Stetigkeit in C[a,b] < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: C[a,b] [mm] \to \IR [/mm] die durch
f(x) = [mm] \integral_{a}^{b}{x(t)^{2} dt}
[/mm]
gegebene Abbildung. Zeigen Sie, dass f auf ganz C[a,b] stetig ist. Ist f auch Lipschitz-stetig? |
Hallo,
ich sitze vor dieser Aufgabe und habe ein paar Fragen.
Zum Nachweis der Stetigkeit kann ich da die [mm] \varepsilon, \delta-Charakterisierung [/mm] verwenden?
Also: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] d_{M}(x,x_{0}) \le \delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(x_{0})).
[/mm]
Wenn ja, wie muss ich die anwenden bzw. wie ist das mit dem x(t) gemeint ?
Vielen Dank für eure Hilfe
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei f: C[a,b] [mm]\to \IR[/mm] die durch
>
> f(x) = [mm]\integral_{a}^{b}{x(t)^{2} dt}[/mm]
>
> gegebene Abbildung. Zeigen Sie, dass f auf ganz C[a,b]
> stetig ist. Ist f auch Lipschitz-stetig?
> ich sitze vor dieser Aufgabe und habe ein paar Fragen.
> Zum Nachweis der Stetigkeit kann ich da die [mm]\varepsilon, \delta-Charakterisierung[/mm]
> verwenden?
> Also: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0:
> [mm]d_{M}(x,x_{0}) \le \delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(x_{0})).[/mm]
Ja, das kann man benutzen.
> Wenn ja, wie muss ich die anwenden bzw. wie ist das mit dem
> x(t) gemeint ?
Eure Abbildung f ist keine Abbildung von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] sondern f bildet stetige Funktionen nach [mm] $\IR [/mm] an.
Du musst also in f eine stetige Funktion reinstecken und bekommst eine Zahl raus.
Konkret ordnet f einer Funktion x den Wert des Integrals [mm] $\int_{a}^{b}x(t)^2 [/mm] dt$ der Funktion [mm] (x(t))^2 [/mm] über das Intervall [a,b] zu.
Deswegen steht da x(t).
----
Wie du schon oben an deiner Stetigkeitsdefinition siehst, brauchst du noch eine Metrik auf dem Raum C[a,b] der stetigen Funktionen. Habt ihr C[a,b] mit einer bestimmten Metrik bzw. Norm versehen?
Zum Beispiel [mm] $||x||_{\infty} [/mm] := [mm] \sup_{t\in [a,b]}|x(t)|$ [/mm] ??
Auf [mm] $\IR$ [/mm] wird natürlich der normale Betrag als Norm verwendet.
-----
Der Beweis fängt dann so an: Für zwei stetige Funktionen $x,y [mm] \in [/mm] C[a,b]$:
[mm] $\left|\int_{a}^{b}x(t)^2 dt - \int_{a}^{b} y(t)^2\right| \le \int_{a}^{b}|x(t)^2 [/mm] - [mm] y(t)^2| [/mm] dt$ ...
Ab jetzt wird die Norm auf C[a,b] relevant.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Okay,
also zum Verständnis:
Für x(t) kann ich jede beliebige Funktion verwenden, die aber stetig sein muss und wende einfach das Integral an?
Wir haben uns die Maximumsnorm definiert und die [mm] l_{p}-Norm. [/mm]
[mm] |f|_{p} [/mm] = [mm] (\integral_{a}^{b}{|f(t)|^{p} dt})^{1/p}. [/mm]
Das sieht ja schon mal stark nach unserer Form aus.
Aber was sagt mir diese Norm dann aus ?
Liebe Grüße.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay,
> also zum Verständnis:
> Für x(t) kann ich jede beliebige Funktion verwenden, die
> aber stetig sein muss und wende einfach das Integral an?
Ja, das ist die Definition von f.
> Wir haben uns die Maximumsnorm definiert und die
> [mm]l_{p}-Norm.[/mm]
> [mm]|f|_{p}[/mm] = [mm](\integral_{a}^{b}{|f(t)|^{p} dt})^{1/p}.[/mm]
>
> Das sieht ja schon mal stark nach unserer Form aus.
Bei der Aufgabe muss eine konkrete Norm vorgegeben worden sein.
Oder ihr habt in der Vorlesung C[a,b] mit einer konkreten Norm ausgestattet.
Wir können erst die Stetigkeit von f beweisen, wenn wir wissen, welche Norm wir benutzen sollen!
> Aber was sagt mir diese Norm dann aus ?
Sie sagt dir, wie im Urbildraum von $f$ Abstände gemessen werden.
Das brauchst du doch laut deiner Definition, um die Stetigkeit nachzuweisen.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Unter dem Kapitel "Funktionenräume" haben wir uns erstmal verschiedene Räume definiert, unter anderem auch C[a,b] als Menge der stetigen Funktionen.
Dann haben wir zwei Normen auf diesen Räumen bekommen.
1. [mm] |f|_{\infty} [/mm] = sup |f(t)| für t [mm] \in [/mm] [a,b] und
2. [mm] (\integral_{a}^{b}{|f(t)|^{p} dt})^{1/p} [/mm]
Ansonsten finde ich keine weitere Norm :(
Vielleicht übersehe ich da auch grad was, oder habe in der Vorlesung etwas nicht mitbekommen ...
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Dann haben wir zwei Normen auf diesen Räumen bekommen.
>
> 1. [mm]|f|_{\infty}[/mm] = sup |f(t)| für t [mm]\in[/mm] [a,b] und
> 2. [mm](\integral_{a}^{b}{|f(t)|^{p} dt})^{1/p}[/mm]
>
> Ansonsten finde ich keine weitere Norm :(
Dann gehen wir mal von der 1. Norm aus.
Dann benutzen wir jetzt die [mm] $\epsilon$-\delta [/mm] Stetigkeitsdefinition.
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
Also nimm ein festes $x [mm] \in [/mm] C[a,b]$. Wir betrachten nun alle $y [mm] \in [/mm] C[a,b]$ mit $||x-y|| < [mm] \delta$. (\delta [/mm] muss später noch definiert werden).
Nun beginne so:
$|f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] ... [mm] \le \int_{a}^{b}|x(t) [/mm] - y(t)|*|x(t)+y(t)| dt$
Ist dir der Weg bis dahin klar (also wie du die ... auszufüllen hast?).
Ziel ist es nun, den rechten Term weiter nach oben abzuschätzen, sodass am Ende [mm] $\le Konstante*\delta$ [/mm] dasteht.
Hast du eine Idee, wie du den rechten Term weiter abschätzen kannst?
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
|f(x) - f(y)| [mm] \le |\integral_{a}^{b}{x(t)^{2}dt} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{y(t)^{2}dt}| \le \int_{a}^{b}|x(t)^2 [/mm] - [mm] y(t)^2|dt [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{(|x(t) - y(t)|)^{2})dt} [/mm] = [mm] \int_{a}^{b}|x(t) [/mm] - [mm] y(t)|\cdot{}|x(t)+y(t)|dt
[/mm]
Soweit dürfte ich das verstanden haben.
Aber wie geht es jetzt weiter ?
Kann ich jetzt etwas aus dem Integral herausziehen, um das denn abzuschätzen ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> |f(x) - f(y)| [mm]\le |\integral_{a}^{b}{x(t)^{2}dt}[/mm] -
> [mm]\integral_{a}^{b}{y(t)^{2}dt}| \le \int_{a}^{b}|x(t)^2[/mm] -
> [mm]y(t)^2|dt[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{(|x(t) - y(t)|)^{2})dt}[/mm] =
> [mm]\int_{a}^{b}|x(t)[/mm] - [mm]y(t)|\cdot{}|x(t)+y(t)|dt[/mm]
Die ersten beiden " [mm] $\le$ [/mm] " sind aber "=", und der vorletzte Term stimmt nicht.
Es ist doch im Allgemeinen: [mm] $|x(t)-y(t)|^2 \not= |x(t)^2 [/mm] - [mm] y(t)^2|$.
[/mm]
(Man benutzt doch einfach die dritte binomische Formel bei [mm] $|x(t)^2 [/mm] - [mm] y(t)^2|$)
[/mm]
> Aber wie geht es jetzt weiter ?
> Kann ich jetzt etwas aus dem Integral herausziehen, um das
> denn abzuschätzen ?
Ja.
$|x(t) - y(t)| [mm] \le \delta$
[/mm]
Warum?
$|x(t) + y(t)| [mm] \le \delta [/mm] + 2|x(t)|$
Warum?
Damit kannst du nun das Integral oben weiter abschätzen.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Okay, tut mir leid.
den ersten Teil kann ich jetzt nachvollziehen.
Aber jetzt kann ich nicht mehr folgen.
Wie kommst du auf diese Abschätzung mit [mm] \delta? [/mm]
Setze ich dann das [mm] \delta [/mm] und 2 [mm] \delta [/mm] |x(t)| in mein Integral ein und fasse soweit wie möglich zusammen?
Danke für deine Hilfe.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay, tut mir leid.
Was tut dir leid? Fehler machen wir alle mal! 
> Aber jetzt kann ich nicht mehr folgen.
> Wie kommst du auf diese Abschätzung mit [mm]\delta?[/mm]
Am Anfang des [mm] \varepsilon \delta [/mm] Beweises haben wir doch gesagt:
$||x-y|| < [mm] \delta.$
[/mm]
Was ist denn $||x-y||$ ? Schreib das mal aus. Dann siehst du, warum $|x(t) - y(t)| < [mm] \delta$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt.
---
Für die andere Ungleichung:
$|x(t) + y(t)| = |y(t) - x(t) + 2x(t)| [mm] \le [/mm] ...$
> Setze ich dann das [mm]\delta[/mm] und 2 [mm]\delta[/mm] |x(t)| in mein
> Integral ein und fasse soweit wie möglich zusammen?
Ja, so in etwa. Am Ende musst du das Integral durch $Konstante * [mm] \delta$ [/mm] abschätzen können.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Guten Morgen,
die beiden Abschätzungen leuchten mir jetzt ein.
Bei der zweiten nutzen wir einfach die Dreiecksungleichung und erhalten dann
|x(t) + y(t)| = |y(t) - x(t) + 2x(t)| [mm] \le [/mm] |y(t) - x(t)| + |2x(t)| [mm] \le \delta [/mm] + 2 |x(t)|
Wenn ich nun diese beiden Abschätzung in mein Integral einsetze, bleibt am Ende immer noch das Integral [mm] \integral_{a}^{b}{|x(t)| dx} [/mm] stehen.
Ich hab mit jetzt die Mitteilungen durchgelesen und muss sagen, dass ich jetzt nur noch mehr verwirrt bin.
Was ist diese induzierte Norm ?
[mm] \sqrt{\int_a^b |x|^2} \le \sqrt{b-a}\cdot{}\|x\|_\infty\,,
[/mm]
Kann bzw. darf ich diese überhaupt verwenden, weil ich die in meinen Vorlesungsunterlagen gar nicht auftaucht?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Bei der zweiten nutzen wir einfach die Dreiecksungleichung
> und erhalten dann
>
> |x(t) + y(t)| = |y(t) - x(t) + 2x(t)| [mm]\le[/mm] |y(t) - x(t)| +
> |2x(t)| [mm]\le \delta[/mm] + 2 |x(t)|
Genau.
> Wenn ich nun diese beiden Abschätzung in mein Integral
> einsetze, bleibt am Ende immer noch das Integral
> [mm]\integral_{a}^{b}{|x(t)| dx}[/mm] stehen.
Ja. Du solltest jetzt da stehen haben:
$|f(x) - f(y)| [mm] \le \delta [/mm] * [mm] (\delta [/mm] + K)$,
wobei $K = [mm] 2*\int_{a}^{b}|x(t)|^2 [/mm] dt$ ist.
Damit bist du doch schon so gut wie fertig!
Wir wollen die Stetigkeit von f im Punkt $x$ beweisen. D.h. zu vorgegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ darf unser [mm] $\delta$ [/mm] von $x, [mm] \varepsilon$ [/mm] abhängen. Wir können also: [mm] $\delta [/mm] := [mm] \min\{K, \frac{\varepsilon}{2K}\}$ [/mm] wählen. Dadurch:
$|f(x) - f(y)| [mm] \le \delta [/mm] * [mm] (\delta [/mm] + K) [mm] \le \delta*2*K \le \varepsilon$,
[/mm]
Das war zu zeigen!
> Ich hab mit jetzt die Mitteilungen durchgelesen und muss
> sagen, dass ich jetzt nur noch mehr verwirrt bin.
>
> Was ist diese induzierte Norm ?
> [mm]\sqrt{\int_a^b |x|^2} \le \sqrt{b-a}\cdot{}\|x\|_\infty\,,[/mm]
>
> Kann bzw. darf ich diese überhaupt verwenden, weil ich die
> in meinen Vorlesungsunterlagen gar nicht auftaucht?
Lass dich davon mal nicht verwirren.
Das waren nur Zusatzinformationen, die nichts mit unserer Abschätzung zu tun haben.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Okay ...
Also ich habe jetzt:
... = [mm] \integral_{a}^{b}{|x(t) - y(t)| * |x(t) + y(t)| dt} [/mm]
mit den beiden Abschätzungen erhalte ich dann:
[mm] \le \integral_{a}^{b}{\delta * (\delta + 2 |x(t) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\delta^{2} + 2 \delta |x(t)| dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\delta^{2} dt} [/mm] + 2 [mm] \delta \integral_{a}^{b}{|x(t)| dt}
[/mm]
Dann hab ich doch aber für K:
K = [mm] 2\cdot{} \int_{a}^{b}|x(t)| [/mm] dt ?
Warum hast du dann bei dem Integral [mm] |x(t)|^{2} [/mm] stehen ?
_____
Damit haben wir ja jetzt die "normale" Stetigkeit nachgewiesen.
Um jetzt Lipschitz - Stetigkeit nachzuweisen, müssen wir ein L > 0 finden, so dass
|f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] L |x - y|.
Wie gehe ich da ran ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay ...
>
> Also ich habe jetzt:
>
> ... = [mm]\integral_{a}^{b}{|x(t) - y(t)| * |x(t) + y(t)| dt}[/mm]
>
> mit den beiden Abschätzungen erhalte ich dann:
>
> [mm]\le \integral_{a}^{b}{\delta * (\delta + 2 |x(t) dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\delta^{2} + 2 \delta |x(t)| dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\delta^{2} dt}[/mm] + 2 [mm]\delta \integral_{a}^{b}{|x(t)| dt}[/mm]
>
> Dann hab ich doch aber für K:
>
> K = [mm]2\cdot{} \int_{a}^{b}|x(t)|[/mm] dt ?
>
> Warum hast du dann bei dem Integral [mm]|x(t)|^{2}[/mm] stehen ?
Da hat Stefan sich verschrieben.
>
> _____
>
> Damit haben wir ja jetzt die "normale" Stetigkeit
> nachgewiesen.
> Um jetzt Lipschitz - Stetigkeit nachzuweisen, müssen wir
> ein L > 0 finden, so dass
>
> |f(x) - f(y)| [mm]\le[/mm] L |x - y|.
>
> Wie gehe ich da ran ?
Ein solches L ex. nicht. Das habe ich heute in dieser Diskussion begründet. Lies das mal.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Di 23.04.2013 | | Autor: | Palindrom |
Gut, dann macht das alles jetzt Sinn :)
Oh Stimmt, das hast du in der Mitteilung geschrieben.
Da ist ja alles zusammen, dann les ich das nochmal durch und fass das für mich zusammen :)
Vielen lieben Dank an euch, habt echt geholfen :)
Schönen Tag noch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > |f(x) - f(y)| [mm]\le |\integral_{a}^{b}{x(t)^{2}dt}[/mm] -
> > [mm]\integral_{a}^{b}{y(t)^{2}dt}| \le \int_{a}^{b}|x(t)^2[/mm] -
> > [mm]y(t)^2|dt[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{(|x(t) - y(t)|)^{2})dt}[/mm] =
> > [mm]\int_{a}^{b}|x(t)[/mm] - [mm]y(t)|\cdot{}|x(t)+y(t)|dt[/mm]
>
> Die ersten beiden " [mm]\le[/mm] " sind aber "=",
was aber kein Fehler ist, etwa: Aus [mm] $x=3\,$ [/mm] folgt auch $x [mm] \le 3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
> > Die ersten beiden " [mm]\le[/mm] " sind aber "=",
>
> was aber kein Fehler ist, etwa: Aus [mm]x=3\,[/mm] folgt auch [mm]x \le 3\,.[/mm]
Natürlich ist es kein Fehler.
Aber es etwas, was dort überhaupt nichts zu suchen hat. Es suggeriert, dass etwas abgeschätzt wurde, was gar nicht geschehen ist.
Und ein Beweis soll doch nicht in die Irre führen, oder
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
>
> > > Die ersten beiden " [mm]\le[/mm] " sind aber "=",
> >
> > was aber kein Fehler ist, etwa: Aus [mm]x=3\,[/mm] folgt auch [mm]x \le 3\,.[/mm]
>
> Natürlich ist es kein Fehler.
> Aber es etwas, was dort überhaupt nichts zu suchen hat.
> Es suggeriert, dass etwas abgeschätzt wurde, was gar nicht
> geschehen ist.
doch - es wurde abgeschätzt, halt nur total trivial. Und man braucht halt
keine solche Abschätzung!
> Und ein Beweis soll doch nicht in die Irre führen, oder
>
Da stimme ich Dir zu. Nichtsdestotrotz sind gerade manchmal solche
Kleinigkeiten Dinge, die Studenten nicht sehen. Z.B. wenn ich $x < 3$ habe und
dann rechne und später $x [mm] \le [/mm] 3$ schreibe - dann sehen die nicht mehr,
dass $x < 3 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] 3$ wahr ist...
Übrigens typisch bei Stetigkeitsaufgaben!
Ferner: $a [mm] \le [/mm] b < c [mm] \Rightarrow [/mm] a < [mm] c\,.$ [/mm] Da heißt's dann wieder: "Muss da nicht
$a [mm] \le [/mm] c$ stehen?"
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo,
>
> > Okay,
> > also zum Verständnis:
> > Für x(t) kann ich jede beliebige Funktion verwenden, die
> > aber stetig sein muss und wende einfach das Integral an?
>
> Ja, das ist die Definition von f.
>
> > Wir haben uns die Maximumsnorm definiert und die
> > [mm]l_{p}-Norm.[/mm]
> > [mm]|f|_{p}[/mm] = [mm](\integral_{a}^{b}{|f(t)|^{p} dt})^{1/p}.[/mm]
> >
> > Das sieht ja schon mal stark nach unserer Form aus.
>
> Bei der Aufgabe muss eine konkrete Norm vorgegeben worden
> sein.
> Oder ihr habt in der Vorlesung C[a,b] mit einer konkreten
> Norm ausgestattet.
>
> Wir können erst die Stetigkeit von f beweisen, wenn wir
> wissen, welche Norm wir benutzen sollen!
nö - eine Metrik reicht. Nicht jede Metrik muss von einer Norm induziert
werden.
Aber hier würde ich die durch [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] induzierte Metrik bevorzugen.
Für $x [mm] \in [/mm] C[a,b]$ gilt nämlich
[mm] $$\sqrt{\int_a^b |x|^2} \le \sqrt{b-a}*\|x\|_\infty\,,$$
[/mm]
und daraus folgt, dass, wenn die vorgegebene Abbildung schon für die
durch [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] induzierte Metrik stetig ist, dann auch schon bzgl. der durch die
[mm] $\mathcal{L}_2$-Norm [/mm] induzierten Metrik! Damit hat man quasi alles in
einem Abwasch!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: C[a,b] [mm]\to \IR[/mm] die durch
>
> f(x) = [mm]\integral_{a}^{b}{x(t)^{2} dt}[/mm]
>
> gegebene Abbildung. Zeigen Sie, dass f auf ganz C[a,b]
> stetig ist. Ist f auch Lipschitz-stetig?
> Hallo,
>
> ich sitze vor dieser Aufgabe und habe ein paar Fragen.
> Zum Nachweis der Stetigkeit kann ich da die [mm]\varepsilon, \delta-Charakterisierung[/mm]
> verwenden?
> Also: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0:
> [mm]d_{M}(x,x_{0}) \le \delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(x_{0})).[/mm]
>
> Wenn ja, wie muss ich die anwenden bzw. wie ist das mit dem
> x(t) gemeint ?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich unterstelle mal, dass C[a,b] mit der Norm [mm] ||*||_{\infty} [/mm] ausgestattet ist.
Ich finde , dass man zur Stetigkeit von f einfacher kommt, wenn man mit Folgen arbeitet, denn Konvergenz in der Norm [mm] ||*||_{\infty} [/mm] ist gerade gleichmäßige Konvergenz auf [a,b].
Sei also [mm] x_0 \in [/mm] C[a,b] und [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in C[a,b] mit [mm] ||x_n-x_0||_{\infty} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty).
[/mm]
[mm] (x_n) [/mm] konvergiert also auf [a,b] gleichmäßig gegen [mm] x_0.
[/mm]
Jetzt muß man nur noch zeigen:
[mm] (x_n^2) [/mm] konvergiert auf [a,b] gleichmäßig gegen [mm] x_0^2.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
> Ich finde , dass man zur Stetigkeit von f einfacher kommt,
> wenn man mit Folgen arbeitet, denn Konvergenz in der Norm
> [mm]||*||_{\infty}[/mm] ist gerade gleichmäßige Konvergenz auf
> [a,b].
Ja, das habe ich erst auch gedacht. Aber dann wollte ich nicht darüber nachdenken, ob [mm] x_n^2 [/mm] auch glm. konvergiert (muss es ja wohl...), und in Hinsicht auf die L-Stetigkeit ist vielleicht der [mm] \varepsilon-\delta- [/mm] Zugang besser, um zu sehen ob es gilt.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
>
> > Ich finde , dass man zur Stetigkeit von f einfacher kommt,
> > wenn man mit Folgen arbeitet, denn Konvergenz in der Norm
> > [mm]||*||_{\infty}[/mm] ist gerade gleichmäßige Konvergenz auf
> > [a,b].
>
> Ja, das habe ich erst auch gedacht. Aber dann wollte ich
> nicht darüber nachdenken, ob [mm]x_n^2[/mm] auch glm. konvergiert
> (muss es ja wohl...), und in Hinsicht auf die L-Stetigkeit
> ist vielleicht der [mm]\varepsilon-\delta-[/mm] Zugang besser, um zu
> sehen ob es gilt.
Hallo Stefan,
ja, das wäre eine Motivation, aber f ist leider nicht L_stetig:
Angenommen es gäbe ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L [mm] ||x-y||_{\infty}$ [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] C[a,b],
so hätten wir, mit y=0:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{x(t)^2 dt}\le [/mm] L || [mm] x||_{\infty}$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] C[a,b],
Ist nun c [mm] \in \IR, [/mm] so hätten wir, mit x(t)=c:
[mm] $c^2(b-a) \le [/mm] L*|c|$
Für c [mm] \ne [/mm] 0 würde dies
(*) $|c| [mm] \le \bruch{L}{b-a}=:C$
[/mm]
bedeuten. Im Nachhinein sieht man, dass (*) auch für c=0 gilt.
Wir hätten also die Beschränktheit von [mm] \IR.
[/mm]
FRED
>
> Viele Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Fr 26.04.2013 | | Autor: | numi |
Hallo Fred,
ich bin zufällig auf diese Disskusion gestoßen da ich auch gerade eine ähnliche Aufgabe zu lösen habe.
Bis zu deinem Beweis, dass f nicht L-stetig ist habe ich auch alles verstanden, jedoch habe ich scheinbar ein Verständnisproblem mit der L-stetigkeit!
Setzt man [mm] L=\varepsilon [/mm] ist doch das ganze eigentlich L-stetig? Oder nicht weil [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] \integral_{a}^{b}{|x| dx} [/mm] abhängt und L eine Konstante sein soll?
Ich verstehe leider auch nicht so ganz wie du aus
> (*) [mm]|c| \le \bruch{L}{b-a}=:C[/mm]
die L-stetigkeit 'abweist' und vorallem was das ganze mit der Beschränktheit zu tun hat.
Es wäre wirklich nett, wenn noch jemand auch meine Fragen anhand dieser Aufgabe beantworten könnte.
Lg numi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
> ich bin zufällig auf diese Disskusion gestoßen da ich
> auch gerade eine ähnliche Aufgabe zu lösen habe.
>
> Bis zu deinem Beweis, dass f nicht L-stetig ist habe ich
> auch alles verstanden, jedoch habe ich scheinbar ein
> Verständnisproblem mit der L-stetigkeit!
>
> Setzt man [mm]L=\varepsilon[/mm] ist doch das ganze eigentlich
> L-stetig?
??
> Oder nicht weil [mm]\varepsilon[/mm] von
> [mm]\integral_{a}^{b}{|x| dx}[/mm] abhängt und L eine Konstante
> sein soll?
Das verwendete [mm] $f\,$ [/mm] hier heißt Lipschitzstetig (man beachte, dass der
Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] - also $C[a,b]$ - mit der durch [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] induzierten Metrik
auf $C[a,b]$ ausgestattet ist), wenn es ein $L [mm] \ge [/mm] 0$ so gibt, dass gilt:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] C[a,b]$ (d.h. es sind $x,y [mm] \colon [/mm] [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] STETIGE Funktionen!) gilt
$$|f(x)-f(y)| [mm] \le L*\|x-y\|_\infty\,.$$
[/mm]
Was willst Du da mit einem [mm] $\varepsilon$??
[/mm]
> Ich verstehe leider auch nicht so ganz wie du aus
>
> > (*) [mm]|c| \le \bruch{L}{b-a}=:C[/mm]
>
> die L-stetigkeit 'abweist' und vorallem was das ganze mit
> der Beschränktheit zu tun hat.
Wenn solch' ein $L [mm] \ge [/mm] 0$ existieren würde, so würde [mm] $(\*)$ [/mm] für alle $c [mm] \in \IR$ [/mm] gelten
müssen. Daher wäre [mm] $\IR$ [/mm] durch [mm] $\frac{L}{b-a} \ge [/mm] 0$ (bea.: $b-a > [mm] 0\,$) [/mm] nach oben und [mm] $-\;\frac{L}{b-a}$ [/mm] nach
unten beschränkt - es würde ja für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] gelten
$$|r| [mm] \le \frac{L}{b-a}$$
[/mm]
bzw. äquivalent dazu (für jedes $r [mm] \in \IR$)
[/mm]
[mm] $$-\;L/(b-a)\le [/mm] r [mm] \le L/(b-a)\,.$$
[/mm]
[mm] $\IR$ [/mm] ist aber sicher nicht nach oben beschränkt, was man etwa mit [mm] $c=c_n:=n \in \IN \subseteq \IR,$
[/mm]
einsehen kann! Daher kann insbesondere $C:=L/(b-a)$ keine obere Schranke für
[mm] $\IR$ [/mm] sein, so dass wir den Widerspruch erhalten, dass [mm] $C\,$ [/mm] einerseits obere
Schranke für [mm] $\IR$ [/mm] sein müsste, es aber gleichzeitig nicht ist. Daraus folgt,
dass die Annahme der Existenz solch' eines $L [mm] \ge [/mm] 0$ falsch gewesen sein muss
und diese Annahme zu verwerfen ist!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Sa 27.04.2013 | | Autor: | numi |
Hi,
danke für deine Antwort!
Wegen dem [mm] \varepsilon [/mm] : Das war wegen dem vorherigen Stetigkeitsbeweis, wo das [mm] \varepsilon [/mm] ja am Ende größer ist (gleich fehlt) als die linke Seite und ich mir dachte dann könnte man das ja auch als L nehmen. Ich denke aber ich hab schon verstanden warum das quatsch ist.
Soweit beim durchlesen kommt mir deine Antwort schon sinnvoll vor, würde sie nur gerne noch richtig durcharbeiten, damit ich es auch richtig verstanden habe. Deshalb bis jetzt noch keine Frage dazu ;)
Kann mir nur jemand vlt mal in Worten erklären was die Lipschitz-Stetigkeit bedeutet, ich kann mir das einfach nicht vorstellen nur an Hand davon dass ein [mm] L\ge [/mm] existiert sodass
$ |f(x)-f(y)| [mm] \le L\cdot{}\|x-y\|_\infty\,. [/mm] $
Vielleicht liegt da mein Problem.
Danke
lg
Numi
Habe dies leider als Mitteilung eingestuft, obwohl es wohl eher als Frage eingetragen werden sollte. Weiß leider nicht wie man das ändern kann :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> danke für deine Antwort!
>
> Wegen dem [mm]\varepsilon[/mm] : Das war wegen dem vorherigen
> Stetigkeitsbeweis, wo das [mm]\varepsilon[/mm] ja am Ende größer
> ist (gleich fehlt) als die linke Seite und ich mir dachte
> dann könnte man das ja auch als L nehmen. Ich denke aber
> ich hab schon verstanden warum das quatsch ist.
>
>
> Soweit beim durchlesen kommt mir deine Antwort schon
> sinnvoll vor, würde sie nur gerne noch richtig
> durcharbeiten, damit ich es auch richtig verstanden habe.
> Deshalb bis jetzt noch keine Frage dazu ;)
>
> Kann mir nur jemand vlt mal in Worten erklären was die
> Lipschitz-Stetigkeit bedeutet, ich kann mir das einfach
> nicht vorstellen nur an Hand davon dass ein [mm]L\ge 0[/mm] existiert
> sodass
>
> [mm]|f(x)-f(y)| \le L\cdot{}\|x-y\|_\infty\,.[/mm]
>
> Vielleicht liegt da mein Problem.
nix vorstellen. Wenn es Verständnisprobleme gibt, dann formuliere erstmal
die Lipschitzstetigkeit für Funktionen [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm] Es gibt einen tollen Satz,
der besagt, dass etwa eine DIFFERENZIERBARE Funktion $I [mm] \to \IR$ [/mm] ($I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] offenes
Intervall - auch [mm] $I=\IR$ [/mm] ist erlaubt!) genau dann Lipschitzstetig ist, wenn [mm] $f\,'$ [/mm]
beschränkt ist. Und suche nun mal nach einer Funktion, die (überall)
stetig, aber nicht glm. stetig ist. Dann such' mal nach einer Funktion, die
glm. stetig, aber nicht Lipschitzstetig ist. Dann such' mal nach einer
Funktion, die Lipschitzstetig ist (dafür erwähnte ich den obigen Satz).
Nebenbei: Du wirst KEINE Funktion finden, die glm. stetig, aber nicht stetig
ist. Ebenso wirst Du KEINE Funktion finden, die Lipschitzstetig, aber nicht
glm. stetig ist:
Lipschitz-st. [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] glm. stetig [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] stetig,
insbesondere wirst Du auch keine Funktion finde, die Lipschitz.st., aber
nicht stetig ist.
Versuche dann erstmal, Dir selbst anhand der Beispiele und der Definition
die Begriffe hier klarzumachen. Wenn das dabei schon schiefgeht, wirst Du
das allgemeine eh schwerer verstehen.
P.S. Was sagst Du bzgl. $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=5x\,$?
[/mm]
Was ist mit $g [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=7*\sin(x)+2*\cos(x)$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
