Stetigkeit im R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 03.06.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | Man untersuche die folgende Funktion auf Stetigkeit im Nullpunkt:
[mm] f_{1}: \IR^{2}\to \IR, \vektor{x \\ y}\mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } x\le0,y\in\IR \\ x^{y^{2}}, & \mbox{für } x>0,y\in\IR \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht einen Ansatz zu dieser Aufgabe zu finden, doch bin mir leider nicht sicher, ob er stimmt. Unser Tutor meinte, dass wir x und y getrennt betrachten sollen. Also habe ich folgendes gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm] = 1
[mm] \limes_{y\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}} [/mm] = [mm] e^{log(x)} [/mm] = e
Also würde nach meinem Ansatz die Lösung lauten, dass die Funktion nicht stetig im Nullpunkt ist, weil die beiden Grenzwerte nicht übereinstimmen. Stimmt das so?
Vielen Dank!
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Hallo Lisa,
> Man untersuche die folgende Funktion auf Stetigkeit im
> Nullpunkt:
>
> [mm]f_{1}: \IR^{2}\to \IR, \vektor{x \\ y}\mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } x\le0,y\in\IR \\ x^{y^{2}}, & \mbox{für } x>0,y\in\IR \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe versucht einen Ansatz zu dieser Aufgabe zu finden,
> doch bin mir leider nicht sicher, ob er stimmt. Unser Tutor
> meinte, dass wir x und y getrennt betrachten sollen.
Das ist ein guter Vorschlag, wenn man ihn richtig anwendet.
> Also
> habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}}[/mm] = [mm]e^{0}[/mm] = 1
Jupp. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\limes_{y\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}}[/mm] = [mm]e^{log(x)}[/mm] = e
Nicht doch. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Also würde nach meinem Ansatz die Lösung lauten, dass die
> Funktion nicht stetig im Nullpunkt ist, weil die beiden
> Grenzwerte nicht übereinstimmen. Stimmt das so?
Nein, so stimmt das noch nicht.
Hattet Ihr schon Folgenstetigkeit?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 03.06.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Hi, danke für die schnelle Antwort :)
Meinst du mit Folgenstetigkeit das Folgenkriterium?
Also
f ist steig in [mm] x_{0}, [/mm] wenn für jede Folge [mm] {(x_{n})_n\ge1} [/mm] in D mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}) [/mm] = [mm] f(x_{0})
[/mm]
Das ganze auf [mm] \IR^{2} [/mm] anzuwenden verwirrt mich gerade etwas. Wie muss ich diesen Satz denn anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi, danke für die schnelle Antwort :)
> Meinst du mit Folgenstetigkeit das Folgenkriterium?
> Also
>
> f ist steig in [mm]x_{0},[/mm] wenn für jede Folge [mm]{(x_{n})_n\ge1}[/mm]
> in D mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] gilt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] =
> [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n})[/mm] = [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> Das ganze auf [mm]\IR^{2}[/mm] anzuwenden verwirrt mich gerade
> etwas. Wie muss ich diesen Satz denn anwenden?
Betrachte die Folge [mm] (f(e^{-n},\wurzel{n}))
[/mm]
Edit: ich meinte: [mm] (f(e^{-n},\bruch{1}{\wurzel{n}}))
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mi 04.06.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Hallo, ich habe mich leider beim abtippen meiner Lösung vertan. Es sollte lauten:
[mm] \limes_{y\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}} [/mm] = [mm] e^{log(x)} [/mm] = e
Fred97 könntest du deinen Anstaz genauer erläutern? Könnte ich denn auch die Folge 1/k betrachten und das Folgenkriterium anwenden? Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe mich leider beim abtippen meiner Lösung
> vertan. Es sollte lauten:
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}}[/mm] = [mm]e^{0}[/mm] = 1
O.K.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}}[/mm] = [mm]e^{log(x)}[/mm] = e
Das ist doch Unfug !! Es ist [mm]\limes_{x\rightarrow0} e^{log(x)*y^{2}}=0[/mm]
>
>
> Fred97 könntest du deinen Anstaz genauer erläutern?
Ich hatte mich oben verschrieben und meinte eigentlich: $ [mm] (f(e^{-n},\bruch{1}{\wurzel{n}})) [/mm] $
Es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(e^{-n},\bruch{1}{\wurzel{n}})=(0,0).
[/mm]
Gilt denn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(e^{-n},\bruch{1}{\wurzel{n}})=f(0,0) [/mm] ?
> Könnte ich denn auch die Folge 1/k betrachten und das
> Folgenkriterium anwenden?
Du brauchst schon eine Nullfolge im [mm] \IR^2
[/mm]
FRED
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 04.06.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Also kommt mit deiner gegebenen Folge 1/e als GW heraus. Also folgt daraus, dass die Funktion nicht im Nullpunkt ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also kommt mit deiner gegebenen Folge 1/e als GW heraus.
Ja, $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(e^{-n},\bruch{1}{\wurzel{n}})=1/e [/mm] $
> Also folgt daraus, dass die Funktion nicht im Nullpunkt
> ist??
Was ist ??? f ist in (0,0) nicht stetig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mi 04.06.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Okey super vielen Dank ! 
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