuricht |
Hallo?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 26.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst nur (0,0) ansehen, da es sonst überall ein Produkt, bzw. Quotient stetiger fkt. ist.
> Zeigen Sie, dass [mm]f:\IR^2\rightarrow\IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)\not=0 \\ \bruch{xy}{|x|}, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
> stetig ist.
>
> Um die Stetigkeit im [mm]\IR^2[/mm] zu zeigen, bin ich
> folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]|x|=\sqrt{x^2+y^2}.[/mm] Sei [mm]y_0[/mm] fest. Sei [mm]{x_n}[/mm] beliebige
> Folge.
was soll das heißen? wie beliebig? z.B, [mm] x_n=e^n [/mm] oder [mm] x_n=sin(n)
[/mm]
> 1. Fall: [mm](x,y)\not=0[/mm]
>
> [mm]f(x_n,y_0)=\bruch{xy_0}{|x|}=\bruch{xy_0}{\sqrt{x^2+y_0^2}}=\sqrt{\bruch{x^2y_0^2}{x^2+y_0^2}}=\bruch{y_0}{\sqrt{1+y_0^2}}[/mm]
was sooll das letzte = Zeichen, wieso ist plötzlich x=1??
links steht [mm] x_n, [/mm] rechts kommt es nicht mehr vor?
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\bruch{y_0}{\sqrt{1+y_0^2}}[/mm]
> mit [mm]{x_n}[/mm] beliebig [mm]\Rightarrow[/mm] f in diesem Fall stetig.
> (Dieser Fall ist für [mm]{y_n}[/mm] mit festem [mm]x_0[/mm] analog zu
> betrachten)
>
>
> 2. Fall: (x,y)=0.
Wenn du den ersten Fall wirklich brauchst, dann neu!
bei 0
betrachte eine Umgebunb von 0 setze x=rcost, y=rsint, zeige, dass für r gegen 0 der GW 0 ist unabhängug von t
Gruss leduart
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Ich habe das jetzt folgendermaßen gemacht:
Betrachte zunächst Stetigkeit von f in (0,0):
Es folgt mit [mm] (x-y)^2=x^2+y^2-2xy \ge [/mm] 0, dass [mm] x^2+y^2 \ge [/mm] 2xy (*)
Untersuche f an Stelle (0,0). Sei [mm] t=(x,y)\in \IR^2 [/mm] ohne [mm] \{(0,0)\}. [/mm] Dann gilt:
[mm] |f(x,y)|=\bruch{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\underbrace{\le}_{(*)}\bruch{|xy|}{\sqrt{2xy}}=\sqrt{\bruch{x^2y^2}{2xy}}=\sqrt{\bruch{xy}{2}}\le=\sqrt{\bruch{x^2+y^2}{4}}\le\sqrt{x^2+y^2}=|t|\rightarrow [/mm] 0 für (x,y) gegen 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist in (0,0) stetig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 29.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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